3 часть (1081356), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Полное линейное векторное пространство со скалпрным произведением называется пространством Гильберта и обозначаетсл буквой Н. 16.38*. Доказать, что удовлетворнющее условилм 1) -4) скаляр- ное произведение есть непрерывная функция относительно сходи- мости по норме, т.е. если [[х„— х[[ -+ 0 и [[у„— у[[ -+ 0 при гь -ь со, то и [(х„, у„) — (х, у)[ — ь 0 при и -+ оо. 16.39. Доказать, что линейные операции над векторами гиль- бертова пространства Н непрерывны, т.е. если [[хи — х[[ — ~ О, [[уп — у[[ — ь 0 и последовательность чисел Л„ — ь Л (и — ь оо), то [[(хп + у„) — (х + у) [[ -+ 0 и [[Лих„— Лх[[ -+ О.
16.40*. Докааать, что конечномерное евклидова пространство ивляетсн полным. 16.41. Пусть (з — векторное пространство бесконечных после- довательностей х = (тм тэ, ..., тт ... ) с действительными (ком- Плексными) компонентами хт и Е р(, причем г [ап[ ( со. Дои=1 280 Гл. 16. Уравнения в частных производных казать, что соотношение (х, у) = ~ х„у„задает скалярное про- н=1 извеление в пространстве 12. 16.42. Доказать, что счетное множество В = (е„, и Е И; е„ = = (О, ..., О, 1, О, ...
)) образует ортонормированный базис в пространстве 12 относительно скалярного произведения задачи 16.41. 16.43*. Доказать, что 12 является пространством Гильберта. 16.44. Пусть Ь2(а, 5) — пространство заданных на [а, 6] ком- ь плеиснозндчн!ах фунпций у (х) таких, что ]у (х)] Йх ( со. Счи- 2 а ь тая известным, что из условия ]/(х)]~Ых = О следует /(х) = а = О(х), где 0(х) — нулевой элемент пространства Ь2(а, 5), доказать, что если /(х) Е й2(а, О), д(х) Е 12(и, 5), то соотношс- ь ние (/, д) = /(х)д(х) дх определяет скалярное произведение в а Ь2(о, 5). Написать неравенство 11оши-Буняповсвого в Ь2(а, 5), называемое также неривенсгпвояь Шварца (см.
Часть 1, с. 122). 16.45*. Доказать, что последовательность непрерывных функций — 1 при 1 Е [ — 1, — 1/н], ~о„(1) = яь при 1 Е [ — 1/и, 1/и], 1 при 1 Е [1/я, 1] фундаментальна в пространство непрерывных на отрезке [ — 1, 1] 1 1/2 функций с нормой (/(1) — д(1)) Й, но нс имеет предела. — 1 Таким образом, это пространство не является полным. 16.46. Пусть Ь2(а, 5) — пространство заданных на [а, 5] фунв- Ь ций /(х) таких, что ]/(х)] р(х) Их ( оо, где весовая функциг, й р(х) > О и может обращаться в нуль только в отдельных точках 8 2. Аналитические методы решения уравнений 281 Доказать, что сели у(х) Е т'т(г, 6), у(х) Е Ц(о, 6), то соотношение б ( У, у) = ~(х)й(х)р(х) т)х а определяет скалярное произведение в Ц(о, 6) (см, условие залечи 16.44). Система функций (!д„(т))„о, заданных на отрезке [а, 6], называ- ется орп!огональяой на [а, 6], если а) ьо„(х) йЬт(а,6),п=0,1, ...; б бок(х) 'е"*(х) йх '( й ~ О прн тя = я.
( 0 при !ноя, и Системе функций (боо(х))„о называется ортогональной на [а, 6] с весом р(х), если в) !д„(х) е Ег(а, 6), я = О, 1.....; ( 0 при т~тб, 6) (боо, Р„,) = У„(Х) !До,(Х) Р(х) йт = й„фО прн я!=я. а Если й„= 1 для всех н = О, 1 ..., то система называется орп!онор- мирооанной яа [а, 6] нли соответственно ортонормирооояной яа [а, 6] с'весом !о(х). На примерах следующих аадач убедиться в существовании ортогональных и ортогональных с весом систем функций: 16.47. Доказать, что тригонометрическая система функций 1, соех, 8!пх, со82х, еш2х, ..., сових, ешнх, ортогональна на отрезке [ — я, я], а система 1 совх 8!пх С08 ПХ 8П! 7тХ т/2х* тУ%' ~/л' '"' т/ ' т/ ортонормирована на [ — и, и].
