3 часть (1081356), страница 40
Текст из файла (страница 40)
16. Уравнения а ластных производных 292 16.88*. Найти решение и(х, 9) уравнении Лапласа 11и = и" + + и'„', = 0 в прямоугольнике Р = ((х, 11))0 < х < и, 0 ~ <9 <~ Ь) удовлетворяющее следующим краевым условиям: ди(х, 0) ди(х, Ь) и(0, 9) =9(Ь вЂ” р), и(а,р) = ' = ' =О. дя дд 16.89. Найти решение и(х, 9) уравнения Лапласа 11и = 0 в прямоугольнике Р = ((х, р)/О < х < а, 0 < у < Ь), удовлетворяющее условиям ди(х, 0) ди(х, Ь) и(0, у) = гг, и(оэ у) = лгу, = = О.
дц др 16.90"". Найти свободные колебанил закрепленной по краю однородной круглой мембраны радиуса 1, если в начальный момент отклонение в каждой точке определялось равенством и(г, ~р, 0) = Уэллс'~ = сг1а ( — ), в котором улл — первый положительный корень, ~1) 1о(х), а начальная скорость мембраны равна со, где а — - постопннап, входящая в уравнение колебаний мембраны. 16.91**.
Найти закон стационарного распределения температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса лт, если на его поверхности поддерживается заданная температура; и(г, ~р) )„-л = у'(р) = аш р. тд лл 2 +р( 1) д12 дхэ а Р (12) удовлетворяющее граничным условном ди(1, 1) дх (13) =О В случае, когда исходное уравнение в частных производных являетсц неоднородным, т.е.
в характеризуемолл этим уравнением физическом процессе имеютсн внешние силы и источники, предварительна находится система собственных функций соответствующего однородного уравненип и решение ищется в виде ряда по этим собственным функциям с переменными коэффициентами.
Пример 4. Найти форму и(х, 1) (отклонение от положенил равновесия) закрепленной на конце х = О однородной струны, правый конец которой имеет горизонтальную касательну.ю и на которую действует внешняя сила с плотностью Г(х, 1) ф О. В начальный момент 1 = О струна имела форму ~р(х) и каждая тачка имела скорость ф(х). Найти и(х, 1) при условии, что ло(х) = лр(х) = О, а Е(х, 1) = ал = То/р. а Предполагая, что струна совершает малые колебания, иьлеем следующую первую краевую задачу: найти решение и(х, Л) уравненип вынув- ленных колебаний струны з 2. Аналитические методы решения уравнений 293 и начальным условиям и(х, 0) = ~й(х), = ф(х).
дн(х, О) д/ (14) Чтобы найти собственные функции однородного уравнения и,", = ази,", с граничными условиями (13), положим и(х, /) = Х(х)Т(1) и после разделения переменных получим уравнения Тн Хн — = — =Л азТ Х (15) с граничными условиями Х(0) = Х'(/) = О. (16) а (2/с — 1)х Хь(х) = яп 2/ /с 6 г( (17) (см. задачу 16.63). Рассматриван г как параметр, разложим функцию Е(х, /) в ряд по л(21 — 1)х) системе яп у 2/ г'(х, /) = ~ ~Ал(/)яп л(2Й вЂ” 1)х л=1 где ! 2 Г, л(2/г — 1)ц Ае(/) = — / Г(и, /)яп г/и, о Будем исьать решение уравнения (12) в виде рида л(21 — 1) х я(х, /) = ~ сл(/) яп л=1 2/ (18) подставляя который в (12) (считаем, что сь(/) таковы, что возможно двукратное почленное дифференцирование по х и по г) и сравнивая коаффициенты при одинаковых гармониках, получаем бесконечную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций с„(/): ттот(21 1)2 сг.(/) + т сь(/) = Ал(/), /с Е И.
(19) Решая уравнение Хн — ЛЛ" = 0 с краевыми условиями (16), находим соб- Г я(2Й вЂ” 1) '~ ственные числа Ль —— — ~ 2/ ( н соответствующие собственные функции Гл, 16. Уравнснил в частных производных 294 о(2/с — 1)х и(х, 0) = ггэ(гс) = " сь(0) эш 21 о(2гг — 1) х и'(х, 0) = ггг(х) = у сь(0) эш 21 Пусть 2 У п(2й — 1)о сь(0) = — ( д(о) эш 1/ 21 Ж о (20) 2 Г х(21 — 1)о с~(0) = — / го(о)эш г(о, Л Е Ы, 1/ 21 о (21) т. е. сь (0) и от~, (О) являются коэффициентами Фурье соотвстствснно функций гд(х) и 4г(х) по системс (17).
