3 часть (1081356), страница 23
Текст из файла (страница 23)
21п г зш (2 — 1) 412. (21=2 1Ь 13"265' )з( )з, где: с а) С = (2) )2 — Ц = 1); б) С = Ц (2 + 1! = 1); в) С = (2 ф = Л, В ф 1). 162 Гл.13. Теория функций комплексной переменной а«12 г 13.267. ~ — гЬ з ьйп г ,,(. (2+,)з !«+Ц=1 («)=! агп— 4 (2 — 1)2(г — 3) )«-1(=1 сЬег ' 13.269. ~! з ~з — 4~2 )г-2)=з г' 1 гг ! егг« 13.270. — соз — г12. 13.271. )!г 2 2 ггпу, ,з , + , ~ (,г + 4)2 ~«~=1,«г («-2)=! 13.272. Доказать теорему о среднем: если функция у(г) аналитична в круге )г — го) < В и непрерывна в замкнутом круге ~2 — го~ < В, то значение фУнкции в центРе кРУга Равно сРеднемУ арифметическому ее значений на окружности, т. е.
2« Пго) = — / Пзе + Лег ) ЫО = — йг!) сь, 1 Г 10 211 / 2ггВ о 1ч-«0!=п где Не — дифференциал дуги. 13.273*. Известно, что если )'(г) ф сопз! — аналитическая в области Р и непрерывная в замкнутой области Р = Р () Ь функция, то гпах ~Дг)~ достигается только на границе области (прин- «Е«1 цип максимума модуля). Доказать, что если, кроме того, Чз е е Ру'(г) ф О, то и ппп ~Дг)~ достигается также на границе. «ЕТ» 13.274. Используя формулу (6) для у'(г), доказать теорему Лиувилля: если у'(г) — аналитическая и ограниченная во всей плоскости (я) функция, то у (г) = сова!.
Глава 14 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О 1. Преобразовапне Лапласа 1. Определение и свойства преобразования Лапласа. Преобразованием Лапласа функции у'(С), 1 с И (которал, вообще. говоря, может принимать и комплексные значения), называется функцил тг(р) комплексной переменной р, опредсляемая следующим равенством: Г(р) = е е'дс)й. о Оригикалом называется вслкал функцил у (1), удовлетворяющая следующим условиям: 1) Х(1) = 0 при С < О, причем принимается, что до) = у'(+О) 2) существуют такис постоянные а и М, что ~У(с)~ < Ме'~ при с >0 (2) (величина оо = упбл называется показателем роста функции 1(с)); 3) на любом конечном отрезке (О, 1) функцил у(г) может иметь лишь конечное число точек разрыва, причем только 1-го рода. Если г"(Ф) — оригинал, то стоящий в правой свети равенства (1) интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Йер > л > оо.
При атом функция Г(р) является аналитической в полуплоскости Пер > оо и называется изобралсскием функции у(с). Соответствие между оригиналом г"(г) и его изображением Р'(р) символически записывастсл в виде Р(р) ы 1(С). Пример 1. Найти показатель роста многочлена у(С) = аау" +... + + а11+ ао. < Заметим, что длл любого о > 0 аас" + .. + а1г+ оо 1пп с ес ею Значит, для любого а > 0 существует такое число М = М(а), что выполняется неравенство: )а„С" + . + а~С + ао~ < М(а)е~', 1 > О. следовательно,ао = уп(а = О.
г>о Гл. 14. Операционное исчисление 164 Заметим, что при ц = по — — 0 неравенство (2) не выполняется. > Пример 2. Найти изображение функции Хееисавзда а 'Гак как функция Хевисайда является оригиналом с показателем роста о'о = О, то .~-оо 1 З(1) ы с "~й = --е р а .~. оз о Р при Пер > О. с Всюду в дальнейшем под заданной с помощью формулы функцией у(1) булем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда З(1), т. е. считать у(1) = 0 при г < О. Используя формулу (1), найти изображения для следующих оригиналов: 14.9. у(1) = 1, 0<1< — 1, 2<1< О, 3<1. 0 1 -(4 — 1), 2 О, 4 2, 3, 14.10.
у'(1) = < 1. 14.11. у'(1) = 14.12. у'(1) = О <1< т, 1, т<г. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами, и найти их показатели роста: 14 1 у (1) = ез'+з 14.2. у (1) = е' . 14.3. у(1) = е '. 14.4. Д1) = ~ ( 1, 0<1<1, 14.6. Д1) = 1п(1+ 1). 146 у(1) 1з 1 14.7. Д1) = 1ьбп —. 14.8. у(1) = е1~'. З 1. Преобразование Лапласа 165 0<1<1, 1<1<2, 2<1<3, 3<0 0<1< —, гг Зп 1) — < г <— 2 2' Зп — < 8 < 2п, 2п < Е 1, 3 — 8, О, 14.13.
у(1) = з)п 2 — (к— 7Г 14.14. у'(1) = з(п1, О, Свойства преобразования Лапласа: 1. Свойство линейности. Для любых постоянных Сю й = 1, 2,...,я, в И Са,г'а(г) ве ~~',Сара(р), Вер > щах(ог, от, ..., а„). а=1 а=1 2. Теорема подобия. Для любой постоянной а > О .г (ггг) Ф вЂ” Г ( — ), Ве р > гите. р 3. Теорема смещения. Умножению оригинала на е ', сг е К, соответствует смещение аргумента изображения на сг, т.е. е 'У(Г) Ф Г(р — гг), усе(р — гг) > оо гг(à — т)л(г — т) нее " Г(р), ггер > ао.
