3 часть (1081356), страница 24
Текст из файла (страница 24)
14.49'. г1(1 — 1)1ег. 14.50*. г1 (г — -1 з1п1. 4/ 1451 /(г) 1 прн 0(~< т, ( 0 при 1>т (единичный импульс, действующий в течение промежутка времени от 1 = 0 до 1 = т). 0 при 1 <Т, 1452. /(1) = 1 при Т< г <Т+т, 0 при 1>Т+т (запаздывающий единичный импульс). з 1. Преобразоваггис Лапласа 171 Используя результат задачи 14.57, найти изображения перио- дических функций (аналитическис формулы определяют заданные функции на периоде (О, 1]): ( 1 при 0<1<т, 14.58.
/(1) = ~ (=Т '( 0 при т<1<Т: (периодическая последовательность единичных импульсов). 14.59. ((1) = в(п)31 при 0 < Е < я/)3; Х = я/г3 (т.с. /Я = ( а(п )3г!). 14.60. /(1) = г ( яш1 при О <1< я, 1 = Т. О при я<1<Т; ( )г при 0<1<с, 14.61. /(1) = ( 1= 2с. ( -6 при с <1< 2с; В 14.62. /(1) = — 1 при 0 < 1 < с; 1 = с.
с )г — при 0<1<с, 14.63. /(1) = Ь 1=2с. — — при с<1< 2с; 14.64. /(1) = соа г31 при 0 < Е < —, Е = —. 2,9' 2)3' 14.65. /(С) = ! а)п1), 1 = 2х. 2. Расширение класса оригиналов. Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть неограничены в окрестности конечного множества точек, но такие, что интеграл Лапласа от них тем не менее в некоторой полуплоскости Пер > гго сходится абсолютно.
К числу таких обобшенных оригиналов относится степенная функция /(г) = Г" при р > — 1, функция 1и Г и некоторые другие. В частности, к такому классу относится всякая функция /(г), которая в некоторых точках Г = 1ь (/с = 1, 2,..., н) является бесконечно большой порядка, меньшего единицы, т.е. такая, что !пп (à — 1ь)'"/(г) = О при г-~н некотором гь < 1, и если вне некоторых окрестностей точек 1ь она удовлетворяет условиям, при которых функцик> можно считать оригиналом. Пример 8. Найти изображение г'(р) функции /(1) = Г", р > — 1. -г(ж О Имеем Г(р) = е "'г~ й или, после подстановки рг = т, о .г'(р) = / е 'т" цт = 1 Г,, Г(р+ 1) рк+г,г' риег а Гл.
14. Операционное исчисление 172 2 Итак, 2) с, :Г(.1)= ' ' Замечание. Если ут — целое положительное число, то Г(ут+ 1) = = р1, и мы приходим к формуле 2 таблицы изображений. Пример 9. Найти изображение функции у(1) = !"!пу, ут > — 1. , Г(р + Ц О Из соответствия Р',=' с помощью дифференцирования по рею параметру и получаем Г'(р+ Ц Г(р+ Ц, Г(р+ Ц (Г'(р+1) ряч.1 рич-г ри-ы ! Г(р + 1) В частности, положив р = О, с учетом того, что Г(1) = 1, Г'(1) = — у ( у = 0,577215...
— настоянная Эйлера), получаем у+ 1пр 1п1=' — . с р Найти изображения функций: Фнеас 14.66. ((1) =, ут > — 1. Г(р+ 1) ' 1'е"' 1п1 14.67. у(1) =, ув > — 1. Г(п+ 1) ' ен 14.66. 7(1) = е'*'1пе. 14.69. у(1) = соз)тс, р > — 1. Г(р+ 1) ен 14.70. у(1) = Г(р+ Ц в)п )М, ут > -1. 14.71. ((1) = сов)3т 1пе. 14.72. 7(1) = з!п)уг 1пй 14.73.
7(С) = 0 при 0<1<о, 1 при 1> а. т/à — а 92. Восстановление оригинала ио изображению 1. Элементарный метод. Во многих случанх заданное изображение можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко восстанавливается непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений. ) Здесь под функцией вемпвевсной переменной 1/р"+' понимается та из ветвей этой многозначной фунвппп, которая нв вешественней положительной полуоси комплексной плоскости (р) принимает вешественпые значения, т.е. !/р"+' = е Ы+О мв. Аналогичное замечание относится к изображениям функпий с"е ~, С"е ~!пй с" сов!Уй Г" в!пйй З 2.
