3 часть (1081356), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Заметим, что а если заменить Л на 1/р, то система (23) принимает вид (25) (А — рЕ)Б =О, рфО. Отсюда следует, что собственные числа интегрального уравнения (22) совпадают с отличными от нуля собственными числами матрицы А, а собственные функции определяются соотношением (23), где Б = (я), ..., а„) — соответствующие собственные векторы этой матрицы. Пример 6. Найти характеристические числа и собственные функции уравнения 1 у(х) — Л ( (ХФ вЂ” 2хэ) у(1)(41 = О, о З Ядро К(х, 1) = хр — 2х вырожпенное. Полагая р1(х) = Х, рэ(Х) = — 2Х, д,(1) = ь, д,(ь) = 1, найдем элементы матрицы А в (25): 1 3' 2 1 2 2 3 1 а)1=~ х ((х 2 о 1 а«п = х((х о 1 а)э —— — 2 хз Их о 1 ахт — — — 2 х а)х о 3 2.
Интегральные аанения Фредгальма 245 )(арактеристическое уравнение для определения собственных чисел ма- трицы А имеет вид 1 1 Р 3 2 дес (А — рЕ) = 1 2 Р 2 3 откуда р = — 1/6 — единственное собственное число матрицы А. Соот- ветствующие собственные векторы находим из системы уравнений 1 1 (А!- -Е) Я = 2 2 общее решение которой а1 — — С, аэ = С, где С вЂ” произвольная постоян- ная. Следовательно, окончательно получаем, что заданное интегральное 1 уравнение имеет единственное характеристическое число Л = — = — 6, Р а соответствующие собственные функции имеют вид у(х) = — 6(а1х — 2аэх ) = С(х — 2х ), где С вЂ” произвольная постоянная.~> Интегральное уравнение может вообще не иметь характеристических' чисел (например, в том случае, когда ядро К(х, 1) вольтерровское или, в случае вырожденного ядра, матрица А в (24) нулевая) либо не имеет действительных характеристических чисел.
Пример 7. Найти характеристические числа и собственные функ- ции уравнения у(х) — Л хсоа1у(1) й = О. 0 Имеем у(х) — Лха = О, а = / соа1у(1) ай откуда л а — Ла / хсоахох = О. Ио хсоэхАх = О, поэтому при любом Л последнее уравнение имеет только одно решение: а = О. Следовательно, при любом Л интегральное Гл. 15. Интегральные уравнения 246 уравнение имеет только тривиальное решение, т.
е. не имеет характеристических чисел. ~> Приме р 8. Найти характеристические числа и собственные функ- ции уравнения у(х) — Л яп (х — 1) у(г) г11 = О. — л < Ядро К(х, 1) = яп(х — 1) = ашхсов1 — соахвгпс выроагденное, причем можно положить 1гг (х) — агп х Рт (х) — сов хг чг (С) = сов 1, гут(1) = яп(1); л г матрица А = а;. = дг(х)р.(х) г(х имеет вид характеристическое уравнение г(ег(А — рЕ) = ~ Р =р +х =О (А — тЕ)Бв = ( х — 1х) (а,) = (О) (а ) =С'(-г). П рз — — — г (А+тЕ)$л, (гг гк) (а )„, = (О) (:,')„, ='(~) (27) Окончательно заключаем, что заданное интегральное уравнение действительных характеристических чисел не имеет, но имеет два комплекс- 1 1 ных характеристических числа Лг т = — — — ~г —.
Соответствующие игл х собственные функции имеют вид (см. (26) и (27)) уг(х) = Лг(Сг япх — гСг соах) = Агег*, ут (х) = Лт (Сз яп х + 1Ст соз х) = Ате '*, где Аг и Аз — произвольные комплексные постоянные. ~> имеет только комплексные корни рг,т — — хгмя Найдем соответствующие собственные векторы Пля рг = гх 247 2. Интегральные у авиеиия Ф едгольма Найти характеристические числа и собственные функции заданных интегральных уравнений с вырожденньгм ядром (ограничитьси случаем действительных характеристических чисел): 15.129. у(х) — Л (1+ 2х) 1у(8) й = О.
