3 часть (1081356), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Используя результат задачи 16.70, вывести неравенство Бесселя длн конечных сумм Ь <)!!)6. в=о и длн бесконечных рядов 16.72. Написать неравенство Бесселя задачи 16.71 длн коэффициентов Фурье функции у(х) периода 2х по тригонометрической СнетЕМС [1, СОВИХ, Э)ПИХ)кои. ОРтогональнал система Ф = [!Ра(х))'„'а о называетсЯ валкой, если из равенства )У', !Ра) = 1(х)Р, 1х) !1х = О, и = О, 1, а следует, что у(х) = О почти во всех точках отрезка [а, 6]. Длл полных ортонормированных систем неравенство Бесселя обрашастсл в равенство Персея) ля Ь )«с2 ) У2[ )Дх 1=О а Рассмотренные ранее тригонометрические системы, система Уолша, система функций Бесселе, системы полиномов Ле кандра и Чебышева являются полныьо!. 16.73.
Каков смысл неравенства Бесселя и равенства Парсевалн в консчномерном евклидовом векторном пространстве? 16.74*. Доказать, что система функций Радемахера нс является полной на отрезке [О, 1]. Э 2. Аналитические методы решения уравнений 287 д'и г д'и г То — =я —, а д1г д .г' удовлетворлюшее начальным условиям (7) 1, 11лх 4ях ди(х, О) и(х, 0) = — „эш — соэ —, ' = 0 15 21 21 ' дс (8) и граничным условиям и(0, 1) = О, и',(1, 1) = О. (9) Решение этой задачи ишем в виде произведения и(т,.а) = Х(х)Т(1), подставляя которое в (7), находим Х(х)Т" (т) = агх" (х)Т(1).
Разделив обе части этого уравнения на агХ(х)Т(1), получаем Т" (1) Л "(х) аг(Н Х(х) (10) Каждое отношение в (10) зависит от своей переменной, попому равенство возможно толы<о в том случае, когда ка.кдое из этих отношений Л'"(х) постоянно. Полагая „= Л и используя граничнью условия (9), Л'(х) получаем задачу Штурма — Лиувилля Х" (х) — ЛХ(х) = О, Х(О) = Х'(!) = О, 4. Метод Фурье решения уравнений математической физики. Метод Фурье, широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в слсдуюшеьь Искомая функция, зависящая от нескольких переменных, ишгтся в виде произведения функшгй, каждая из которых зависит лишь от одной или нескольких переменных.
После подстановки этого произведения в игхолнос уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнснил, часть из которых вместе с краевыми условиямп исходной задачи являются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. Искомое решение представллстгя рядом по произведениям собственных функций этих задач Штурма — Лиувилля. Пример 3.
Найти отклонение и(х, г) от положения равновесия закрепленной на конце х = 0 однородной горизонтальной струны, правый конец которой при х = 1 перел1ешается так, что ююатсльная к струне остается погтоянно горизонтальной. В начальныц момент вре- 1 11лх 4лх мени струна имела форму — э1п — соэ †, начальныс скорости от- 15 21 21 ' сутствовали. а Предполагая, что струна совершает малые колебания, получаем следующую смешанную краевую задачу: найти решение уравнения свободных колебаний струны 288 Гл. 16. Уравнения в частных и онзводных /» 2й — 1 собственными числами которой являются числа Л» = — ~ — л) 2/ 2/с — 1 а собственными функциями — функции Х»(х) = яп — лх, /с = 1, 21 2,...
(см. задачу 16.63). Х" (х) Подставив в (10) вместо отношении его значение Ль = Х(х) /2Л вЂ” 1 = — [ л ~, получим при каждом й = 1, 2, ... уравнение 2/ Т" (1) + ( — ла Т(/) = О, »» 2й — 1 (, 2/ общим решением которого является функции 2/с — 1 2Л вЂ” 1 Ть(/) = А» соа ла/+ Вь аш ла/. Таким образом, решениями уравнения (7), удовлетворяющими граничным условиям (10), нвляютсл функции иь(х, /) = Т». (/)Хь(х) = 2й — 1 2Л вЂ” 1 », 2Л вЂ” 1 А» соа — ла/+ Вь эш ла/) яп лх, 2/ 2/ ) 2/ й = 1, 2, ...
Из линейности уравнения (7) следует, что любая линейная комбинап»ия этих уравнений, т. е. формально составленный ряд 2/с — 1 2/с — 1 » 2й — 1 и(х, /) = ~~~ ( А»сов ла/+ В»яп ла/) яп лх (11) 2/ 2/ ) 2/ при условиях на коэффициенты А» и Вь, допускающих возможность его двукратного почлснного дифференцировании по / и по х, также явлнется решением уравнения (7), удовлетворяющим граничным условиям (9).
Потребуем, глобы представленное рядом (11) решение и(х, /) удовлетворяло также граничным условиям (8), т.е, чтобы 1 11лх 4лх л-, 2/с — 1 и(х, 0) = — яп — соа — = у А» эш лх 15 2/ 21, 2/ ди(х, О) ~ 2/с — 1, 2й — 1 дс „'- 2/ 2/ =о= у лаВ» а»п — лх. з 2. Аналитические методы решения уравнений 289 Из этих равенств за»»яючаел», что если шсла А». нвлнютсл коэффпцпснтамп Фурье функции 1, 11хх 4хх 1»г 7хх 15ях » .с(х) = — э»в — соэ — = — ( э»»» — + ыц — ) 15 21 21 30 (, 21 21 ) 2й — 1 по системс эш тгх1, т.с. если А».
