3 часть (1081356), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(Ьи)о Е ио(со + с~ + сг + сз + св + сз + св + сг + св) + + и'6(с, — сз + сз — св — сг+ св) + и'„6(сг — св + со + св — сч — св) + „Ь' Ьг +и (сг+сз+сз+со+со+св)+и (сг+с4+со+со+сг+св)+ 2и",, Ьз + — д6г(сз — св + сг — св) + — 'иии (сг — сз) + 2! 3( *** з з 3! Ьз з Ьз Гл. 16. Уравнения в частных производных 312 Сравнивая коэффициенты при соответствующих производных, получим систему линейных уравнений длн нахождения сл, выбирая прн этом г + +у =3: со + с1 + с2 + сэ + с4 + С1 — Сэ + С2 — С4 + Сь+ Са С5 — Са + ст + сэ — от+ са С5 + Сэ С7 СН С4 + СЗ + С5 + С6 + Ст + Сэ С2 + С4 + Сэ + Са + Ст + Сз С5 — Св — Ст + СЕ С! — Сз + С4 + — от+ са Са — Са С5 + Сс Св — Сэ С5 + Са — с7 — са — Ст+ СВ С2 — С4 + — Ст — СЭ Систему уравнений (11) решаем 54етодом исключения. Из последних четырех уравнений получим сэ — — ст, ст = с4.
Используя эти равенства. из второго и третьего уравнения системы установим, что сэ = сэ, С4 = сз. Можно переписать систему уравнений (11) в следующем виде: со + 2сг + 2сэ + 2сь + 2св 2сг + 2с5+ 2са 2ст + 2са + 2са 2сэ — 2сэ С4 С2 — О, 2/Ь2 10/Ь2, 2/Ь2, О, О. (12) Решая систему (12), получим следующие значения дчя искомых посто- янных: со — — — 2/Ь2 с4 = — 4/Ь2 с2 = О, сэ — — — 4/Ь2 С4 — — О, сэ — — 3/Ь2, са = 2/Ь2, С7 = 3/Ьт, сэ — — 2/Ь2. Окончательно длл узла 0 получим (ЕС7)о ( — 2ио — 4и4 — 4иэ + Зиэ + 2иэ + Зит + 2иэ), т.е.
длп всех внутренних узлов сетки .05 имеет место формула (Елил)~,л = 2ит,л+4ит~цл+4ию цл— — Зил1ь4, лег — 2ит-К ль4 — Зи,л — ц л-4 — 2и„ь л.~-4 Порндо74 аппроксимации второй: т — 1 = и — 1 = 2. О, О, О, 2 Ь2' 10 Ьт' (11) 2 Ь2 ' О, О, О, О. 3 3. Приближенные методы рсшс'ния уравнений 313 16.119. Л!л = и,"„ + и,",. Порндок приближения равен двум (зпаблон указан на рис. 17). Рис. 17 Пусть, как и выше, йь = (йь(гп, п)) — решение разностной схемы, т. е, системы линейных алгебраических уравнений (4). Применение разностной схемы к решению краевой задачи (1), (2) оправдано, если величины йь(т, и) нвлнютсн приближенными значениями сеточной функции й(х„„уа), представляющей собой значения неизвестного решенин й(х, у) задачи (1), (2) в узлах сетки.
Будем говорить, что разностнан схема (4) нвлнстсн сходящейся на решении й(х, у) задачи (1), (2), если при Ь вЂ” > О выполннетсн условие') !~~!з(хт, ув) — йь(гп, пП вЂ” > О. Если дополнительно выполняется неравенство (13) бй(х, у„) — й!,(т, п)б' < АЬ', где А — константа, не зависящая от Ь, то говорит, что скорость сходи- мости имеет порндок а относительно Ь. ьеточнан функция й(х, ув), вообще говори, не нвлнетсн решением разностной схемы. Поэтому при подстановке ее в левую часть (4) получается выра>кение Ть(й(х, у )) = Уь + бУьм где буь называетсн иееязкой или легре!иностыо аппроксимации. Если бб7„'б -з О при Ь -+ О, то говорит, что разностнан схема (4) аппроксисиирует краевую задачу (1), (2) на решении й(х, у).