Восстановление. оригинала по иэображению 173 Для преобразования изображения широко используетсл в этом случае метод разложения рапиональной дроби в сумму простейших. Пример 1. Найти оригинал для функции 1 рг+ 2р+ 5 < Первый способ. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее, используя табличное изображение для яп(г1 и теорему смешения, получаем: 1 1 1 2 1 рг + 2р + 5 (р 4- 1) г + 4 2 (2 .1- 1) г + 4 2 -'-е 'э1п2й Второй способ.
Раскладывая дробь в сумму простейших и используя изображение для е ', получаем 1 1 1 1 рг+ 2р+ 5 4г р — ( — 1+ 21) р — (-1 — 21) гп †( (-1+гйс е(-1-г1)с) е-с е-1 эш21 4г 2 2г 2 1 Пример 2. Найти оригинал для функции Г(р) = (,г + 1р' а Первый способ. Раскладывая дробь в сумму простейших, получаем ( г+ цг (р г)г(р+ .р 1( 1 г 1 1 , +, + 4 ~,р — г' р+ г (р — г)г (р+ г)г/ Ф вЂ” -(1е" — ге "+1еи+1е ') = -(э)п1 — 1соэ1).
4 2 Второй способ. Заметим, что 1/ (рг + 1)г 2р 1 рг + 1 / причем согласно теореме о дифференцировании изображения Гл. 14. Операционное исчисление 174 Применяя теперь теорему об интегрировании оригинала, находим — — ) и — / тейп тйт = -(сбп1 — 1созг). (рт+1) 2р ~р +1) 2/ о 1 1 1 — — — 'а1п1ез1п1= сбп(1 — т)а1птг1т= (р2 + 1)2 р2 + 1 рт о 2 = сйп1 соатз1птйт — совГ~ сйп тг1т = -(з|пà — тсоз1).
2 р2 — те Пример 3. Найти оригинал для функции —. з+1' г < Найдем сначала оригинал для лроби, причем в отличие от двух +1 предыдуших примеров разложение дроби в сумму простейших произведем в множестве действительных чисел. Имеем: р р 1 1 2р — 1 — — + рз+1 (р+ 1Нрз — р+ 1) 3 1,р+ 1 рт — р+ 1/ 1 1 1 /,,у, .т'3 '1 +2 г е +2е' сов — г р+1 1 3 ' 31 2 )' 1 3 А теперго применяя теорему запаздывания, учтем сомнозситель е зг. Окончательно находим: те т" 1 н 2 т 8 2 3 — ' — я — 2)(е и т1 + 2еги т) соз — (1 — 2)) С, рз+1 ' 3 2 Найти оригиналы для заданных функций: 14.74.. 14.75. 1 1 ( - )' ' (р+1Ир-3)' 14.76. 1 14.77.
' рг+ 4р+ 3' ' ' рз+ 2рз+р Третий способ. Используя теорему Пороля об изображении свертки, получаем г 2. Восстановление оригинала ло изображению 175 1 2р+ 3 2 2 14.79. ,г(,г+ ц' рз + 4рг + бр 14.80.. 14.81. (р' — 4)(рг + 1) (рг + 4)' 14,82. —. р 14.83. р р + 1 р4+ 4 е -2р е -гр 14.84. —. 14.85. р2 ' ( +1)з' -Р 3 -4Р 2 — Р 14.86. — + — + —. 14.87. — — —. р 2 р рг+9 рг+4 рг — 4 2. Формула обращения.
Теоремы разложения. Если у(1) — оригинал и Г(р) — его изображение, то в любой точке непрерывности у'(г) справедлива формула обращения Меллина У(г) = —. 1 Е(р)егл бр, 2хг' где интегрирование производится по любой прлмой Йе р = о, а ) оо. Замечание. Вовсякой точке го, являющейсяточкойразрывафунк- 1 пии у(г), правая часть формулы Меллина равна -(у(ьо — 0) + у(го + 0)). Непосредственно применение формулы обращения часто затруднительно, и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее: Первая теорема разложения. Если функция г'(р) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в рлд по степеням 1/р имеет вид то функция гп У(г) =~ а„—,, Г>0 (у(Г) =Опри Г<0) п=о лвляется оригиналом, имеющим изображение Р(р). Вторая теорема разложения.
