3 часть (1081356), страница 28
Текст из файла (страница 28)
й=г /с=г и-1 14.185. ~! 2 в!и й;3. а=о и — 1 14.188*. ,'! й~(т! — Сс)~. Ь=! Пример 6. Найти сумму степенного ряда 5(С) = ~ (соз — + яп — 11 С" = 1+ 1/2С+ Сэ — С" — т(2Сз — Св + .. 4 4/ и=а е" Но .— ' !С(и) (формула 2 таблицы изображений). Следовательно, ев — 1 е4(ее — 2 сов 33 — 1) е" (ез — сов С3) ев (1 + сов,3) 4. Дискретное преобразование Лапласа и его л имеяение 205 а Данный ряд сходится при ф ( 1, так как !пл (/!о„! = 1.
Заменяя 1 иа е ', приходим к дискретному изображению функции /(и) = сов — + яв + сйп —: 4 г'(д) = ~ ~сов — + сйп — )е 4 4 к=о Но (см. формулы 9 и 10 таблицы изображений). Поэтому ь/2 1 т/2 е" ее — — + сев пн . пп ~, 2 ) 2 еэт /(и) = соя — + я(п 4 4 етл —;/2ев + 1 етя — меч + 1 Отсюда, возвращаясь к аргументу г, находим Найти суммы следуюших степенных рядов: 14.187.
~~) я(п — 1". 6 =о ип , ппх „ 14.188. ~ (соя —, — я(п — /! 1". 3 3/ =о 2. Решение ревностных уравнений. Пусть дано уравнение аох(п+ й) + а,х(я+ й — 1) + +аьх(и) = у(я) (5) (ао, ам ..., аь — постоянные) с заданными (или произвольными) начальными условиями: х(0) = хо, х(1) = хы..., х(й — 1) = хь 1. Правая часть уравнения (5) — — решетчатая функция у(я) — предполагается оригиналом. Полагая х(п), †' Х*(д) и применяя формулу опережения (свойство З,б)), составляем операторное уравнение (оно линейно относительно Х'(д)) и определяем из него Х'(9).
Затем одним нз способов, изложенных в и. 1, по изображению найдем искомое решение х(п). е' ея — сов— 4/ сов — .— 4 еэе — 2ев сов — + 1 4 7Г еч в!и— вщ — .— 4 4 еэв — 2е" соя — + 1 4 Гл. 14. Операционное исчисление 206 Если исходнос уравнение было задано не через последовательные значения неизвестной функции, а через се консчныс разности, т.с.
имеет вид боЬ х(п) + б,»Ае 'х(п) + + бах(п) = »»(и), (6) то вследствие громоздкости формул для отыскания изображений конечных разностей решетчатых функций (и. 1, свойство 6) его следует предварительно преобразовать к виду (5) при помощи известных формул, связывающих конечные разности функции с сс последовательными значениями: Ь'х(п) = х(п+г) — С~х(п+г — 1)+С~х(п+г — 2)+ +( — 1)'х(п).
(7) Аналогично решаются и системы разностных уравнений. Пример 7. Решить уравнение х„ьт — х„ь»+х„= О, хс — — 1, х» — — 2. а Полагаем х„.— ' Л *(Ч). По формуле опережения находим: х„е» .— ' е" (Х'(Ч) — хо) = е" (Х*(Ч) — 1) = е"Х" (Ч) — е», х„ьг — ' е '(Х" (Ч) — хо — х»е ") = е (Х'(Ч) — 1 — 2е ) = = ет»Х'(Ч) — е~» — 2е». Внося вти выражения в походное уравнение, приходим к операторному уравнению (ст» — е' + 1)Х'(Ч) = ст» + е» Таким образом, ет» + е» Х (Ч) = ет» — е» + 1 х 1 в ~/3 Так как сов — = —, аш — = —, то Л*(Ч) запишем в следующем виде: 3 2' 3 2' "("-И -'" "("--э Л (Ч) ет» — 2е» вЂ” -ь 1 ет» — 2е»соа — + 1 2 3 Отсюда по формулам 10 и 11 таблицы изображений и.
1 находим пя;, пя 2п+ 1 х„= сов — + НЗ вш — = 2 ебп »г. Р 3 3 6 и — 1 Замечание. Записать ответ в форме х„= 2сов я нельзя, 3 так как в атом случае получим хо = 0 ф 1 (по условию равенства нулю решетчатой функции от отрицательного аргумента). 3 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 207 Пример 8.