Найдсм тспгрь рсшсния сь(1) уравнений (19), удовлетворякэщие условинм (20) и (21), и, подставляя их в ряд (18), получим искомое решение и(х, $). По условию го(х) = 1гг(х) = О, поэтому сг„.(0) = с',,(0) = 0 для вссх 1 б г4. Далее, так нак Г(х, г) = а, то 2 г' э . л(21' — 1)о Ав(1) = Аг, = — / аэгйп гЬ = с,/ 21 о 2аэ 21 х(2й — 1)о 4иэ п(2" 1) 21 „а л(2гг — 1) Поатому требуется найти решения диффсрснцнальных уравнений птггэ(21 — 1)э 4от ~.'~. (1) + сь(1) =, Й б М, (22) удовлетворяющие условиям сь(0) = с1(0) = О. (23) Из начальных условий (14) слсдуст, что функции сь(1) должны удовле- творять условиям 3 2.
Аналитические методы решения уравнений 295 Корни характеристического уравнения для уравнения (22) мнимые, поэтому частные решения уравнений (22) ищем в виде сс(/) = уь. Подставив эти значения в (22), найдем, что 16/з пз(2Й 1)з' а поэтому. общее решение ссаасдого из уравнений (22) запишется в виде па(2Й вЂ” 1)/, ла(2/с — 1)/ 16/г са(/) = азсоз +Д,з/п + з, з, Й е Р/, 2/ и из условий (23) получим 16/г сь(0) =аз+ з(2Й )з =О, та(2Й вЂ” 1) сс.(0) = //ь + 2/ =О, 16/з т.е. /уь = 0 и аз = —, Й 6 р/.
Таким образом, 1Яг /с па(2Й вЂ” 1)/ 1 "')-, (2Й-1)з ~' '" 2/,/- 32/г з сса(2/с — 1)8 „з(2Й цз ьш и искомое решение имеет вид 32Р с- 1, г ха(2Й вЂ” 1)/ х(2/с — 1)х и(х, /) = — ~ з/п (2Й вЂ” 1) з 4/ 2/ з/п . /> 16.92*. Для 0 < х < / и 1 ) 0 решить уравнение дги дги — = — + х(х — /) д/г дхг при нулевых начальных и краевых условиях и(х, 0) = и,(х, 0) = и(0, 1) = и((, 8) = О. 16.93*. Для 0 < х < / и 1 ) 0 решить уравнение дги дги пг, ссп/ — =о, — + — аш— д/г ' дхг /г 296 Гл. 16. Уравнения в частных производных при нулевых начальных и краевых условиях и(х, 0) = и,'(х, 0) = и(0, 1) = и(1, 1) = О. 16.94.
Найти температуру стержня при 0 < х < 1 с теплоизолнрованной боковой поверхностью, если начальная температура его концов равна нулю, а в точке хо Е (О, 1) находится сосредоточенный источник с постоянной мощностью Я. Указание. Требуется найти решение уравнения ди,д и — =а — + Г(х,1) д1 дхт с нулевыми начальными и граничными условиями и(х, 0) = и(0, 1) = = и(1, 1) = О, в котором Г(х, 1) = Яб(х — хо) Гор, Б(х) — дельта-функция Дирака, с — удельная теплоемкость и р — удельная плотносп. При 2 Г ы~о вычислении коэффициентов Аь(1) = — 1 Г(о, 1) ьбп — Ыо использовать 1/ о следующее свойство б-функции: если Г(х) определена и непрерывна в точке хо, то Г(х) б(х — хо) Их = Г(хо). 16.95.
Для 0 < х < 2 и 1 > 0 найти решение уравнения ди д и , ях — = — + з(ц —, д1 дхз 4 ' удовлетворяющее начальному условии> и(х, 0) = 0 и граничным условиям и(0, 1) = 0 и и' (2, 1) = О. В примерах 3 и 4 краевые условия являлись однородными (см, определение задачи Штурма-Лиувилля перед задачей 16.61). Если же рассматривается задача с неоднородными краевыми условиями, то с помощью замены и = о + 1Г путем надлев.ашего выбора функции 1Г задача сводится к решению уравнения относительно функции о уже с однородными краевыми условиями. Выбор функции Н опрепеляется видом заданных краевых условий.
П р н и е р 5. Найти закон свободных колебаний горизонтальной струны, правый конец которой при х = 1 закреплен, а левый при х = 0 ва1 двнжстсп по закону и(0 1) = сйп —. Начальные скорость и отклонение равны нулю. з 2. Аналитические методы решения уравнений 297 с1 Имеем уравнение ин — — а н,",, с начальнымп условиямц и(:г, 0) = и',(х, 0) = 0 и неоднороднымн граничными услооияйш ц(0, г) паг 1 — х пас = яп —, и(1, !) = О. Произведем замену н(х, г) = ь(т, г)+ — вш 1 Тогда относительно функции о(х, Г) получим неоднородное уравяснис г т(1 ггп(1 — х) с нд'гдльными условиями у(х, 0) = 0 ог(х, 0) 12 и однородными граничными условиями о(0, Г) = о(1, 1) = О.