При вьзполнении дополнительного условии (4) Иь!! ( ВЬ', где С вЂ” константа, не зависящая от Ь, число и > О называетсн порядком аппр оксил!ации. Наконец, не менее вазаным свойством разностных схем нвлнетсн поннтие их устойчивости. Разностнан схема (4) называется устойчивой, ! ) Здесь и в дальнейшем будем считать шаги Ь и т зависимыми, т.е.
т = = д(Ь). Гл. 16. Уравнения в частных производных 314 если существует такое !1о, что для всех !! < По и любых уь она имеет единственное решение и |~й~Д < с!1Ул!1, (15) где С вЂ” константа, не зависящая от 11 и правой части уь. Между рассмотренными понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует тесная связь. Теорема 1. Пусть устойчивая разностная схема (4) аттроксимирует краевую задачу (1), (2) на решении й(х, у) с порядком аппроксимации о > О.
Тоеда зта схема явяяетлся сходяи1ейся и порядок ее схвдимости совпадает с порядком аппроксимации. Пример 3. Для задачи Коши и', — и', = у'(х, 1), -оо < х < +со, 0 < 1 < Т, и(х, 0) = !р(х), — оо < х < +со, построена разиостная схема 1 1 т ' ' и (ит,пе1 ит,п) (итт1,п ит,и) Зт,п! т т О, х1,..., хМ; и т О, 1,..., (Т1'т) — 1, ит о —— !рт, т = О, х1, ..., хМ, где т = Л6 и постоянная Л < 1. Определить порядок аппроксимации этой схемы и исследовать ее на устойчивость.
З Сначала покажем, что построеннан разностная схема аппраксимирует исходную краевую задачу и определим порядок аппроксимации. Предполагая, что решение й(х, у) задачи Коши имеет ограниченные вторыс производные, по формуле Тейлора имеем 1 1 Ь ' ' Ь (йт-11,п йпз,п) = — (й(хт + й 1п) — й(хт, 1и)) = ! 11 й, (хт 1п)+ и , (хп!+4 1 ) О < с < !ь„ 1 1 (йт,п+1 йт,п) = (Цх!и, 1и+ т) й(хт 1п)) т т т -! т = й!(т., 1п) + — ип(Хт, Сп + О), 2 0 < и < т. 3 3. Приближенные методы решения уравнений 315 Учитывая соотношение т = Л)1., полу 1аем 1 -(Нт,пь1 Нт,и) (Нтж!,и Нт,и) = т ' ' л = (й,',(Х,„, сп) — й.',(хп„си)) + 11 — й,", (Х,„, 1п + т1) — -й,",(Хп, + С, 1п) '12 ' 2 бу — 11 ( ан(хт 1 + 11) ни (хт + 4, 1п) /Л -и (1 2 йп1, Π— 'Рт.
По йт о — У1 = О дли любого ти в силУ гРаничных Условий. ПоэтомУ норма Дуп, „оценивается следуюшим образом: 1 Л+ 1 (!6(,„„(! < шах — й1(хпм Ги+ и) — -ц,",(х+(, 1и) < ЬМ вЂ”, где М вЂ” максимальное значение вторых производных функции й(х, у) Л+1 в области В. Полагая здесь В = М, приходим к неравенству (14). 2 Следовательно, рассматриваеман разностнал схема аппроксимирует исходную задачу Коши и поридок аппроксимации равен единице. (Конечно а1е, на решении й(х, у), обладаюшем ограниченными вторыми производными.) Отметим, что метод проверки свойства аппроксимации разностной схемы во многом повторяет метод определения порядка приблил1ения разностным оператором дифференциального.
