3 часть (1081356), страница 29
Текст из файла (страница 29)
15.5. и" — 2и'+ и = О, и(2) = 1, и'(2) = — 2. 15.6. и" — япх и'+ е*и = х, и(0) = 1, и'(0) = — 1. 15.7, ига + хи = е*, и(0) = 1, и'(0) = и" (0) = О. 15.8. иш + и" — и = О, и(0) = й(0) = иа(0) = О, й" (0) = 1. 15.9*. Показать, что задача Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами — + а1 — +... + а„у = Дх), г(ну Е' 'у я. к ~~~~~-1 Уо(хо) = Уо У (хо) = Ум У (хо) = Ук-г (и-1) сводится к интегральному уравнению вида (1) с ядром (х — г)ь К(х, г) = — ~~~ аь а=1 зависящим лишь от разности х — г своих аргументов (интеграль- ное уравнение тина свертки, см.
и. 3). Задача Коши для произвольного дифференциального уравнения 1-го порядка вида р = у(х, р), у(хо) = уо эквивалентна в общем случае нелинейному интегральному уравнению Вольтерра у(х) = ро+ у(х, у(г)) й. Аналогично, задача Коши для произвольного дифференциального уравнения и-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, рбя = у(х, у, у', ..., р~" О), р(хо) = ро, у'(хо) = ры, р~" ~(хо) = у -1 может быть сведена к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра. Пример 2. Составить систему интегральных уравнений, соответствующую задаче Коши р" = 2р — р', р(0) = 1, р'(0) = О. 3 1.
Интегральные уравнения Волътерра 213 з Полагая уг(х) = у(х), уз(х) = у'(х), сведем исходную залачу к задаче Коши для нормальной системы 2-го порядка У( = Уэ Уэ = 2У! — Уэ, У~(0) = 1, Ут(0) = О. В свою очередь, полученная система дифференциальных уравнений с учетом начальных условий эквивалентна системе интегральных уравне- ний х х У~(х) = 1+ Уг(Г) й, Уз(х) = (2У~(Г) — Уэ(1)) й. 1> о о у(х) = япх+ эш(х — 1)у(1) й. о (6) О Последовательно дифференцируя интегральное уравнение, получаем у'(х) = сов х+ сов(х — 1) у(1) й, о (7) у" (х) = — э1пх+ у(х) — яп (х — 1) у(г) й.
о (8) Составить интегральные уравнения или системы уравнений, соответствующие следующим задачам Ноши: 15.10. у' = 1 + х яп у, у(я) = 2я. 15.11. у' = — 1 + Зхт + уз, у(1) = 1. 15.12. ув = х + у, у(0) = 1, у'(0) = 2. 15.13. усч = -ху', у(0) = — 3, у'(О) = 1, ув(0) = — 1. 15.14. у'н = х + хуз — у', у(0) = 1, у'(О) = ул(0) = О. Во многих случаях решение интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода (или системы таких уравнений) в свою очередь может быль сведено и решению некоторой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Укажем здесь два способа, посредством которых это может быть сделано.
а) Если в исходном интегральном уравнении (1) ядро К(х, 1) и свободный член у(х) имеют непрерывные производные К'(х, 1) и У'(х), то вто уравнение может быть продифференцировано (один или несколько раз), что и позволяет в ряде случаев свести его к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Пример 3. Решить интегральное уравнение Гл. 15.
Интегральные уравнения 214 у(х) = х+ 2ебпх — 1 — (х — !) у(!) й. о (9) а Дважды дифференцируя уравнение (9), получаем у'(х) = 1 + 2 соа х — у(!) й, о (10) ув(х) = -2а!их — у(х). Уравнение (11), или в стандартной форме (11) у" + у = — 2а!пх, (12) и есть дифференциальное уравнение для функции у(х). Начальные усло- вия найдем из (9) н (10) при х = 0: у(0) = — 1, у'(0) = 3. (13) Решая задачу коши (12), (13), нахолим у(х) = 2 з!и х + (х — 1) соа х, что и является решением исходного интегрального уравнения. > б) Пусть исходное интегральное уравнение (1) имеет вид (14) (уравнение с вырожденным ядром). Запишем его следующим образом: Исключая из уравнений (6) и (8) интеграл а!и (х — !) у(!) й, получаел1 о для неизвестной функции у(х) дифференциальное уравнение у" (х) = О. Из (6) и (7) находим начальные условия: у(0) = О, у'(0) = 1.