7ГнХ ! оо 16.48. Доказать, что система функций ] соз — ~ ортогоп=о нальна не отрезке [О, 1]. 2пях ) 16.49. Доказать, что система функций 8!и ~ ортоготем нальна на отрезке [О, 1!б2]. Гл. 16. Уравнения в частных производных 282 Ус(х) 'рс(х) = ]]у ]~ > 1 (х) — ~ (1., рь)рь(х) л=о р (х)— .('. — ~ ,(!' рь)ра и = 1, 2, образуют ортонормированную на [а, Ь] систему (метод ортогонализации Шмидта). 16.51.
Используя метод ортогонализации Шмидта (см. задачу 16.50), найти первые четыре функции (ортонормированные полиномы Лежандра Ро(х), Р!(х), Рз(х) и Рз(хх)), полученные при ортогонализации системы степеней 1, х, х~, ... на отрезке [-1, 1]. 16.52. Используя метод ортогонализации Шмидта (см. задачу 16.50), найти первые 4 функции, получаемые при ортогонализации системы степеней 1, х, х~, ...
на отрезке [-1., 1] с весом р(х) = 1 (ортонормированные полиномы Чебыи!ева). ьУГ:хт 16.53*. Ненормированный полиномы Чебышева с козффициснтом 1 при старшей степени имеют вид То(х) = 1, Т„(т) = —,соа(пагссовх), -1 < х < 1 (п Е М). Доказать, что система (Тп(х)]„с ортогональна на [ — 1, 1] 1 с весом р(х) = Я:хт ' 16.54. Используя метод ортогонализации Шмидта (см. задачу 16.50), найти первые 3 функции, полученные при ортогонализации системы степеней 1, х, х~, ...
на отрезке [О, 1]. Функции Радемахера га(х) определяютсл следуюшим образом: гп(х) = щпв!п2"+'лх, и = О, 1, ..., 16.50. Пусть система функций Ях), у!(х), ..., 1„(х), ... из У,а(а, Ь) линейно независима на [а, Ь]. Доказать по индукции, что построенные по рекуррснтной формуле фушсции З 2. Аладитические методы решенил уравнений 283 где 1 при х>0, 0 при х=О, — 1 при х(0. а!Янх, = И'а(х) =1, И;,(х) =гь(х), А!=0,1,. и если !! = 2л' + 2"'+... +2"', и! > и! » .
п, > О, то и л И'„(х) = Ц И1з" (х) = Д г„,(х), г=! г=! где г„(х) — функции Радек!ахера, причем в тачках разрыва И~„(х) = -[И'„(х+ 0) + И~„(х — О)], 1 2 16.58. Построить графики функций Уолша И'а(х) для и = О, 1, ..., 8. 16.58. Доказать ортонормированность системы [И'л(х))„ о на отрезке [О, 1]. 16.60"*. Пусть,У (х) — решение уравнения Бесселя хзул + + хУ' + (х~ — из)У = О, а (1сь( Д' ! — коРни,У,(х). Доказать, что система функций (у,((!„ х))„ ! ортогональна на отрезке [О, 1] с весом р(х) = х.
Отыскание решения у(х), х Е [а, Ь], уравнения (Ь(х)у'(х))' — л(х)у(х) + Лр(х)у(х) = О, (б) уловлетворяюшего однородным краевым условиям одного нз типов 1) у(а) = у(Ь) = О, 2) у'(а) = у'(Ь) = О, 16.55. Построить графики функций Радемахера г„(х) для и = = О, 1, 2, 3.
