3 часть (1081356), страница 19
Текст из файла (страница 19)
13. Теория функций комплексной переменной Следовательно, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по первой из формул (3) (ез')' = 2е'*сов2у+12ез*вш2у = 2ез*(соь2у+1гйп2у) = 2ез'. С Пример 2. Показать, что функция ш = гз аналитична во всей комплексной плоскости (кроме з = оо). ° З действительно, имеем з = геке и ш з гз1~зд гз сов Зр + 1тз в1ц Зу причем т.е. при любом конечном з = тс'" выполнены условия (2). Применяя первую из формул (4), имеем у'(з) = (зз)' = -(ЗтзсовЗш+13тзв!пЗр) = Зз~. 1> При мор 3.
Показать, что логарифмическая функции ш = Ьп з аналитична во всех конечных точках, кроме з = О, причем 1 (Ьп г)' = —. а Так как Ьпг = 1пт+1(р+ 2йн), то имеем ди 1 до дц дс — — =1 — = — =О, дг т' д~р др дг т.е. выполнены условия (2), и по первой из формул (4) находим т 1 1 (Ьпз)' = — — = —. 1> з т г Аналитические функции находят применение при описании различных процессов.
П р и м е р 4. 1'ассмотрим плоское бсзвихревое течение идеальной несжимаемой азидкости. Пусть ст(х, у) и о, (х, у) — компоненты вектора скорости ч течения вдоль осей х и у, и пусть 1'(х) = и (х, у) — 1и„(х, у) (5) ди — = Зт совЗ~р, дг з . — = -Зт вшЗ~р, др дс — = Зт сйпЗвз, д. = дс з — = Зг совЗр, др 3 2.
4штлитичегние функции. Условия Коши -Римана 137 — комплексная скорость течения. Показать, что Г(г) — аналитическая функпил. 0 Из несжнмасмости жидкости следует, что дивергенция вектора скоро- сти тождественно равна нулю, т.е. дюс дес — + — "=О. дх ду (б) Далее, течение являетсн безвихревым тогда и только тогда, когда ротор его вектора скорости равен нулю, т.е.
дну дни = О. ду дх (7) Но равенства (б) и (7) являютсл условиями Коши — Римана для функции (5), т. е. комплексная скорость Г(з) является аналитической функцией комплексной переменной з = х + 1у. ~> Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции: 13.105*.
и = 3. 13.106*. ш = Ве з. 13.107. и = х 1ш ж 13.108. и = х Пс ж 13.109**. и = ф. 13.110. и = )з — Цз. 13.111*. Предполагал выполненными условия Коши — Римана (1) в декартовых прямоугольных координатах, доказать справедливость условий Коши-Римана (2) в полярных координатах и справедливость формул (4) вычисления производной в полярных координатах. Проверить выполнение условий Коши — Римана (1) или (2) и в случае их выполнении найти у'(з): 13.112.
7(з) = ез'. 13.113. у'(г) = яЬж 13.114. 7(г) = х", п Е У.. 13.115. у" (з) = соз г. 13.116. ~(з) =1п(хз). 13.117. ~(х) = яп —. 3 13.118*. Пусть у(х) — аналитическая функция в области 17. Доказать, что если одна из функций и(х, у) = Ве7" (х), о(х, у) = 1ш7'(з), г(х, у) = (Дз)(, д(х, у) = агбу(х) сохранлет в области постоннное значение, то и у (х) = сопзс в Р. 2. Свойства аналитических фуницнй. Ряд свойств, характерных для дифференцируемых функций действительной переменной, сохраняется и для аналитических функций.
13.119. Доказать, что если у(з) и д(х) — аналитические в области О функции, то функции у(з) х д(х), у'(х) д(х) также аналитичны в области Р, а частное у(з)/д(х) — аналитическая функция 138 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной во всех точках области Р, в которых д(г) ф О. При этом имеют место формулы (У (х) л 9(х)) = У (х) х 9 (х), (П )9( )) = У'(х)9(х) + 1(х)9'(х) П~) 1 У'(Я)9(х) У(х)9 (х) 9(х) г( г(х) 13.120. Пусть у(х) — аналитическая в области Р функция с областью значений С = (у (х)(г Е В), и пусть функция ~р(ю) аналитична в области С. Доказать, что г (х) = ~р(у (г)) — аналитическая в области Р функция.