Следовательно, у(х) = х. !> Рассмотренный прием всегда приводит к цели в том случае, когда ядро К(х, !) имеет вид многочлена по степенны бинома х — ! (см, задачу 15.9). Пример 4. Решить интегральное уравнение 5 1. Интегральные уравнения Воль терра 215 Пводя функции иг(х) = 91(1) у(1) 11, о (16) и„(х) = ц„(г) у(г) г(г о и подставляя их в (15), заключаем, что решение интегрального уравнения (14) имеет вид и у(х) = ((х) + ~~~ р;(х) и,(х). (17) Далее, дифференцируя соотношения (16) и подставляя вместо у(х) выражение (17), получаем для неизвестных функций и;(х) систему дифференциальных уравнений п и',(х) = щ (х) у(х) + ~~ о~(х) р,(х) и;(х), и„(х) = д„(х) у(х) + ~~ у„(х) р;(х) и;(х). Из (16) при х = О находим начальные условия: и~(0) =...
= и„(0) = О. Определив функции и;(х) и подставив их в (17), получим решение у(х) интегрального уравнения (14). Пример 5. Решить интегральное уравнение „(4, = , Г „(, . Г сЬ| / сЬх о ° з Полагая и(х) = сЬ1у(1) й, получим о 1 у(х) = 1 + — и(х). сЬх Далее, дифференциальное уравнение для и(х) имеет вид 1 и'(х) = сЬху(х) = сЬх ( 1+ — и(х) с1г х или и — и = сЬх. Гл. 15. Интегральные ураакеккл 1 хе*+ впх опх Решить интегральные уравнения, сведя их предварительно к обыкновенным дифференпиальным уравнениям х е* + у(1) й. О 1+ ~у(1) й.
о х 1 — + ьбп (х — 1) у(г) й. о х е *соах — соахе (* )у(г)й. о 4е* + Зх — 4 — (х — 1) у(1) й. о 15.15. у(х) = 15.16. у(х) = 15.17. у(х) = 15.18. у(х) = 15.19. у(х) = х х — 1+ (х — 1) у(1) й. о ебпх+ — ~ (х — 1) у(1) й. 2/ о сЬ х — аЬ (х — 1) у(1) й. о х х+ (4вбп(х — 1) — х+ 1) у(1) й. о 1 + ((х — 1) — (х — 1)) у(г) й. о 15.20.
у(х) = 15.21. у(х) = 15.22. у(х) = 15.23. у(х) = 15.24. у(х) = Решая это уравнение с учетом начального условия и(0) = О, находим 1 и(х) = -(хе* + аут), откуда 2 з 1. Интегральные уравнения Вольтерра 217 у(х) = Дх) + К(х, С) у(1) й а заключается в слсдуюшем. Строится последовательность функций уо(х), у2(х), ..., Уп(х), ..., где нулевое приближение уо(х) — — произвольная функция, а последующие приближения определяются с помощью рекур- рентного соотношения уп(х) = у(х)+ К(х, 1)уп 4(1)г)1, п = 1, 2,.
а Если ядро К(х, 1) и свободный член Дх) непрерывны соответственно при а < х < б, а < 1 < х и на отрезке ]а, б], то построенная таким обрааом последовательность приближений уп(х), и = О, 1,..., при и — > оо сходится к единственному непрерывному решению интегрального уравнения. Обычно полагают уо(х) = Дх), однако зто вовсе не обязательно: удачный выбор нулевого приближения часто позволяет ускорить сходимость последовательности у„(х) к точному решению. П р и м с р 6. Методом последовательных приближений решить урав- нение у(х) = 1 — (х — 1) у(С) Й. о 43 Положим уо(х) = 1.