о 1 15.130. у(х) — Л (1 — хв) у(Р) й = О. о 1 15.131. у(х) — Л (х( у(г) й = О. -1 15.132. у(х) — Л хв1п1у(1) й = О. о 15.133. у(х) — Л совхсое1у(1) й = О. о 1 15.134. у(х) — Л (х+ 1) у(1) й = О. о 1 15.135. у(х) — Л (хе'+ 21) у(1) й = О. о 1 1 ~ 15.136. у(х) — Л хяп2х1 — — )' у(1) й = О. 2х,~ о 15.137. у(х) — Л з1п(х+ 1) у(1) й = О. о 15.138. у(х) — Л соа (х — 1) у(1) й = О. о Гл.
15. Интегральные уравнения 248 Длп уравнений Фредгольма 2-го рода вида у(х) — Л К(х, г) у(1) дг = )'(х), ь (28) у(х) — Л К(х, 1) у(ь) дг = 0 а (29) имеет либо конечное, либо счетное множество характеристических чисел; если этих чисел счетное множество, то они стремягася к бесконечности.
2. Если Л вЂ” харакгаеристическое число, то уравнение (29) и сопряженное ему однородное уравнение у(х) — Л К*(х, Г) у(1) дГ = О, а (30) где К'(х, 1) = К(х, Г), имеют одно и то же, и притом конечное. число линейно независимых решений. 3. Альтернатива Фредгольма: либо неоднородное уравнение (28) имеет одно и только одно решение для любой функции г"(х) б б 1г(а, 6), либо соответствующее однородное уравнение (29) имеет по крайней мере одно нетривиальное решение. (Другими словами, если число Л не является характеристическим, то уравнение (28) имеет, и притом единственное, решение длл любой функции у(х) б бэ(а, 6).) 4.
Если Л вЂ” — характеристическое число, то для того чтобы уравнение (28) имело решение, необходимо и доститочно, чтобьь свободный член г"(х) был оргпогонален любому решению у'(х) однородного сопряженного уравнения (30), т. е. ь ,) (х) у*(х) дх = О. а Проиллюстрируем теорему Фредгольма на примере интегрального уравнения с вьгрожденным ядром. где а и Ь вЂ” конечные числа, а ядро К(х, г) и свободный член у" (х) интегрируемы с квадратом в области а < х, г < 6 и на отрезке [а, 6) (в частности, непрерывны), справедливы следующие теоремы Фредголь ма (при формулировке которых мы ограничимся случаем действительного лдра К(х, г)).
1. Однородное уравнение 3 2. Интегральпьге уравнения Фредгольлга 249 Прилгер 9. Исследовать решения интегрального уравнения л р(х) — Л ( (х~ сов 1+ тейпа) р(С) гй = сов х — л (31) в зависимости от значений параметра Л. сг Решение интегрального уравнения сводится к решению неоднородной системы (Š— ЛА)Я = Р (32) где ао = ~*(х) р,(х) Дх, г,; =1 2 л А = (а,.), и Р (Л У ) гг д (х) гг(х) с(х В рассматриваемом слу гае имеем р (х) = хт, р (х) = х, суг(Г) = совг, гуз(х) = сйпс, 6истелса (32) имеет вид (33) Характеристическое уравнение с)ег(Š— ЛА) = (1+2ггЛ)(1 — йхЛ) = О 1 1 имеет корни Лг = — и Лт — — — —, являюшиеся характеристическими 4х 2гг' числами соответствующего однородного уравнения.
х а„= совх т, сгх =4х, г — ~г аги = вшх.х г4х = О, 2 -к Л Л = соз х с)х = и, -л агт = сов т хнах = О, авт = вгпх. хс(х = — 2л., — гг к ,г 2 — я!п х соя х ссх — Π— л Гл. 15. Интегральные уравнения 250 1 1 При любом Л ~ —, — — система (33) имеет единственное решение 4п' 2х х 81 = аг — — 0; 1 — 4пЛ соответствующее решение интегрального уравнении; г у(х) = совх+ х, Лф —, 1 — 4пЛ ' 4п' 2п 1 При Л = Л1 — — — из (33) получаем 4п Эта система, а вместе с ней и исходное интегральное уравнение решения не имеют. При Л = Лг = -1/(2п) система (33) принимает внд (0 0) (в ) (0) и имеет решения а1 = и/3, аг = С.
Соответствующие решения инте- грального уравнениа таковы: г у(х) — соях+ Лг(агх + агх) — соях х + Сх, 6 где С вЂ” произвольная постолнная. с Исследовать решения заданных уравнений с вырожденным ядром при различных значениях параметра Л: 15.139. у(х) — Л х(1+1) у(1) й = хг. о 1 15.140. у(х) — Л ху(~) й = яп2пх. о 1 3 15.141. у(х) — Л (1+ 2х) 8у(1) г(1 = 1 — — х. 2 о 1 15.142.