Используя утверждение задачи 13.119, найти области аналитичности функций и их производные: 13.121. у'(х) = Фбх. 13.122. у'(х) = я е '. 13.123. у(х) = . 13.124. у(г) = е' 13.125. )'(х) = 13.126. у(х) = —. Сбх+ сцх 13.127. у(х) = сгЬх. 13.128. ('(х) = соэ г — а1п х 13.129. Доказать, что действительная и мнимая части аналитической в области Р функции у(х) = и(х, у) + (о(х, у) являются гармоническими в этой области функциями, т.е. их лапласианы равны нулю: дн дн дтн дэ о Ьи= — + — =О, Ьо= — + — =О. дх2 д92 дх2 д92 13.130. Получить выражение лапласиана Ьи в полярных координатах (и = и(г, ~р)).
Заметим, что заданием действительной нли мнимой части аналитическая в области Р функции определяется с точностью до произвольной (комплексной) постоянной. Например, если и(х, у) — действительная часть аналитической в области Р функции у(г), то (,я) п(х, у) = 1гп ('(г) = / — и'„г(х + и', Иу, (яо, ао1 где (хо, ре) — фиксированная тачка в области Р и путь интегрирования также лежит в области Р.
Э 2. Аналитические функции. Условия Коши-Римана 139 П р и м е р 5. Проверить, что функция и = х2 — у2 — 5х+ у+ 2 является действительной частью некоторой аналитической функции 1(2) и найти У(2) о Так как д ц д ц — + — =2 †2 дх2 ду2 во всей плоскости, то и(х, у) — гармоническая функция, а тогда Оь я) аа = 2ху — х — 5у + 5уо + хо — 2хоуо, т. е. е(х, у) = 2ху — х — 5у + С Г(2) = х2 — у2 — 5х+ у+ 2+ 7(2ху — х — 5у+ С) = = (х — 27ху — у2) — 5(х+7у)+( — х7+у)+2+С7 = 22 — 52 — 72+2+С71 С П р и м е р 6. Показать, что функция вида ц(х, у) = и(х + у ) + Ьх + су + 71, и ф О, не является действительной (или мнимой) частью никакой аналитиче- ской функции. 0 Действительно, это следует иа соотношения д ц д и — + — = 4и з~ О. с дх2 ду2 Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях н найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части; 13.131. ц(х, у) = хэ — Зхуэ, 0 < )2( < +ос.
13.132. о(х, у) = 2е*в)пу, О < )х! < +со. 13.133. и(х, у) = 2ху+ 3, О < )х! < +оо. 13.134. о(т, у) = агсГП вЂ”, О < ф < +оо. у о(х, у) = 1яо, Ро) я + (2х (2у — 1) 7(х + (2х — 5) 7)у = (2уа — 1) Йх + ХΠ— 5) ду = (2уо — 1)(х — хо) + (2х — 5)(у — уо) = 140 Гл.
13. Теория ункций комплексной переменной х 13.135. и(х, у) = г г — 2у, 0 < ~4 <+оо г+ г 13.136. и(х, у) = хг — у + ху, О < ф < +со. 13.137. и(х, у) = ху, 0 < )з! < +оо. 3 3. Кпнфпрмные отображения 1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть ю = 1(с) — аналитическая в точке со функция и 1'(со) ~ О.
Тогда Й = )('(зо)! геометрически равен коэффициенту растяжения в точке зо при отображении ю = 1(я) (точнее, при к > 1 имеет место растяжение, а при А < 1 — сжатие). Аргумент производной ы = агб~'(зо) геометрически равен углу, иа который нужно повернуть касательную в точке со к любой гладкой кривой Ь, проходящей через точку со, ггобы получить касательную в точке юо —— 1 (яо) к образу Г этой кривой при отображении ю = у(з). При этом, если у > О, то поворот происходит против часовой стрелки, а если ьг < О, то по часовой.
Таким образом, геометрический смысл модуля и аргумента производной состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию 1'(яо) ф О, А = ф(зо)! определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке зо, а у = агд у'(зо) — угол поворота этого элемента. Пример 1.