ХЪгда 2 у4(х) = 1 — (х — 1) Й = 1 — —, 2' о Уг(х) = 1 — (х — 1) 1— о ааля и-го приближения получим х2 х4 -) Э=1- — + —. 2) 2 4! х2 х4 хо 2п Хзй Уп(х) = 1- — + — — — +... + (-1) и — = Е (-1)" 2! 4! 6! ' (2и)! ь о (2Й)! ' 2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью реаольвенты. Метод последовательных приближений применительно к линейному интегральному уравнению Вольтсрра 2-го рода 218 Гл. 15. Интегральные уравнении откуда х2" д(х) = йш у„(х) = ~ ( — 1) —, = сов х. > ь=о Решить интегральные уравнения методом последовательных приближений: 15.25.
у(х) =1+ у(~)й, уо(х) =О. о х2 15.26. у(х) = — + х — у(1) й, 2 о .2 а) уо(х) = 1, б) уо(х) = — + х. 2 15.27. у(х) = 1 — хг+ хд(1) й о а) уо(х) = 1 — х2, б) до(х) = 1. х 15.28. у(х) = 1+ хд(~) й, уо(х) = 1. о х 15.29. у(х) = 1+ 1у(1) й, уо(х) = 1. о 15.30. у(х) =1+ 1гу(1)й, уо(х) =1, р=О, 1,2, ... о 15.31. у(х) = х — (х — 1) д(1) й, уо(х) = О. о 15.32. у(х) = 1 + (х — 1) у(1) й, уо(х) = О.
о х 15.33. у(х) = 2*+ 2 ~у(~) й уо(х) = О. о 1 Г 1+х2 15.34. у(х) = 1 + х2 — — / — у(1)й, уо(х) = О. 2/ 1+12 о 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 219 В задачах 15.35-15.37 методом последовательных приближений найти для заданных нелинейных уравнений Вольтерра второе приближение уз(х); в качестве нулевого приближения взять уо(х) = О 15.35. у1х) = 1г~ — у~(г)) й.
о 15.36. у(х) = х — н+ 1а)ну(1) й. о 15.37. у(х) = 1е ))(') й. о Часто вместо одного уравнения рассматривают семейство уравнений у(х) = Дх) +Л К(х, Г)у(1) й, а (18) и (*) = Л*) -'-" / ~(*, ') ЛО ь - у(*) + " ) К(*, б ХХ ~~, а а где К)(х, 1) = К(х, 1); у,1х) = у(х)+Л К(х, 1) щй+Л' К1х, а) К) 1а, 1) у<г) й )а = й а а = у(*) ' ~ ( к (* Й) ~(Й) й + ~ ) ) к(* ) ес ( Й) ь~ дЙ) ь = а а х у = Дх)+Л К)(х, С)Д1)й+ Л~ К (х, ~) Д~)й, а а соответствующих различным значениям числового параметра Л.
Пред- полагая, что Л фиксировано, будем решать уравнение (18) методом по- следовательных приближений, взяв в качестве нулевого приближения уо(х) = Дх). Тогда получим Гл. 15. Интегральные уравнения 220 где с Кт(х, С) = К(х, е) Кь(з, С) с(з. с Вообше, с„с,!=я,ь-~т'с С ссь,,сьесьсс= у=! = я*!'-сСс у'с'-'к,с*, г!) соьсь ос! ,ь=! где Ку(х, С) = К(х, е)К, ь(о, С)с(е, у' = 2, 3,..., (20) с Кь(х С) = К(х, С). Ядра Ку(х, С) назььваются повторными или итерирооинкььми. Если ядро К(х, С) непрерывно, то ряд Н(х, С, Л) = у Л! 'К„(х, С) 3=! (21) при любых фиксированных значениях Л сходится (равномерно относительно х Е [а, 6) и С Е (О, х)) к функции А(х, С, Л), называемой резольвентой ядра К(х, С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