Решить уравнение х„.12 — 4х„т1+4хп = 3" при произвольных начальных условиях хо, х1. 2 Полагая хп,— Х*(д) и используя приведенные при решении примера 1 иаображения х„ь1,— ' е'Х'(о) — хоее, хпч.2 . ' е ~Х" (д) — хое2" — х1е2, приходим к операторному уравнению еа (е~т — 4е' + 4)Х*(о) — хое~ч — (х1 — 4хо)е' = е2 — 3 е" поскольку по формуле 3 таблицы п. 1 3" .— ' . Отсюда находим еч — 3/ е2 ( ~ — 2)2 ( )( ~ - 2)~ ( ~ — 3)( ~ - 2)~ 1 Разлагая дробь на простейшие, имеем (еч — 3)(еч — 2)2 е20 е2 е' е' Х"(д) = хо + (х1 — 4хо — 1) г + "(ед 2)2 (еч — 2)2 е2 — 2 еа — 3 Но е Ч Ц .
†' 3, е .— ' 2, е2 — 3 ' ' еч — 2 ' 2ет 2ет" .— п 2", .— ' (и+ 1)2п+ пе1 (еч 2)2 ' (еч 2)2 (последнее соотношение следует из предыдущего по формуле опереже- ния). Переходя от Х'(д) к оригиналу, находим: и+1 х1 — 4хо — 1 хп = хо 2"~~ + п 2" — 2" + 3" = 2 2 2 и 2" + (хо — 1) 2" + 3" = (С1 + Сг и) 2" + 3". ~> Пример 9.
Решить систему разностных уравнений хпч-2 — уп = О, Уп-1-2 + хп = 0 при начальных условиях хо — — Уо — — 1, х1 = /2, у1 — — О. Гл. 14. Операционное исчисление 208 а Полагая х„.— ' Х'(д), у„.— ' У*()1) и по формуле опережения имеем: х„е2 .— ' еэч(Х'()1) — хо — х)е ') = етчХ" (д) — етч — ч/2е", у 4-2 ' е 4(У (г)) уо у)е ч) = еэчУ (гч) — еэч Получаем систему операторных уравнений етчХ'(д) — У*(д) = еэч + ч/2 еч, еэчУ'(о) + Х"(д) = еэ". е4ч + ч/2 еэч + еэч е2ч х И)- е44 + 1 етч — ч/2 еч + 1 44 24 /2 ч 24 ч/2 еч У"И)— е44 + 1 еэч †,/2 еч + 1 Применяя формулу опережения, имеем: е 24 еч е' в)п— и '2 — — Ч вЂ” — .— ' 2 1 ) ~1) —, еэч — ь/2еч + 1 еэч — 2еч сов — + 1 4' 4 е' (еч — соа -) — еч э)п— еэч — 1/2 еч еэч — ч/2 еч + 1 т е2ч — 2еч сов — + 1 4 пчг, пчг г- (и+ 1)чг .
†' соа — — а1п — = 4г2 соа 4 4 4 Следовательно, (и + 1)т , — (я + 1).г х„= ъ'2 э)п 4 ' 4 у„ = ъ'2 соэ г> Решить следующие линейные разностные уравнения: 14.189. х„ж2 — Зхп+4 — 10х„= 0; хо = 3, хг = — 1. 14.190. хе+2+ хп4.4+х„= 0; хо = 1, хг = — 1. ч/З 14.191.
хи+2 — ч/Зхп+г + хп = 0; хо = —, хд = —. 2' 2 14.192. х„+2 — Зхп+4 + 2х„= 0; начальные условия произвольные. Так как ечч + 1 = (еэ' + /2 е' + 1)(еэ' — ч/2еч + 1), то решение этой системы запишется в виде З 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 209 14.193. хп.~з — Зхп~т + Зхп~.~ — хп = 2"; хо = х1 = О, хз = 1. 14.194. х„~т — 5хп+~ + бхп = 2 4"; начальные условия произвольные. Решить системы линейных разностных уравнений: 14195 х +1 хп+уп =Зп у„+1 + 2хп = — 3"; хо — — 3, уо = О.
14.196. 5х„.ы — 12хп — р„= О, 5уп~1 — 6хп — 13дп = О; начальные условия произвольные. Глава 15 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 1, Интегральные уравнения Вольтерра 1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с дифференциальными уравнениями. Дикейньлм ллнтезральньлл уравнением Волыперра 2-зо родо называется уравнение у[х) = Дх) + К[х, 1) у[л) дл, где у(х) — искомая функция, а К(х, л) и у[х) — известные функции, определенные соответственно в треугольнике а < х < 6, а < л < .т и на отрезке [а, 6].
Функция К(х, 1) называется ядром интегрального уравнения (1), функция У[х) — свободным !левом этого уравнения. Решением уравнения (1) называется всякая функция у[х), х Е [а, 6], подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Вопрос о существовании и единственности решения решается различныьи образом в зависимости от свойств ядра К(х, л) и свободного члена у[х), а также от того, в каком классе функций ищется решение. Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, мы будем предполагать, что функции К(х, л) и г[х) непрерывны в своей области определения. Прп этом условии уравнение (1) имеет, и притом единственное, решение в классе функций, непрерывных на [а, 6].
Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода используются обычно при описании динамики различных процессов в системах. В частности, всякая задача Коши для линейного дифференциального уравнения дву дп — 1 — + а
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