Однородное уравнение о,", = ото,"., с зтими граничными условиями имеет систему собпйх) ственных функций яп — у, позтому ищем решение нсоднород- 1 ~йен ного уравнения в виде ггйх о(х, Г) = ~~! Сй(1) яп —. й=! Подставив зто выражение в неоднородное уравнение, получим бесконеч- ную систему уравнений 2 С,".(г)+ ( — ) Сй(!) =Ай(г), йе И, г'Ыа! (24) ! 2 г ттаз(1 — х) паГ, пйх 2пат !го! где Ай(г) = — / вш — вгп — г)х = —,, яп —, причем 1,/ 1 1 1 (ай о из начальных условий имеем следующие условия на Сй(0) и Сй(0): Ых о(х, 0) = ~~ Сй(0)яп — = О, т.с.
Сй(0) = 0 для всех 1с Е И, и й=! и/сх гга(1 — х) о,(х, 0) = ~~ Сг (0) Яп — = —, т е (з й=! 2 Р па(1 — х), пггх 2а С.(0) = — — /, аш — г!х = — — для всех й Е И. й = 1) (т о При гс = 1 в уравнении (24) имеет место резонанс (см. указание к задаче 16.93), поэтому частное решение игцется в форме С! (Г) = па1, па1 '! А! сов — + В! яп — ); подставив его в уравнение найдем что 1) Гл. 16.
Уравнения в частных производных 298 а2 яа2 Сг(2) = — — сов —. Используя затем условия Сг(0) = 0 и С,'(О) 2а — — находим, что 1, та 2 а1 яа1 С,(г) = — — зщ — — — сок —. и 2а Далее, используя условия Сь(0) = 0 и С' (О) = — —, при й > 2 получаем следующие решения уравнений (24); 2, тйа2 2 ха2 Сь(2) = — згп — + вп —.
х(й2 — 1) ) тй(йт — 1) Подставив зги козффипиенты в рнд для о(х, 2), получим искомое решение à — х наг и(х, 2) = — вп — +о(х, С). с» У Х 16.96. В области 0 < х < ( и 1 > 0 найти решение уравнения и', = ази" при начальном условии и(х, 0) = х/1 и граничных условиях и(0, г) = 0 и и(1, 1) = е '. Указание. Для приведения неоднородных граничных условий к однородным произвести замену и(х, 1) = в(х, 2) + хе 'г~.
16.9г. В области 0 < х < 1 и 1 > 0 найти решение уравнения иг — — и" при начальном условии и(х, 0) = 1 и граничных ди(1, г) условиях и(0, 1) = е йт и ' = О. дх У к а за н и е. Длн приведения неоднородных граничных условий к однородным произвести замену и(х, г) = п(х, 1) + е ат. 16.98. Найти закон свободных колебаний горизонтальной струны, левый конец которой при х = 0 закреплен, а правый движется на1 по закону и(1, 1) = в1п —. Начальные уклонения и скорости 2( равны нулю. У к а з а н и е. Для приведения неоднородных граничных условий к однох ха2 родным произвести замену и(х, 1) = о(х, 2) + — вп —. 21 16.99. В области 0 < х < 1, 1 > 0 найти решение уравнения г 2 н =х и, = а и при начальном условии и(х, 0) = — и граничных условиях и(0, г) = е г, и(1, г) = О.
з 2. Аналитические методы решения уравнений 299 ди ., д~и — = а —, — оо < х < +ос, 0 < 1 < +сю, (25) д1 дхз ' удовлетворяющее начальному условию и(х,О)=у(х)=е ". Предполагаем, что оо(х) абсолютно интегрирусма на оси (-оо, оо). Ишем решение в виде произведения и(х, 1) = Х(х)Т(1), поэтому уравнение (25) преобразуетсп к виду Т' Л'" 2 азт Л (27) причем отношение отрицательно в силу того, что при 1 — > со функция 2 2~ Т(1) = с ' ' не должна воарастать до бесконечности. Правое из отношений (27) приводит к уравнению Хо + ытХ = О, решениями которого являются функции Х (х) = А(ы) сов ых + В(ы) о1п ых, а потому решениями уравнения (25) являются функции и„(х, 1) = е ' "' '(А(ы) сов ых + В(ы) о!и ых). Если А(ы) и В(ы) абсолютно интегрируемы для ы б [О, +ос), то инте- грал и(х,1) = ( и„(х,с)ды = / е ' '(А(и)сооых+В(ы)з1пых)ды о о (28) 16.100.
П области О < х < 1, 1 ) О найти решение и', = и". при начальном условии и(х, О) = 1 и граничшох их(О, 1) = О, „(1 1) — -~В' При ршцснии задачи 1(оши (в этом случае краевые тсловпя заменены ограниченностью решения на бесконечности) метод Фурье приводит к использованию интеграла Фурье. П ример 6. Найти закон распределения температуры и(х, 1) в длинном однородном стсрзшс, боковая поверхность которого тсплопзолирована и иавсстно начальное распределение температуры и(х, 0) = д(х) = = е т а Пренебрегая влиянием температурных условий на концах длинного стержня, будем считать его бесконечным. Поэтому мы имеем следующую задачу 11оши: найти решение уравнения Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