Если зображение Р(р) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек ры рг, ..., р„, лежащих в конечной части полуплосхости Пер < чао, то в у(г) = ~ ваныч(ер Г(р); рь). ь=! Гл. 14. Операционное исчисление Если, в частности, Р(р) =, где Р (р) и О„(р) — много- Р (р) и Р члены степеней тп и и соответственно (и ) ги), р!, р2, ..., р„— корни многочлена О„(р) с кратностями, соответственно равными 1!, 12, ..., 1„ (1! + 12+ + 1, = и), то г 2-! У(1) = ~!, !ип —,((р — рь)" Р(р)е"').
ь=! Если все коэффициенты многочленов Ргв(р) и О„(р) — действительные числа, то в правой части (1) полезно объединить слагаемые, относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них. В частном случае, когда все корни рг, рэ, ..., р„многочлена Я„(р) простые, используя формулу для вычисления вычета относительно полюса первого порядка (см.
с. 101), полу"п2м ~~п(рь) „ , Ю'„(рь) (2) 1 Пример 4. Найти оригинал функции Р(р) = -е р < Первый способ. Разложение функции Р(р) в окрестности точки р = оо имеет вид Р(р) = -е = — ~ ( — 1)" — = У (-1)" —. р р и!р" и!р" ь! в=о и=о / 2~2 Р1а — "'е ! = (1+р1+ — + + — + ... х р (! ' 2! тй !г1 1 1 „1 х ~- — — + — +" +(-1)" — +... ( р ' !)рз 'р" +" Поэтому, в соответствии с первой теоремой разложения, оригиналом для тв Р(р) является функция 2'(1) = ~ (-1)" —, = Уо(2ч'!) (1о — функция (и!) 2 Бесселя первого рода с нулевым индексом). Второй способ. Воспользуемся второй теоремой разложения.
Для — ! этого надо найти вычет функции -еже н а относительно ее единственр ной особой точки р = 0 (это существенно особая тачка), т.е. коэффициент при 1/р разложения этой функции в ряд Лорана в окрестности точки р = О. Имеем 3 2. Восстановление оригинала по изображению 177 Выделив в произведении рядов члены, содержащие 1/р, найдем: у(3) = выч ~-еже ~У"; 0 р 12 1и = 1 — 1+ — + +( — 1) + '' = 1о(23у3) > (2!) г (п1) г В этом примере решение, использующее первую теорему разложения, оказалось более простым, чем решение при помощи второй теоремы разложения.
1 Пример 5. Найти оригинал для функции Е(р) = (р2 ! Дг)3' а Воспользуемся второй теоремой разложения, Функция Е(р) имеет два полюса 3-го порядка р = ~Д3, и ее оригинал определяется равенством е"' 1 е"' г з' 13'~ +вьгг ~ " г)з' =2Не выч 2,Щ Имеем: еж ( г+))г)з' 1 412 е" ' 1 412 е"' = — !цп — (р — Щ) =- !цп— 2! е 4Ш 41р2 4 (р2 !. Дг)3 4 2 е,ш ~р2 4 (р 1 )74)3 1 1геж 63еш 12еж = — 1пп, — + 2, — д 1 (! + )11)3 (р + )й)4 (! + Вз)з У геля З1ещг Зели 161333 16114 161134 (при дифференцировании мы воспользовались формулой Лейбница для производной произведения). Выделив действительную часть этого выражения и удвоив ее, получим 12 31п 13! З! соз В! 3 3!и 131 8Р3 Ю4 8дз 1 Пример 6.
Найти оригинал для функции Р(р) = р4 Гл. 14. Операционное исчисление 178 а Знаменатель дроби здесь имеет только простые корни Р1 г = х1, рэ 4 — — х4. Поэтому в соответствии с формулой (2) получаем и — ц, у(4) = г —.е"й = — ~е — е '+ — +,, ) = 4р '=4~' ',з (;) ) = 1 аз — е — з 1 еп — е — и — — — — (эп4 — э1п4). ~> 2 2 2 21 2 1 Этот пример можно было решить, исходя из разложсния — = 4 1( 1 1 2(,р — 1 р +1 ' Пользуясь первой теоремой разложения, найти оригиналы для заданных функций: 1 1 1 14.88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
