3 часть (1081356), страница 32
Текст из файла (страница 32)
у(х) + — / соя бу(1) й = 1. о 1 1 15.100. у(х) — л (1 — х) я(п2л1у(1) й = -(1 — х). 2 1 Г 15.101. у(х) — — ~ я1пху(1)1й = 2я1пх. 2л,/ о 1 15.102. у(х) + — ~ (соя (х+ 1) + соя(х — 1)) у(1) й = соя х. 2л,/ о Если в качестве нулевого приближения выбрать свободный член уравнения (5), т. е. уо(х) = Дх), то для п-го приближения получается обшая формула (см. также я 1, и.
2) и ь у=) Гл. 15. Интегравьные уравнения 236 где итерированные ядра определяются соотношениями К1 (х, Е) = К(х, !), Кг(х, !) = К(х, в) Кг 1(в, Ю) с(в, у' = 2, 3, а (8) Прн )Л( ( 1/Вн ряд Л(х, С Л) = ~ Л' 'К.(х, !) 1=1 (9) сходится и функция Н(х, 1, Л), называемой резояьвентой ядра К(х, 1). Следовательно, (7) в пределе при п — > со переходит в формулу у(х) = г'(х) + Л В(х, 1, Л) г'(!) сй, а (10) ! (!)!! 1+ г !п2,/ 1+ !г о < В данном случае К(х, !) = и для итерированныт ядер на осно- 1+ !г ванин (8) получаем К~(х, !) = К(х, !) = г х в !п2 х Кг(х !) = К(х, в) Кг(х, !) с(в = / — Ив = — —, / 1+вг1+!г 2 1+!г' выражающую решение интегрального уравнения через резольвенту. Замечание. Понятие резольвенты как функции ут(х, г, Л), с помощью которой по формуле (10) определяется решение интегрального уравнения, сохраняет смысл для любых значений Л, при которых это уравнение однозначно разрешимо.
Метод последовательных приближений и формула (9) дают представление для резольвенты в виде ряда по степеням Л (называемого рядом Неймана), годное лишь в области !Л! ( 1/Вн. Существует, однако, общий метод нахождения резольвенты — метод определителей Фредгольма, который в принципе позволяет построить резольвенту для любого значения Л, при котором интегральное уравнение имеет единственное решение.
Этот метод здесь не рассматривается. П р и м е р 2. С помощью итерированных ядер найти резольвенту и решение интегрального уравнения Э 2. Интегральные уравнения Фредгольма 237 1 1 1п2 Г х а Кз(х, 1) = К(х, а) Кэ(а, 1)г!а = — / — сЬ = 2 / 1+аз!+!з о о =(%'; Поэтому резольвента ядра равна Д(х,с,Л) '1 Л 'К,(,!) ~ — Л г=1 2 причем этот рнд сходится в области ~л~ < —. 2 !п 2' (и) Заметим, что в рассматриваемом случае 1 1 1 1 х' а+2 Нт = ! 1 ')К(х, 1)(тг!хЩ = ! / г!хг!! = —, / „! ',/,/ (1+!э)з 24 о о о а т.е.
условие (6) приводит к неравенству /Л! < 2~/ Г6 ~/я+2 (12) р(х)=1+х + — ~ 2 (1+1)о!=1+ — х+х. !> 1 Г х з 2 !п 2,/ 1+ 1з 1п 2 о Гб 2 Так как 2 1! — < —, то из сравнения (11) и (12) видно, что в рас- ~!.г+ 2 !п2' сматриваемом случае область сходимости ряда Неймана для резольвенты шире, чем это гарантируется условием (б) (в соответствии с замечанием на с. 236). 1 Далее, для заданного уравнения Л= — и, следовательно, !п2 1 Л х В х, 1, — у! = 2 .
Решение уравнения на основании (10) равно ' !п2) 1+ !з Гл. 15. Интегральные уравнения 238 Методом итерированных ядер найти резольвенту и решение заданных интегральных уравнений: 1 Г 15.103. П(х) — — / р(б) г)6 = я1пх. 2х ./ о 1 )п2 !' 15.104. р(х) — — / 2*~'П(1) Й = х.
