3 часть (1081356), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(5) Решая систему (5), находим р~ = 1 р = 1 1079, рз = 1,3706. Следовательно, приближенное решение интегрального уравнения выражается формулой р(х) = е ' + 1,003х. Заметим, что точное решение уравнения есть р(х) = е ' + х. Гл. 15. Интегральные уравнснил 262 Изложснный выше метод применяется так!кс для прибли1кснного решсниа интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода р(х) — Л К(хг 1) д(1) Й = Е" (х), а < х < б. гг В последнем случас полагают, что Ку =О .1 ~1. Действительно, уравнение Вольтерра с ядром ЕЦх, 1) можно свести к уравнению 6!рсдгольыа с ядром К*(х, 1), вводя функцию К(т.,г), 11<1<х, ЕГ*(х, 1) = О, х< 6 у(х) = у„(х) = Е(х) + ~~г с,д,(х), г=! (6) гдс с1, сог ..., с„—.
нскоторыс постолнные. Подставлял (6) в (1)г полу- чаем невязкр к гг ЕЕ<у„(х)] = ~ ~с,чг,(х) — Л~~ с!ьб!(х) — Л Е( Еб(х, 1) Х(Г) !Н, (7) г=1 г=1 гдс ри(х) = / К(х, Г)гд,(Г)аН, 1 = 1, 2, ...,и. г Согласно методу моментов козффициенты с„г = 1, 2, ..., т! опре- ЛСЛНЮтСЯ ИЗ УСЛОВИЙ ОРтОГОНаЛЬНОСтн НЕВЛЗКИ КО ВСЕМ ФУНКЦИЯМ гав!(Х)г Чгз (х),..., Чг„(х). Эти условия дают следующую систему линейных у равнений: И <р„(х)] Чг,(х) гЕх = О, 1 = 1, 2, ..., и, Метод тлолгентов. В методе моментов приближенное решение у интегрального уравнения ищется в виде суммы Е'(х) и линейной комбинации линейно независимых на отрезкс <а, б] функций гав!(х), газ(х), ..., ..., р„(х), т.с. 3 3.
Численные методы решения интегральных уравнений 263 или в силу (7) (8) с.(сь; — Лр; ) = Л'у;, ( = 1, 2, ..., п,, 1=1 где еи = Ьоь(х) оьу(х)с(х, а ь ь А = ь(х К(х, ь) А(1) ьо (ь) с(г, а а ь ь Тп = Пх К(х, г) у(г) Ьо,(Ь) Й. Если определить В(Л) = сает(сь„— Л)уь ) системы (8) отличен от нуля, то коэффициенты сы сэ, ... с„определяются однозначно.
Подставляя их найденные значения в (6), получаем приближенное решение исходного интегрального уравнения. Замечание. Для улобства вычислений интегралов систему (8) иногда формируют, используя условие ортогональности невязки (7) к некоторой иной системе функций, отличной от системы Ьо1 (х), Ьоэ(х), ... ь .(х). П р и и е р 2. Найти приближенное решение уравнения у(х) = К(х, ь) у(ь) с(ь = 1, о где (ь — 1)х, 0<х<1, К(х, 1) = ь(х — 1), 1(х(1. з Используя выражение для ядра К(х, ь), перепишем уравнение в виде Х 1 у(х) — 1(х — 1) у(1) Й+ (Ь вЂ” 1) ху(1) Й = 1.
о х Положим у(х) = уэ(х) = 1 + с1 х+ сэхэ. Тогда невязка К(уэ(х)] имеет Гл. 15. Интегральные уравнения вид Л [уз(х)] = хз хзз, 4 с, /'хз ха 1 = сзх+ сзхт — (х — 1) сг + сз — ) + х ~ — сз '( — — ) 3 4) ~, 6 1,3 2) Из условия ортогональности невнзки Я[уз(х)] к функцияы х и хз получаелз следующую систему: 1 Л [ут (х)] х 41х = О, о 1 П [уз (х)] хз 4(х = О. о После вычисления интегралов и некоторых преобразований получим следующую систему линейных уравнений для определения сз и ст. О, 3555сз + О, 3146сз — — — О, 1167, 0,2638сз+ 0,2417сз = — 0,025. Решая эту систему, находим сз = 0,027, сз = — 0,029.
Приближенное решение исходного интегрального уравнения имеет вид у(х) = 1 + + О, 027х — О, 029хз. 1> Замечание. Мы не приводим оценок точности приближенного решении для изложенных методов ввиду довольно громоздких выкладок. Изложение зтих вопросов можно найти в специальной литературе'). Решить интегральные уравнения методом конечных сумм, либо методом моментов.
В методе моментов использовать функции 9оь(х) = х", й = О, 1, 2, ..., тк 15.162. у(х) — 4 а|и~(х1~) у(1) 411 = 2х — и. о 1 15.163. у(х) — еа""'" т у(1) с11 = 16 х. о )См., например, Березин И.С., Жипкаа Н.П. Методы вычислений.— Т. 2. — Мл суизматгиа, 1962, гп. 10, 1 10. о 3. Численные методы решения интегральных уравнений 265 15.164. у(х) — 18 е~й~* +О у(~) й = с18 (х + 5). о ! 15.165. у(х) — е1п(х+ 1) у(1) й = х2+ 5. о 1 г 15.166. у(х) — — / (х + о1п х1) у(1) й = сов 2х. 3/ о 1 15.167. у(х) + — ! х!и (х2 + 101' + 3) у(1) й = х~ + Зх. 41 о 1 15.168.