у(х) — Л х а1п 2х1у(1) Й$ = х. о 3 2. Интегральные уравнения Ф едгольма 251 15.143. 8(х) — Л 181у(Ь) йй = сЬЯх. 1 15.144. р(х) — Л агссоз |у(~) й = хУ1 хт о 15.145. Я(х) — Л згпхсоаьр(~) й = созх. о ! 15.146. у(х) — Л (1+ хЬ) у(У) й = выл пх.
-1 1 1 3 15.147. у(х) — Л (х+ Ь) у(1) Й = — + — х. 2 2 -1 15.148. у(х) — Л соз (х+ 1) у(Ь) й = 1. 4. Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным ндром. Ядро К(х, г) называется симметричным, если оно удовлетворнет условию К(х, 1) = К(1, х) длп всех а < х, 1 < Ь. Длп симметричных ядер, удовлетворпющих условию ь ь )К(х, 1)1~ дха! < +ос, дополнительно к основным теоремам Фредгольма (см. п. 3) справедливы следуюшие утверждении; 1.
Симметричное ядро, отличное от тождественного ндлл, имеет по крайней мере одно характеристическое число. 2. Хар!ьктеристпические числа симметричноео лдра действительны, а собственные й!ункиии, соответствуюиЬие различным характеристическим числам, ортозональны. На практике часто встречаетсн случай, когда интегральное уравнение с симметричным ядром является решением некоторой самосопрпженной однородной краевой задачи длл обыкновенного дифференциального уравнении. В таких случаях нахождение характеристических чисел и собственных функций ндра сводитсл к решению указанной краевой задачи.
Гл. 15. Интегральные уравнения 252 (34) хэ Заметим, что ядро (34) симметричное. Действительно, из (34) следует х (1 + 1), 0 < 1 < х < 1, К(х, 1) = (х + 1)1, 0 < х < Г < 1. (35) Сравнивая (34) и (35), видим, что К(х, г) = К(1, х) для любой пары (х, Е).
Однородное интегральное уравнение у(х) — Л К(х, 1) у(1) й = 0 о (36) с ндром (34) запишем слелуюшим образом: х 1 у(х) = Л х (М+ 1) у(1) О+ (х+ 1) гу(1) е(1 . (37) о х Далее, дважды продифференцируем (37): у'(х) = Л (1+ 1) у(1) й + х(х + 1) у(х) + о 1 + Гу(1) <й — (х+ 1) ху(х), (38) у" (х) = Л((х+ 1) у(х) — ху(х)) = Лу(х). (30) Таким образом, число Л и функция у(х) таковы,что у" — Лу = О. (40) Найдем теперь краевые условия, которым должна удовлетворять искомая функция у(х). Для этого, подставляя в (37) и (38) х = 0 и х = 1, Пример 10. Найдите характеристические числа и собственные функции ядра з 2. Интегральные уравнения Фредгольма 253 получим откуда у(о) = у'(о), у(Ц = у'(Ц .
(41) Соотношение (40) и (41) образуют в совокупности однородную краевую задачу, решая которую, найдем характеристические числа и соответствующие им собственные функции исходного интегрального уравнения. Рассмотрим три случая. 1) Л = О. Уравнение (40) принимает вид у"=О, его общее решение: у(х) = С1 + Сэт. (42) Используя краевые условия (41), получим для нахождения постоянных Сэ и Сэ систему С1 =Со, С1+Сэ =Сг, которая имеет единственное решение С1 — — О, Сэ = О. Следовательно, краевая задача, а вместе с ней и уравнение (36) при Л = 0 имеют лишь тривиальное решение у(х) = О, т.е.
Л = 0 не является характеристи- ческим числом. Впрочем, это можно было заметить сразу из уравнения (36): если в нем Л = О, то у(х) = О. 2) Л = ыэ > О. Уравнение (40) имеет вид у — ы у=О, его общее решение: у(х) = С|е~*+ Сэе ~*. Краевые условия (41) приводят к системе С1 + Сэ = ыС1 ыСэ~ С1е + Сэе = ыС1е — ыСэе нли, в матричной форме, .-..~ —.) (с,) = Ы (43) 1 у(0) = Л гу(г) 11, о 1 у'(о) = л гу(1) (г, о у(1) =Л (1+1)у(1) и, о 1 у'(1) = Л (г+ 1) у(г) (г, о Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