5. Дифференцирование оригинала. Если г(Г) и ее производные У'00(г), гг = 1, 2, ..., явдяются оригиналами, то для любого (г=1,2, ...,я урй(Г) ,— —'раК(р) — (р" 'у(О) + р"-'у'(О) +" + УГв "(О)). В частности, Г'(Г) ф рГ(р) — у'(0), Кер > оо. б. Интегрирование оригинала: у(т) ят и —, гсер > оо.
. р(р) р ' о 4. Теорема запаздывания. Запаздыванию оригинала на т соответствует умножение изображения на е г', т. е. 3 1. Преобразование Лапласа 167 С помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы основных изображений можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике. Пример 3. Найти изображение функции зшз6 з Имеем па формуле Эйлера яп 1= 3 ~ ~ и ~ ~ ~ ь ~ ~~ 3 ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ь ~ ~ ~ ь ь ~ ~ ~ 3 и 21,) 4 (, 21 2г' 3 1 = — яп1 — — зш 36 4 4 Используя свойство линейности и формулу 6 таблицы, находим: 3 1 1 3 6 4 рг + 1 4 рт + 9 (рз + 1)(рт + 9) Пример 4.
Найти изображение функции гг соа 26 З Используя формулу Эйлера и формулу 4 таблицы изображений, получаем: 2 ' (р-2')' (р+21)з (рт+4)' Заметим,что изображение указанной функции можно было бы получить и другим способом, а именно, дважды дифференцируя изображение соз 26 ~> 1 япт Пример 5. Найти изображение функции Б!1 = ~ — г(т (зту т о функцию называют интегральным синусом). Гл. 14. Операционное исчисление 168 <С Используя теорему интегрирования изображения, находим згггС, с Пр —,=' / —. = агсгбгС С ' /о'+1 р гг = — — агсгб р.
2 Отсюда по теореме интегрирования оригинала получаем г сйпт 1(х 81С = 1 — Йт и — — — агсС8р . С> ,С т ' р~2 о Пример 6, Найти изображение функции соа(С вЂ” т)е ~'Пт. о О Используя теорему Пороля об изображении свертки, получаем соа(С вЂ” т)е т«Пт =совС»е гп ы . Сь (рз + 1)(р + 2) о Пример 7.
Найти изображение оригинала г"(С), если ( з1пС при 0<С<а, 0 при С>х. а Используя функцию Хевисайда и учитывая, что »С(С вЂ” л) = 1 при С х, функцию г(С) запишем в виде У(С) = вгпС+ »С(С вЂ” гг) з1п(С вЂ” гг). Пользуясь формулой 6 таблицы и теоремой запаздывания, получаем ] е — »г 1+ — »г г(р)= + —,= „. С> р'+1 р'+1 рх+1 14.15*.
Доказать следующие теоремы о связи «начальных» и «конечных» значений оригинала изображения, Если у'(С) ье г (р), то а) у(0) = 1пп рР(р) и (если существует конечный 1пп С'(С) = )'(+со)) С вЂ” »-Ьоо б) у'(+ос) = 1ппрР(р). р-ю З 1. Преобразование Лапласа 169 14.16. Доказать следующие соотношения '): 1Я 11е ((р+;ос)п+ ) "'=""'= (р+~)" ' сн, 1т((р+ 11с)"+с) Найти изображения заданных функций: 14.17.
— С + 1. 2 14.18. с — -е . 2 1 с 2 2 14.19. е '+ Зе 2с+ 12. 14.20. 2яспс — соя -. 2 14.21. соя2 с. 14.22. яп2 (» — а). 14 23 яЬз 14.24. сЬСяпй 14.25. яЬЗСсоя2С. 14.26. СОЬ22. 1 14.27. яспС вЂ” СсояС. 14.28. — (ОЬСяспС+ яЬСсоя1). 2 14.29. Сзе 14.30.
сзезс. 14. 31. е2' соя Ь 14.32. е 'яп21. 14.33. РсЬ2С. 14.34. ге сяспс. с 14.35. се сяЬг. 14.36*. е т т Йт. о 14.37. (1 — т)2 соя 2т с1т. 14.38. те' яп (г — т) с1т. 0 О Г сЬ г — 1 Г1 — е ' 14.39*. / Йт. 14.40. / дт. т ,/ т о о Г яЬт Г соя)ут — соя ест 14.41.
/ — Йт. 14.42'. / дт. т,/ т о О с Г елг еог 14.43. / Йт. т о ') Здесь обозначения Ее и1пс подчеркивают тот факт, что действительная и мнимая части соответствующего комплексного мнагочленв берутся условна, т, е. р считается вещественным числолг. Гл.14. Операционное исчисление 170 1г при 0 <1< т, т 1г 6 — — (1 — Зт) при 2т < <1 < Зт, т 0 при 0 > Зт. при т <1< 2т, 14.53. /(1) = а 1пг при 0 <1< гг/2, 14.54. /(1) = — соаг при и/2 <1< гг, 0 при 1) гг. Ь при 0<1<1, Ье (' "1 при 1> 1. ( а1пс при О <1< гг, 14.56.
/(1) = ( ( аЬ(г — и) при 1> и. 14.57*. Доказать,что если /(г) — периодическая функция с периодом 1, то Р(р) =, е гл/(1) ггг. 1 о Найти изображения дифференциальных выражений при за- данных начальных условиях: 14.44. хг~'(1) + 4хп'(1) + 2хп(1) — Зх'(1) — 5; х(0) = х'(0) = 14.45. хп'(1)+бхп(1)+х'(1) — 2х(1); х(0) = х'(О) = О, хп(О) = 1. 14.46. хп(г) + 5х'(1) — 7х(1) + 2; х(0) = гг, х'(0) = О. Используя теорему запаздывания, найти изображения следую- щих функций: 14.47, г1(1 — 1)е' г. 14.48. г1(1 — 2) ьбпт ((1 — 2)/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
