3 часть (1081356), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Выполним последовательно преобразования; а) ю~ — — е'ь ~"г — поворот около начала координат на угол о = 5к/4 против часовой стрелки; б) юг = ~/2ю~ — гамотетия с коэффициентом й = чг2; в) юз = юг + (1+ 1) — параллельный перенос на вектор, изображающий комплексное число 1 + 1. В результате треугольник с вершинами О, 1, 1 отображается на треугольник с вершинами О, 2, 1+ 1, а асушествляюшая это отображение целая линейная функция имеет вид ю = юз о юг о в~ — — т/2е' ' г+ (1+ 1) = ( ~/2 .~/2) = 1/2 — — — 1 — г+ 1+1 = (1+г)(1 — г). ~> 2 2) 13.161.
Доказать, что отображение, осуществляемое целой линейной функцией, имеет две неподвижные точки (совпадающие, если а = 1). Для указанных ниже отображений найти конечную неподвижную точку га (если она существует), угол поворота у и коэффициент гомотетии Й: 13.162. в = 2г+ 1. 13.163. в =(г+4. 13.164. ю = е'4г — е '4. 13.165.
в = аг+5. Дробно-линейная функция ах+ 5 ю= —, а4 — ЬсфО, сфО, сг+й осушествляст канфармное отображение расширенной плоскости (г) на расширенную плоскость (в). При этом под углом между кривыми в точке г = ао понимается угол в точке г" = 0 между образами этих кривых, 1 полученных путем отображения г' = —. Простейшей дробно-линейной 1 функцией (отличной от линейной) является функция ю = —, которая маг жет быть представлена в виде композиции инверсии относительно еди- 1 пичной окружности ю~ — — — и комплексного сопряжения юг — — иц, Пра- 4 стейшая дробна-линейная функция отображает окружности цла скости (г) 3.
Конформнгяе отображения 143 в окружности плоскости (ю) (прямая линия считается окружностью бесконечного радиуса). Так как общая дробно-линейная функция представлнется в виде композиции линейной функции ю1 — — с»+ д, простейшей 1 бс — ад а дробно-линейной юз = — и снова линейной юз = юз+ —, то она ю1 с с также отображает окружность в окружность. Дробно-линейная функция ю = ю(») вполне определяется заданием образов трех точек. Именно, если»з — > юы»з -з юз и»з -з юз, то ю — юз юз — юз» вЂ” »з «з — »з ю — ю» и'з — юз» вЂ” »з»з — »1 3 а меча ние. Если одна из точек»ы»з или»з либо юы юз или юз является бесконечно удаленной, то в формуле (1) все разности, содержащие зту точку, следует заменить единицами.
П р и м е р 4. Найти образ окружности х» + уз = 2х при отображении 1 ю = 1 1 з Полагая» = х+ зу, имеем х = — (» + й), у = —,(» — »). Подставив эти 2 ' 2з значения в уравнение окружности, находим хз + у — 2х = »» — (» + й) = О, 1 и после замены» = — имеем ю 1 1 1 — — — — — =О, юю ю ю т.е. ю+ ю = 1. Если ю = и+ мб то ю+ ю = 2и.
Таким образом, окружность хз + уз — 2х = О преобразуется в прямую и = 1/2, параллельную мнимой оси. 1> П р н м е р 5. Найти дробно-линейное отображение, переводяшее точки — 1, з, з + 1 в точки О, 2г, 1 — з'. З Используя формулу (1), имеем ю — О 1 — 4 — 2з' »+1 1+1 — з' ю — 2г' 1 — г — О» — 4 1+1+1' откуда ю 1»+1 ю — 21 5» — г' 21(» + 1) ю= — .
~> 4» — 51 — 1 144 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной 1 Найти образы следуюших линий при отображении ю = —: 13.166. Окружности хе + уэ = у/3. 13.167. Прямой у = — х/2. 13.168. Прямой у = х — 1. 13.169, Окружности хе+ уз + 2х — 2у+ 1 = О. 13.170.
Доказать, что проходящая через начало координат окружность А(хэ + уэ) + 2Вх + 2Су = О преобразуется функцией ю = 1/г в прямую, а любая прямая Вх+ Су+ В = Π— в окружность, проходящую через начало координат. Найти дробно-линейное преобрааование по заданным условиям: 13.171. Точки г, 1, 1+ 1 переходят в точки О, аа, 1. 13.172. Точки 1 и 1 неподвижны, а точка О переходит в ао. 1 5 3, 13.173.
Точки — и 2 неподвижны, а — + -1 переходит в оа. 2 4 4 13.174. Доказать, что дробно-линейное преобразование ш = па+ 5 имеет две неподвижные точки. При каком условии эти се+ д точки совпадают? Когда бесконечно удаленная точка является неподвижной? Точки г1 н сэ называются симметричными относительно прямой, если ани лежат на перпендикуляре к этой прямой па разные стороны от нее и на равных расстояниях.