Теперь проведем исследование разностной схемы на устойчивость. Снова использу н соотношение т = Л11, перепишем исходную разностную схему в виде цппп.1.1 = (1 — Л)нт,п + Лнт1-1,п + Л11.1иь и цт,е ~Аи~ (16) где, как и выше, т = О, х1,..., хМ; и = О, 1, ..., (т((Л)1)) — 1. По условию Л < 1, поэтому 1 — Л ) О. В этом случае справедлива оценка И1 — л)ц ь + л,„( < (1 — л)(н,„(+Л(н 1,„( < < (1 — Л) п1ах((и,„(), Погрешность аппроксимации е7п, „= Хь(й(хпм уп)) — т" „, следовательно, принимает вид Гл. 16.
Уравнения в частных производных 316 (!ип,+ц в!) + Лтах (!ит, и! !ит+ця!) = = таХ(!и,„„!, !и,„ак„!) < |наХ !ит,„!. -м«лг Используя эту оценку, из (16) находим: !и„„„+1! ( !(1 — Л)и,„„+ Ли,„+~ „! + ЛЬ! Ут „! ( < тах !и „! + ЛЬ!!ул!!, (17) -М<т(ЛГ где !!ул!! = шах!У „!. Правая часть неравенства (17) от т не зависит, т,я поэтому выполняется неравенство тах !ит,в+1! < тах !и„„! + ЛЬ!!ул!! (18) для любого и = О, 1, ..., (Т/(ЛЬ)! — 1.
Используя неравенство (18) для оценки первого слагаемого в его правой части, последовательно находим п1ах !и э 1!+ 2ЛЬ!!ул!! ( -м<п1<м п1ах !и,„„л !+ (Ь+ 1)ЛЬ!!Хл!! ( -М<т<ЛХ тах !и,а!+(и+1)ЛЬ!!Ул!! = -М<т<М тах !юв,/+ (и+ 1)ЛЬ!!ул!!, (19) -ЛХ<т<ЛХ тах !и „,.1! < -М<т<М ( так как и„, о = сэ из (16). Теперь заметим, что гпах !1э„,! < !!ул!! — ЛХ<т<ЛГ и !!Я! < !!Ул!!.
Полставляя эти неравенства в (19), получим тах !и,„л,! < (1+(и+1)ЛЬ)!!ул!! < -м«м ( (1 + (Т/ЛЬ)ЛЬ)Ял!! ( (1 + Т)!!Ур !!. Правая часть полученного соотношения от Ь не зависит. Следовательно, глах гпах !и,т„л1! < (1+Т)!!7л!!, О<в<(т~<ЛЛП-Э -ЛГ<т<ЛГ т, е. !! л!! < (1+Т)!!Ул!!, и мы получили искомое неравенство (15) (с С = 1+ Т), означаюшее по определению, что разностная схема устойчива при Л < 1. з 3. Приближенные методы решения уравнений 317 Так как заданная разностная схема аппроксимирует ка решении исходную краевую задачу и устойчива, то при Л < 1 она является сходя!кейса и скорость сходимости по теореме 1 имеет первый порядок. !> 16.120.
Доказать теорему 1. 16.121. Показать, что рассмотренная в примере 3 разностная схема неустойчива при Л > 1. 16.122**. В области Р = ((х, у))0 < х < 1, 0 < у < 1') построить разностную схему первого порядка, аппроксимирующую первую краевую залачу для уравнения гиперболического типа д и д и ди ди уиь а — — б — +с —,+!1 — +Уи=у', а>0, 6>0, дхз дуз дх ду и~ = р(х)., — = !р(х), и~ = Ф(у), и! = г'(у) ди л=о 16.123*. В области Р из задачи 16.122 построить разностную схему второго порядка, аппроксимирующую первую краевую задачу. 16.124*. В области Р построить разностную схему первого порядка, аппроксимирующую третью краевую задачу ди Ти=~, и~,,= (х), — =Фх), У в=о с ди /ди — + б!(У)и) = Ф(У), 1 — + бз(у)и = Р(у). дх ), ' '!,д* / х=1 16.125**. Построить разностную схему второго порядка, аппроксимирующую третью краевую задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
