3 часть (1081356), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Следовательно, соотношение (19) в пределе при и -+ оо переходит в формулу р(х) = Дх) + Л Н(х, С, Л)У(С)с(С, а (22) 1 р(х) = х — — / хр(С) сСС. 2„с о з Из рекуррентных соотношений (20) получаем Кь(х, С) = х, выражаюшую решение интегрального уравнения через резольвенту. Пример 7. Найти резольвенту Н(х, С, Л) ядра К(х, С) = х и, используя ее, решить интегральное уравнение 221 3 1.
Интегральные уравнения Вольтерра й х хг — гг Кг(х, С) = К(х, в) Кг(в, С) 4в = хаев = х х у . г Г вг — гг 1 Ухг — СгЛ Кэ(х, г) = К(х, С) Кг(в, С) йв = / хв — 4в = х ° — ~ ) 2 2 [, 2 с Вообще, можно проверить (например, методом математической индук- ции), что 1 /хг — ГгЛ г-~ К,(х, С) = х — 1 ) , у = 1, 2, (-1) ~ ) Подставляя это выражение для итернрованных ядер в формулу (21), най- дем резольвенту ЛВ /хг — гг~ У г а В(х, г, Л) = х ~~~ (З вЂ” 1).
'г, 2 ) в=1 Найдем теперь решение заданного интегрального уравнения. В рассма- 1 триваемом случае Л = — — и у'(х) = х, поэтому на основании (22) получаем Х х у(х) =х — — ) хе 1сх=х — хе / гг(е4) =хе 2,/ О о Найти резольвенты для следующих ядер: 15.38. К(х, 1) = 1. 15.39. К(х, в) = в. 15.40. К(х, С) = хг, 15.41. К(х, 1) = х1.
15.42. К(х, г) = хгг. 15.43. К(х, 1) = е* '. 15.44. К(х, 1) = 2'"* '"' 15.45. К(х, 1) = 1+х 1+гг' с~ — 1+ 1 сЬх 15.46. К(х, 1) = . 15.47. К(х, 1) = —. хг — х+ 1 сЬ1 15.48. Показать, что для произвольного ядра вида К(х, 1) = = хвгч, где р и о — некоторые положительные целые числа, резольвента имеет вид „в+в+1 ,в+в+~ Я(х, с, Л) = х~1че в+в+' 222 Гл. 15. Интегральные уравнения 15.49.
Показать, что для произвольного ядра вида К(х, 1) К(х) К(1) ' , К(1) ~ О, резольвента имеет вид Д(х 1 Л) = )е (х ~). К(х) К(1) Найти с помосцью резольвенты решения следующих интегральных уравнений; 15.50. у(х) = 1 — 1у(1) й. о х 15.51. у(х) = х + х1уЯ й. о х 15.52.
у(х) = з1пх+2 ех ~у(~) й. о х Г с!ах 15.53. у(х) = сЬх+ ( — у(1) й. / .и о 1 Г 1+В 15.54. у(х) = + / у(1) й. х2 / 1+х2 о 3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода вида (23) у(х) = У(х) + К(х — с) у(Ц й, а в котором ядро К(х, с) = К(х — 1) зависит лишь от разности аргументов, называется уравнением типа свертки. Если в (23) а — конечное число, то, не ограничивая общности (см.
задачу 15.65), можно считать а = О, гго мы и будем предполагать в дальнейшем. Для решения уравнений типа свертки используется преобразование Лапласа. Предположим, что функции у(х) и К(и) -- оригиналы (см. гл. 17, 3 1, и. 1). Можно показать, что в атом случае решение у(х) также будет оригиналом и, следовательно, к обеим частим уравнения (23) можно применить преобразование Лапласа.