у(х) — 5 18 ео'1'* у(1) й = сод х. о 15.169. у(х) — (1 + еЗп е*') у(Е) й = — (х + 8). 8 о 1 15.170. у(х) — 3 (х~Х~ + е*1+ 1) у(Х) й = сое 2х. о 1 15.171. у(х) + 5 е*1+' у(1) й = 1п(1+ х). о 1 15.172. у(х) + (хе1пй — Л) у(1) й = сон Зх. о 1 15.173. у(х) — (х~ + х2 сое1) у(~) й = х — 2. о 1 15.174. у(х) — (х + 3)е™ у(1) й = х(е* + 2). о Глава 16 УРАВНБНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В 1. Основные задачи и уравнении математической физики 1. Вывод уравнензгй и постановка задач математической физнви.
Многие задачи механики, физики, широкий круг инженерно-технических задач приводят и исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, являкнцихсн частным случаем так называемых урионсний математической фвзакв. Их вывод опирастсл на механические или физические законы. Из всего многообразия таких задач мы ограничимся лишь несколькими простейшими, иллюстриртюшпмн некоторые методы построения математических моделей реальных физических нлн механических процессов. Пример 1.
Вывести уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле. <1 Обозначим температуру тела в точке Лу(т, у, з) в момент времени 1 символом н(т, у, г, 1). 11ак известно, в теле происходит движение тепла от более нагретых частей к менее нагрею нь В теории тсплопроводности принято, гго количество тепла с11,1, проходлшего через некоторый злемент поверхности Ьо, лежашпй внутри данного тела, пропорционально схПЬ1, где ЬП вЂ” поток вектора цгас1н через злсмент Ьо, т. е.
Ьс1 = ЛЬВЫ. Здесь Л = к(х, у, г) — коэффициент теплопроводности. Выделим внутри тела произвольный объем 1г, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью Е, н составим уравнение теплового баланса длн вьшсленнаго объема. Пусть 1,11 — количество тепла, входлшего в 1г через поверхность Е за промежуток времени (1, Г + Ь1). Тогда из (1) следует, что Я1 = ~~ к(ЛУ)(бгас( и, ио) Ьй Обозначим От количество тепла, выделяемого или поглошасмого в объеме 1' за промежуток (Г, Г+ ЬГ) вследствие имеюшихсл в атом объеме источников (илн стоков), плотность которых, т.е. количество поглощаемого или выделяемого тепла за единицу времени в единице объема, Гл. 16.
Уравнения в частных производных 268 обозначим Г(х, у, г, г). Ясно что Р'(х, у, г, г) г(с д с, Цг+11т = Йч(йбгаби)бс.ЛС+ г'(х, у, г,1) ИоЬЕ (2) С другой стороны, на изменение температуры объема тела У за время (г, С + Ь1) на величину Аи = и(х, у, г, г' + Ьг) — и(х, у, г, 1) ю ди(М, 1) Ьг необходимо затратить следуюшее количество тепла: д1 Яз — — ~о ]и(х, у, г+ ЬС) — и(х, у, х, С)] у(х, у, г) р(х, у, г) Й> ур — Но Ы, (3) где у = у(М) — тсплосмкость вешсства, а р = р(М) — его плотность.
но сг1 + 1гт = 1гз, а потому из (2) и (3) следует соотношение Так как объем 1т произволен, а подынтсгральная функция непрерывна, то отсюда следует, что в любой момент времени 1 должно выполняться соотношение ди ур — = с(1т ((с пгаг) и) + г (М, г). дс (4) Это уравнение (4) называется ураекенвем тсплояроеодности неоднородного изогяропкого тели. Если тело однородно, то у, р и в постоянныс и уравнение (4) запишется в виде ди . /дгп дти дги'1 — =а ( — + + —,]+у(х,у,г,с), дс ~,д*' дуг дсг ) (5) где ]~ 1 а = ~ —, у(х, у, г, г) = — г'(х, у., г, С).
~> уР 'ур а тогда, используя формулу Гаусса-Остроградского, для обшсго количе- ства тепла, приходящего в объем У за промежуток времени (С, г'+ Ьг), получаем выражение З 1. Основныс задачи и уравнения математической физики 269 Длп вычисления температуры тела и(х, у, г, Г) в любой точке тела и в любой момент времени Г недостаточно решении уравнения (4) или (5). Из физических соотношений следует, что необходимо знать сщс распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальнос условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие). Точно так же и длп решснип других задач математической физьики требустсп знание начальных (если процесс нестационарный) и граничных условий.
Поэтому под постановкой зада ьи в дальнейшем подразумевастсп выбор функции, характеризующей исследуемый физический процесс, вывод (или выбор) соответствующего этому процессу уравнении, установление граничных условий и формулировка начальных условий. Пример 2. Поставить задачу об определении температуры однородного изотропного стержня 0 < х < 1 с тсплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура есть некоторая функция х, а на концы стержня подастся извне заданный тепловой поток. а Температура стержня зависит только ст координаты точки х Е (О, 1) и времени 1, т.е. и = и(х, 1). Внутри стержня источники тепла отсутствуют, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