Тачки е1 и сэ называются симметричными относительно онрулсности, если ани лежат на одном луче, выходяшем из центра этой окружности, па разные стороны ат нее и так, чта произведение расстояний ат этих тачек до центра равно квадрату радиуса. Точки М н Ж, симметричные относительно прямой или окружности в плоскости (е), отображаются дробно-линейной функцией в тачки ЛХ' и У', симметричные относительно образа этой прямой или окружности в плоскости (ю). 13.175. Найти точки, симметричные с точкой 1+1 относительно окружностей: а) )е! = 1; б)* (з — г! = 2. х — 1 13.176. Для отображения ю = найти образ точки, симмег+1 тричной точке 1 — 1 относительно: а) прямой у = х; б) окружности ~х — Ц = 3.
П р и м е р б. Найти отображение круга )с! < 1 на круг )в~ < 1 такое, чтобы тачка с = сг((сг! < 1) отображалась в центр крута ио = О. э Запишем дробно-линейное отображение в виде 3. Коиформиые отображения 145 так как точка г = а переходит в точку ю = О, то го = а, а так квк симметричной с точкой ю = 0 является точка ю = ао, то гг является симметричной с точкой т = а относительно окружности ~г~ = 1, т.е. 1 ж — —. Поэтому й 1 = (дй! ае'Ф вЂ” 1 Но е" — а г г 1 + ~а( — е'ей — е '~а 1 (е'" — а)(е пя — й) (еий — 1)(е ьва — 1) ~а~э + 1 — еюй — е-юа епе6 — 1 Следовательно, )дй! = 1, т.е.
дй = е'э, и искомое отображение имеет вид (2) ей — 1 Для отображения (2) единичного круга на себя найти параметры а и О по заданным условиям: 13.177. ю(1/2) = О, агб ю'(1/2) = О. 13.178. ю(0) = О, агбю'(0) = и/2. 13.179. ю(то) = О, агбю'(па) = и/2. 13.180. Доказать, что функция юг — а ю = е'~, 1гп а > О, д — й (3) осуществляет отображение верхней полуплоскости на единичный Врут. Определить параметры а и О в формуле (3) по заданным условиям: 13.181.
ю(г) = О, агбю'(г) = — и/2. 13.182. ю(2г) = О, агбю'(2г) = и. 13.183. ю(до) = О, агбю'(то) = и/2. Найти образ Е области Р при заданном дробно-линейном отображении: 13.184. Р = (г! Не т > О, 1т г > 0); ю = в+1 Далее, точки окружности ~г~ = 1 переходят в тачки окружности (ю! = 1, а поэтому при г = еье имеем 146 Гл. 13.
Теория ф нкций комплексной переменной гг 2 2 13.185*. Р = (2~0 < аг8г < — ); ю = 4) гг1 1 13.186*. Р = ) 2(1 < ф < 2, 0 < агпа < —,); нг = 1+ —. 4'1 ' ,1 — а 13.187. Р = (2! ф < 1, 1ш г ) О); го = г' —. 1+2 2 — 1 13.188.
Р = ЦО < Ке 2 < 1); и = з — 2 13.189. Р— двуугольник (круговая луночка), заключенный 3 между окружностями ~г — Ц = 1, )з — 2! = 1; гп =— 2 — 1 — 1 13.190*'. Найти область Р в плоскости (г), которая при отображении цг = преобразуется во внутренность круга (иг~ < т 1 — 3 плоскости (пг). 3. Степенная функция. Отображение, осуществляемое степенной функцией ю = г" (и Е М, и > 2), является конформным в любом 2Ьг 2(й + 1).г ) угле Р = а — < агба < 2, к = О, 1, ..., и — 1 (кроме и и точки 2 = 0), причем образам этого угла является вся плоскость (в) с 2йл разрезом по положительной части действительной оси (лучу агб 2 =— 2(й+ 1)гг соответствует верхний, а лучу агба = — нижний край рази 11 хтг».
1 реза). Обратная функция а» = ~/а = бггег( " ', где й = О, 1, ..., и — 1, г = (г), у = агбг, является, как известно, многозначной. Ес однозначная 'ветвь (выделяемая заданием образа одной из точек) отображает плоскость (г) с разрезом по неотрицательной части действительной оси на соответствующий угол 2йт 2(й + 1)гг 1 Е = ю — < агбю < ), и и где к = О, 1,..., и — 1 — фиксирована. Пример 7. Найти отображение внутренности двуугольника с вершинами гг и 22, образованного окружностями Сг и С2, на единичный круг.
21 + 22 Э Преобразование юг = — — отображает точку 2 = в точку аэ 2 юг = 1, точку г = аг — в нуль, а точку 2 = аэ — в бесконечность. Таким образом, отрезок, соединяющий тачки г1 и 22, отображается на положительную действительную полуось. Дуги окружностей, образующие двуугольник, отображаются в лучи агй юг — — ол и аг8 а11 — — — ГУя. Следовательно, область Р отображается на сектор Е1 — — (юг ~ — Дл < агб юг < ггл) 3 3. Конформяые отображения 147 (ср.
с задачей 13.189). Повернем зтот сектор на угол бя, т.е. произведем преобразование зиз = еьз'юы и возведем полученную функцию в степень 1 р+а 1 юз (юз) "'" ° Сектор отобразится в верхнюю полуплоскость. Функция и юз — юз о юз — — е' -о юз — юз осугцествляет отображение полуплоскасти на единичный круг. Величины юзо и 0 определяются дополнительным заданием отображения Рис. 4 точки го в точку ю = О и условием агбюо го) = 7. Окончательно, зи = = зя4 0 зез 0 юз О зиг (рис. 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