Полагая у(х) =' 1'(р), У(х) =' г'(р), К(и) .=' К(р) З 1. Интегральные уравнения Вольтерра 223 и используя теорему о свертке, согласно которой К(х — 1) у(1)й,=' а -' К(р) У(р), получим )'(Р) = ~(Р) + К(р) )'(Р) откуда Оригинал у(х) длп У(р) будет решением интегрального уравнения. П р и и е р 8. Используя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение у(х) = 1 + сЬ (х — 1) у(1) й. о 1 з Так как 1 =' — и ей и = —,, то, применяя к обеим частям задан- Р з 'ного уравнения преобразование Лапласа и используя теорему о свсртке, получим 1 (Р) = + 1 (Р) 1 р Р Р~ Отсюда г 1 2 Р(Р Р 1) Р 1 ) 5 2) 4 Д и, следовательно, у(х) = 1+ — е'втаб — х.
1> тУ5 2 С помощью преобразовании Лапласа найти решения заданных уравнений типа свертки: 15.55. у(х) = ех — х — 1+ у(1) Й. о ,,2 15.56. у(х) = — + / (х — 1) у(1) гй. 2 о Гл. 15. Интегральные уравнения 224 хе'х — ет(х-')у(1) й. о якх+ сов (х — г) у(1) й. о е*+ з(п(х — 1) у(1) й. о е1 их — аЬ (х — 1) у(1) й. о х х~ 1 У вЂ” + — (х — 1)з у(1) й. 2 2./ о х ехх + (х — г)ех ~ у(1) й, о х 1+ сов (х — г) з1п(х — 1> у(1) й. о 15.5Т.
у(х) = 15.58. у(х) = 15.59. у(х) = 15.60. у(х) = 15.61. у(х) = 15.62. у(х) = 15.63. у(х) = 15.64. у(х) = 1+хсозх — зшх+ (х — 1)е4п(х — 1) у(8) й. о 15.65. Показать, что если у(х) — решение уравнения (23) с а ~ О, то функция у*(х) = у(х+ а) удовлетворяет уравнению у*(х) = у'*(х) + К(х — 1) у*(1) й, о Решение уравнений типа свертки можно провести и несколько иным способом, а именно — путем использования преобразования Лапласа для нахождения резольвенты. В самом леле, резольвента ядра Х(х, Ц = = К(х — 1) зависит лишь от разности аргументов (см. задачу 15.66) и, где у*(х) = у(х+ а).
15.66. Показать, что для ядра К(х, 1) = К(х — 1) все итерированные ядра, а следовательно, и резольвента также зависят лишь ог разности аргументов х — 1. 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 225 следовательно, решение уравнения у(х) = у(х) + К(х — 1) у(1) й о (24) можно записать в виде р(х) = у(х) + В(х — 1) Д1) сй, о (25) где В(х — 1) = Я(х, С, 1), а В(х, Е, Л) — резольвента ядра К(х, 1) = = К(х — 1). Применяя к обеим частям уравнений (24) и (25) преобразо- вание Лаштаса, получим 1'(р) = г'(р) + К(р) У(р), )'(р) = Г(р) + А(р) г'(р), откуда Л()- К(р) 1 — К(р) (26) р(С) = 1+ — / е '~ в1п — (х — г) у(С) й. г ., Д ~/3 2 о 2 в т ~ГЗ ° а В рассматриваемом случае К(и) = — е вУ~ гйп — и и ~/3 2 1 1 / 11 3 р +Р+1 ~р+ -) +— 2) 4 1 1 1 Из (26) получим Л(р)— — — — '1 е ", т.е. В(х — 1) = р(р+1) р р+1' = 1 — е ~* й.
Учитывая, что у(х) = 1, с помощью (25) находим решение р(х)=1+ (1 — е ~' й)й=х+е *. с о Оригинал тс(и) Ф Й(р) определяет резольвенту гс(х — 1), зная которую, из (25) найдем и решение уравнения. Пример 9. С помощью резольвенты пай*и решение уравнения Гл. 15. Интегральные уравнения 226 Найдя резольвенту с помощью преобразования Лапласа, решить следующие интегральные уравнения: 15.67. у(х) =1.ь е-з(х-0 уфй о х 15.68. у(х) = 2+ — (х — 1)з у(1) й.