2,/ о 1 15.105. у(х) + 1г хя1п2нбу(~) й = соя2пх. о 1 г 15.106. у(х) — — / хе у(г) й = е *. 2,/ о т1'2 15.107. р(х) — я1пхсоя~у(1) Й = 1. о Ядра К(х, 1) и Ь(х, 1) называются ортогональнььии в квадрате а < х, 1 < 6, если выполняютсн условия К(х, в) Цв, 1) сЬ = Х(х, в) К(в, 1) ав = 0 для всех а < х, 1 < 6, Если, в частности, ядро К(х, 1) ортогонально самому себе, то для него второе итерированное ядро К2(х, 1) = 0 всюду в квадрате а < х, 1 < 6.
Следовательно, для такого яира ряд Неймана для резольвенты сходится при любых значениях Л, а сама резольвента совпадает с ядром К(х, 1). Пример 3. Методом итерированных ядер найти резольвенту и решение интегрального уравнении р(х) — сояххсояЗл1 у(1) й = сояЗлх. — 1 <1 Япро К(х, 1) = соя нх соя Зл1 ортогонально самому себе: К(х, в) К(я, 1) сЬ = / (соянхсояЗхв)(сояня сояЗх1) сЬ = О. 3 2. Интегральные уравнения Фредгольма 239 Яоэтому рсзольвента В(х, 1, Л) = соялхсояЗл1 и решение заданного уравнения имеет вид ! у(х) = сояЗлх+ соялхсоя~Зл1Ш = сояЗлх+ соялх.
1> -1 15.108. Доказать, что сели ядра Х (х, 1) и М(х, 1) ортогональны, то резольвента ядра К(х, 1) = 1 (х, 1) + М(х, 1) равна сумме резольвент Ь(х, 1) и М(х, ~), т.е. Я!с(х, 1, Л) = Вь(х, ~, Л) + Вм(х, 1, Л). Используя ортогональность ядер и результат задачи 15.108, решить интегральные уравнения: ЗЛ 15.109. у(х) — х 1 — -1) у(~) !11 = 1. 2) о 1 15.110.
у(х) — я!и 2нху(1) 1Й = х. о 15.111. у(х) — я!п(х+ 2!) у($) Й = х. 1 15.112. у(х) — — ~ (х + 1 + х1) у(1) гЯ = 1. 2 -1 1 15.113. у(х) + — / (х еЗп1+ еЗп2х) У(1) с!! = Я1п(х). 4л,)) 2. Решение уравнений Фредгольмв 2-го рода с вырожденным ядром. Ядро К(х, 1) называется вырожденным, если оно имеет вид К(х, 1) = ~~ р!(х)О,(1). !=1 Соответствующее интегральное уравнение Гл. 15. Интегральные уравнения 240 решается путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений следуюшим образом.
Перепишем уравнение (13) в виде п р1х) — К ра(х)а = у(х), !=1 (14) ! где неизвестные а определяются через искомое решение р(х) равен- ствами а, = да(!)у1!)ь1ь, у' = 1, 2,..., я. а (15) Умножан тождество (14) последовательно на дь(х), у = 1, 2, ..., и, и да- лее интегрируя обе части на отрезке [о, 5), с учетом (15) получим для неизвестных чисел а! следуюшую систему линейных алгебраических уравнений: ь ь — ) а()р! )! =) а()я )а, '=!2, ! 1 а а (16) Введем обозначения ;,=) а(*)рг(*)н*, !,=) дЬ)!$*)а*. д7! а а Тогда система (16) запишется в виде а! — ~~ оиа.=уо ь=1,2,...,п, у=" ! (18) или в матричной форме (Š— А)8 = Г, (19) а 91х) = 11х) + ~р (х) а т=! (20) где Š— единичная матрица, А = (аь,); „Я = (аь, ..., а„)', Г = !а т! )т Если аь, ..., а„— каное-нибудь решение системы (18), то в соответствии с (14) функция а 2.
Интегральные уравнения Фредгольма 241 будет решением исходного интегрального уравнения (13). Если жс система (18) несовместна, то и интегральное уравнение не имеет решения. Этот метод применим, конечно, и в том частном случае, когда уравнение (13) однородное, т.е. Дх) = О.