= 0 при гг ф 4 и й ф 8, 21 а А» — — .4э — — 1/30 и если В» = 0 длн всех х = 1, 2, ..., то функцин 1»' 7ха» 7хх 15ха» 15нх «» и(х, ») = — ( соэ — эш — + соэ э»ц — » ЗО (, 21 21 21 21 ) нвлнетсн пскохлым решением уравнения (7). »> 16.75. Найти отклонение и(х, 1) от положенин равновесия закрепленной на концах х = 0 и х = 1 однородной горизонтальной 1, Знх струны, если в начальный момент струна имела форму — аш 8 а начальные скорости отсутствовали.
16.76. Найти отклонение и(х, 1) от положении равновесия закрепленной на концах х = 0 и х = 1 однородной горизонтальной струны, сели в начальный момент точки струны находились в положении равновесия и сй была придана начальная скорость 1, 5пх — ып —. 3 1В.ТТ. Найти отклонение и(х, 1) от положенин равновесия закрепленной на конце т = 1 однородной горизонтальной струны, левый конец которой при х = 0 псремешаетсн так, что касательная к струне остастсн горизонтальной, если в начальный момент 1 3Зцх струна имела форму -соз —, а начальная скорость отсутство- 9 21' вала. 16.78. Найти отклонение и(х, 1) закрепленной на концах х = 0 и х = 1 однородной горизонтальной струны от положения равновесна, если в начальный момент струна имела форму параболы с вершиной в точке х = 1/2 и отклонением от положения равновесия г», а начальные скорости отсутствовали.
Указание. Решить уравнение колебаний закрепленной на концах струны и,"г = аэи" при начальных условиях 4бх(1 — х) ди(х, О) Р ' д» 16.79. Найти колебании закрепленной на концах х = 0 и х = 1 однородной горизонтальной струны, находящейся в поло- Гл. 16. Уравнения в частных производных 290 женин равновесия, если в начальный момент времени ударом молоточка в точке х = (/3 ей сообщается постоянная начальная скорость ди(х, 0) д1 0 при где л/и — ширина молоточка.
16.80. Найти закон свободных колебаний закрепленной на конце х = 0 однородной горизонтальной струны, если правый ее конец при х = 1 перемещается так, что касательная к струне остается постоянно горизонтальной. В начальный момент струна находилась в положении равновесия и ей была придана начальная скорость и',(х, 0) = в)ил.х/1.
Указание. Граничными условиями в данном случае являются усло- ди(1, с) вия и(0, С) = = О, а системой собственных функций является дх л(2й — 1)х ) система вш 21 ~ня 16.81. Закрепленной в тачке х = 1 однородной горизонтальной струне, левый конец которой в точке х = 0 может перемещаться с горизонтальной касательной, придана начальная скорость и = х(1 — х) . Найти закон ее свободных колебаний, если в началь- лх ный момент она имела форму ~р(х) = з1п —. У к а з а н и е. Системой собственных функций задачи является система л(21с — 1)х 16.82. На концах однородного изотропного стержня длиной 1 поддерживается нулевая температура.
Предполагая, что стенки стержня теплоизолированы от окружающей среды, найти закон распределения температуры в стержне, если известно, что в начальный момент имелось следующее распределение температуры: х(1 — х) и(х., 0) = ио , где ио = сопз1. х2 Указание. Решить уравнение распространения тепла и', = а~и",,. 16.83.
Один конец стержня (при х = 0) поддерживается при постоянной нулевой температуре, а второй (при х = 1) теплоизолирован от окружающей среды (т.е. производная от и(х, 1) по х З 2. Аналитические методы решения уравнений 291 на этом конце равна нулю: и'.(1, !) = 0). Найти закон распредедения температуры внутри стерлкня, если начальная температура задана функцией 0 при 0<х<(/2, и(х, 0) = ~р(х) = ио при !/2 < х < !. Указание. Системой собственных функций является система л(2Й вЂ” 1)х 16.84**.
Однородная прямоугольная мембрана (О < х < 1, О < < у < тя), аакрепленная вдоль всего контура, лежащсто в гори- зонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму и(х, у, 0) = ~р(х, у), начала колебаться с начальной скоростью и',(х, у, 0) = ф(х, у). Найти закон свободных колебаний мемЗих 8 ту браны. Получить решение в случае ел(х, у) = яп — яп —, т ' 1(л(х, у) = О, если натяжение мембраны То равно ее поверхност- 2 0 ной плотности р, т. е. а = — = 1.
р 16.85*. Точкам закрепленной по контуру однородной квадрат- ной мембраны со стороной !. находящейся в начальный момент в положении равновесия, придали начальные скорости и',(х, у, 0) = пх 2яу = яп — вш —. Найти закон свободных колебаний мембраны. 16.86'. Закрепленной по контуру однородной квадратной мемпх , пу бране со стороной 1 придали форму и(х, у, 0) =- яп — в1п —.
'Найти закон свободных колебаний, если начальная скорость точек мембраны постоянна и равна а/1, где а — - входящая в уравнение колебаний постоянная. 16.87"*. Найти стационарное распределение температуры в пря- моугольнике Й = ((х, у)~0 < х < а, 0 < у < Ь), если на границе Прямоугольника поддерживается заданная температура: и(х, 0) = и(х, Ь) = О, х Е (О, а), пу и(0, у) = р(у) = у(Ь вЂ” у), и(а, у) = ф(у) = вш уЕ (О, Ь). Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