6/ о 15.69. у(х) = е *+ е ~~ 0 а1п(х — 1) у(1) й. о 15.70. у(х) = е ' -Ф- (1 — е (* ))у(1)й. о 15.71. у(х) = 1+ / е 2 соа — (х — й) у(1) й. г .../3 2 о Используя преобразование Лапласа, решить систему уравнений типа свертки: х х 15.72. уь(х) = — 1 + уз(1)й, ут(х) = х — у1(1) й. о о х 15.73. у1(х) = -х+ уз(~) й, о я х уз(х) = — Зх~+ х — 5 у1(1) й+ 2 уз(1) й. о о х 15.74.
у1(х) = х+ ут(1) й, о з уз(х) = — + 2х — 1 — (х — 1) у1(1) й. 6 о о 1. Интегральные уравнения Вольтерра 227 15.75. у~(х) = е — у~(1) й + 4 е~ ' уз(1)Ж, о о х х ут(х) = 1 — е (* ')у~(1) й + ут(1) й. о о 15.76. у~(х) = х+ ут(1) й, ут(х) = 1 — у~(б) й, о о 1 уз(х) = з(их+ — / (х — 1) уо(1) й. 2./ о 4. Уравнения Вольтерра 1-го рода. Линейным интегральным урав- нением Вольтаерра 1-го рода называется уравнение вида К(х, 1) у(1) й = Дх), 1 а (27) где у(х) — искомая функция, а К(х, 1) и у(х) — заданные функции, определенные соответственно в треугольнике а < х, 1 < 5, 1 < х и на отрезке (а, Ь).
Классическим примером уравнения этого типа является уравнение Абеля й=Дх), у(1) о у(1) = / д(1, т) х(т) дт, (28) где д(с, т) — весовая функция, опрелеляемая свойствами системы. Если в частности, выполнено условие физической реализуемости (т.е. 1 а также его обобщение с ядром вида К(х, 1) =, 0 < а < 1, (х — 1)" имеющим интегрируемую особенность при х = й В настоящем пункте ограничимся рассмотрением уравнений, для которых ядро К(х, г) и свободный член у(х) непрерывны всюду в своей области определения.
К уравнениям Вольтерра 1-го рода приводит, например, следующая важная задача, часто встречающаяся на практике. Пусть задана некоторая линейная динамическая система, х(1) — ее входной, а у(1)— выходной сигналы. Тогда, как известно, зависимость у(г) от х(1) может быть записана в виде Гл. 15. Интегральные уравнения 228 д(й, т) = 0 при т > 1) и система находилась в покое до момента вре- мени Со (т.
е. х(С) = 0 при С ( Со), то (28) принимает вид с у(с) = д(с, т) х(т) сст. (29) Если теперь требуется по известному выходному сигналу восстановить внешнее воздействие, то мы приходим к уравнению Водьтерра 1-го рода (29) относительно х(С) при заданной функции у(С). В отличие от уравнений Вольтерра 2-го рода, решение уравнения Вольтерра 1-го рода (27) существует только в том случае, когда свободный член ) (х) удовлетворяет ряду дополнительных условий, зависящих в каждом конкретном глучае от свойств ядра К(х, с). В частности, каково бы ни было ядро, необходимым условием существования решения, как это видно из (27) при х = О, является равенство у(а) = О.
Пример 10. Найти условия разрешимости в классе непрерывных функций и решение уравнения 1 (х — 1)" ' у(С)сМ =,((х), и =1, 2, ..., х б [О, с]. (30) (и — 1)! о <э Предположим, что непрерывное решение у(х) существует. Тогда из (30) следует, что у(0) = 0 и существует непрерывная производная ус(х), х Е [О, с]. Дифференцируя (30) последовательно и раз, получаем х .( .-') ( . 1)н-з у(С) асс = с' (х), о х у(1) СС = У<" О(х), о у(х) = )с"с(х). Таким образом, если непрерывное решение у(х) существует, то функция ,)(х) имеет непрерывные производные до и-го порядка включительно, причем ,с (0) = с"'(0) =...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