Пример 4. Решить уравнение !' /1 у(х) — ! ~ — сйпхяп!+ ! у(!)г!! = а!п2х. / г,л 1 < Ядро К(х, !) = — сйпх сйп 1+ ! — вырожденное. Полагая 1 рг(х) = а!пх) рг(х) = 11 уд(!) = а!и!, дг(!) = 1, по формулам (17) вычисляем Уг = х а!п 2х Ых = — г. Система (19) принимает вид ( — 2 1)(аг) ( — л)' ее общее решение; а1 — — С, аг —— — л + 2С, где С вЂ” произвольная посто- янная. Следовательно, любая функция вида С,, /1 у(х) = а!п2х+ — а!пх — л+ 2С = сйп2х+ С 1 — а!ах+ 2 есть решение заданного интегрального уравнения и других решений вто Уравнение не имеет.
!> П р и м е р 5. Решить уравнение 1 у(х) — 2 ~/х! у(!) с!! = х. о Л г ам = / — сйп хг(х = 1, л Г1 ам = / — хсбпхг(х = 2, Л = а!пх а!п2хдх = О, агг = / а!пхс!х = О, я агг = х с(х = О, Гл. 15. Интегральные уравнения 242 а Следуя изложенному выше общему методу, запишем зто уравнение в виде у(х) — 21/ха = х, 1 ш =1'Ло(4й.У 0 * 'Б тру, о 1 1 в — 2 х47х я = хзУт4х о о или а — я = 2/5. Последнее уравнение не имеет решения относительно в, следовательно, исходное интегральное уравнение также не имеет решения.
1 Найти все решения или установить неразрешимость заданных уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром: 1 15.114. у(х) — — ~ сов х а1п 1у(г) й = в1п х. о 1 2е Г 15.115. у(х) — — / сЬ ху(1) й = 1. 1/ о 1 15.116. у(х) — — / (1 — х ) ~1 — -4) у(1) й = х. 7 / ~, 2) о 1 15.117. у(х) — (1+ х) сов 2п1у(1) й = х.
о я/4 15.118. у(х) — СП 1у(1) й = сов~ х. о 1 15.119. у(х) — 4 хгзу(~) й = О. о 1 15.120. у(х) + ехгу($) й = О. о 243 Э 2. Интегральные уравнения Фредгольма 15.121. у(х) — (2х — 8)у(1) й = соэ 2ях. 1 15.122. у(х) — (1+ 2х1)уЯ й = — -(х + 3). 6 о ! 15.123.
у(х) — 1 ~ — х1+ х (1 — 1) у(1) й = О. )' /3 / 1,2 -1 15.124. у(х) — — ~ соэ (х — ~)у(1) й = э1п2х. о 1 5 1 15.125. у(х) + (х — 11г1)у(1) й = — х + ~/х — —. 3 6 о л 1 15.126. у(х) — — / сов(х — 1)у(1) й = О, 1 15.12Т. у(х) — 3 (хает + 4х~+ 1) у(1) й = 2лэ сов 2лх. о 1 15.128. у(х) — (х1+ х~)у(1) й = О. 3.
Характеристические числа н собственные функции. Теоремы Фредтольма. Значения параметра Л, при которых однородное уравнение ь у(х) — Л э~ К(х, 1) у(1) й = О имеет ненулевые (нетривиальные) решения у(х) ф О, называются хирвнтяерисгяическими числами этого уравнения нли ядра К(х, 1), а кажное ненулевое решение — собственной функцией, соответствующей характеристическому числу Л. Заметим, что число Л = О не является характеристическим, так как при Л = О уравнение (21) имеет лишь нулевое Решение.
Если Л вЂ” характеристическое число, то число р = 1/Л называется собственным числом интегрального уравнения. 1!ри этом р ф О. Гл. 15. Интегральные авнения Из результатов и. 2 следует, что в случае уравнения с вырожденным ядром ь р(*) — «) у)р,(*)р«(«)) р(«)а=о 1=1 (22) всякое решение имеет вид п у(х) = Л~~ а.р,(х), 1'=1 (23) где Б = (а1,..., з„) — решение однородной системы (Š— ЛА)Б = О (24) ь с матрипей А = (аб), аб = дь(х) ру(х), 1, у = 1, ..., н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