Найти коэффициент растяжения А и угол поворота ы в точке зо — — 1 — 1 при отображении ю = сг — ж з Так как ю' = 2з — 1 и ю'~,-~; — — 1 — 21, то й = ~1 — 21! = Л и ~р = агц(1 — 21) = — агсгц2. Г> Найти коэффициент растяжения А и угол поворота р для заданных отображений ю = 1'(з) в указанных точках: 13.138. ю = з~, зо = ~/2(1+ 1).
13.139. ю = зг, зо = 1. 13140 ю яз за=1+с. 13141 ю яз з 1 13.142. ю = а)п з, зо = О. 13.143. ю = сег', з = 2л1. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая сжимается при следующих отображениях: 13.144. ю = 1/ж 13.145. ю = е' 13.146. ю = 1п (з + 1). 13.147. ю = хг + 2з. Найти множества всех тех точек зо, в которых при следующих отображениях коэффициент растяжения 1с = 1: 13148 ю = (з — 1)г 13 149 ю зг св 1+ са 13 150 ю = 13 151 ю зз 1 — ся з 3. Конформные отображения 141 Найти множества всех тех точек го, в которых при следующих отображениях угол поворота со = 0: 1+ гг 13.152.
и = --. 13.153*. и = г 1 — Ьг 13.154. и = гг + 1г. 13.155. и = г~ — 2г. 2. Конформные отображения. Линейная н дробно-линейная функции. Взаимно однозначное отображение области Р плоскости (г) на область С плоскости (ю) называется конформным, если в каждой точке области Р оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. Критерий конформности отображения. Длл того чтобы отобразкение области Р, задаваемое функцией ю = /(г), было конформным, необходимо и достаточно, чтобы /(г) была однолистной и аналитической в области Р функцией, примем /'(г) ф О всюду в .Р. В дальнейшем образ области Р при отображении функцией |о = /(г) обозначается через Е либо череа /(Р).
П р и м е р 2. Показать, что отображение, осуществляемое функцией ю = гз, конформно в области Р = (г(1 < ф < 2, О < агбг < 2к/3). 0 Необходимо проверить, что заданная функция является аналитической, однолистной в Р и что всюду в Р /'(г) ~ О. Аналитичность функции ю = гз показана выше (см. пример 2 З 2), соотношение ю' = Згг ф О для любого г Е Р очевидно. Однолистность следует из того, что область Р содержится в угле с вершиной в начале координат и величиной 2т/3 (см. аадачу 13.31). г Выяснить, какие нз заданных функций и = Пг) определяют конформные отображения указанных областей Р: 13.158.
и = (г+1), Р = (г(1 < (г+1! < 3, 0 < агб г < З|г/2). 13157. и = (г(~, Р = Ц (г! < 1). 13.158. и = е', Р = (г(О < 1ш г < 2к). 13.159. и = —, ~г + — ), Р = ~г — < )г! < 1 13180 = ( — 1)3 Р = ( () — Ц 1) Отображение, осуществляемое линейной функцией ю = ах + Ь, рассмотрено выше (см, пример 3 З 1). Оно представляет собой композицию растяжения (ю1 = )а(г), поворота (юг = е""з'ю,) и параллельного переноса (юз = юг + Ь). Обратная к линейной функции также есть линейная 1 Ь функция г = — ю — —. Так как ю' = а ф О, то отображение ю конформно а а во всей расширенной плоскости, причем имеет две неподвижные точки Ь г1= — (приаф1) нет=со. 1 — а 142 Гл.
13. Теория функций комплексной переменной Пример 3. Выяснить, сушествует ли линейная функция, отображающая треугольник с вершинами О, 1, 1 в плоскости (г) на треугольник с вершинами О, 2, 1+1 в плоскости (в). а Заметим, чта треугольник с вершинами О, 1, 1 подобен треугольнику с вершинами О, 2, 1+ 1, причем вершина в точке г~ — — 0 соответствует вершине в точке ю~ — — 1+1, вершина в точке гг = 1 — вершине в тачке юг = О и вершина в точке гз — — 1 — вершине в точке вз = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