16.56. Показать, что при !! ) и каждый интервал постоянства функции г,(х) содержит четное число 2" ' интервалов постоннства г„(х). 16.57. Доказать ортонормированность системы (т„(х))"' о на отрезке [О, 1]. ! ункции Уолша И'„(х), х Е [О, 1], в нумерации Пали определяются следуюшим образом; Гл. 16. Уравнения в частных производных 284 3) р(х) ограничено при х -+ а+О и х -+ Ь вЂ” О, будем называть задачей Штпттрма-Лиуоилля. При этом предполагаем, что функции л(х), ту(х) и р(х) непрерывны на отрезке [а, Ь], причем /с(а) = ь(Ь) = О в случае условия типа 3), к(х) > О, фх) > О, р(х) > 0 и р(х) ограничена для х Е [а, Ь].
В общую задачу Штурма — Лиувилля краевые условия 1)-3) могут входить и в некоторых линейных комбинациях. Нетривиальные решения у(х) ф 0 уравнения (б), удовлетворяющие одттому из краевых условий 1)-3), существуют не при всех Л. Значение Л', при котором существует нетривиальное решение у*(х) задачи Штурма-Лиувилля, называется собственным числом уравнения (б), а соответствующее ему решение у'(х) — собстпеекной функцией. Заметим, что собственные функции р1(х) и у2(х) задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие различным собственным числам Л1 ~ Л2, ортогональны на [а, Ь] с весом р(х), т.е. (Д1, Д2) = Ц1(х)тэ2(х)р(х) г(х = О.
а Найти собственные числа и собственныс функции следующих задач: 16.61**. уп — Лу = О, р(0) = у(1) = О. 16.62. ри — Лу = О, у'(0) = у'(1) = О. 16.63. уи — Лу = О, у(0) = 11'(1) = О. 16.64. уп — Лр = О, у'(0) = у(1) = О. 16.65**. уп(г) + -р'(г) + астр(г) = О, у(Л) = О. т 3. Ортогональные ряды. Пусть Ф = (эт„(х))'„о — ортонормированная на [а, Ь] система функций, а функция )'(х) 6 Т,г(а, Ь).
Тогда существуют числа с = сп(тт) = (.т 'ттд) = ~ тт(х)тть(э) дх, п = О, 1, а называемые коэффициентами Фурье функции 1'(х) по системе Ф. Ряд с этими коэффициентами и=о называемые ортпогоиальным разложением или рядом Фурье функции т" (х) по системе Ф. Э 2. Аналитические методы решения уравнений 285 Если система Ф только ортогональна, а не нормирована, то 1 с„= /(х)!о„(х) г1х, и = О, 1, ... /: 2( )й, я 16.66. Используя результат задачи 16.60 (см. решение), найти выражение коэффициентовФурье-Бесселя функции /(х) Е т'э(0, 1) (р(х) = х) по системе (У,(рь х))ьен. (е) 16.67*. Нормированные пеликаны Пежандра Р„(х) (см.
задачу 16.51) можно определить также соотношением (формула Ро0- рига) (-1)" гг'(1 — х )" они образуют ортогональную на [-1, Ц систему, т.е. ! 0 при т~н, Р„(х)Р (х) г1х = 2 при гп = н. — ! 2н+ 1 Найти первые 4 коэффициента разложения функции /(х) = (х(, -1 < х < 1., если известно, что Ро(х) = 1, Рг(х) = х, Рэ(х) = = Зхэ/2 — 1/2, Рз(х) = бхз/2 Зх/2. 16.68. Записать вырал!ение коэффициентов г1>урье функции 1 э" (х) Е Ц( — 1, 1) р(х) = по системе полиномов Чебы!/Г:хэ у шева (см.
задачу 16.5З). 16.69. Для функции /(х) = х на отрезке (О, 1] вычислить первые четыре коэффициента ее разложения по системе Уолша в нумерации Пели. 16.70*. Доказать, что частные суммы Ь„(/, х) = ~со!рь(х) о=о разложения функции /(х) по системе Ф дают решение следуюшей задачи о наилучшем среднеквадратичном приближении: в множестве М„ = Т„(х) = ~~! гть!рь(х) о=о Гл. 16. Уравнения в частных производных 286 вполиномов» Т„(х) по системс Ф порядка не выше и найти тот, который дает минимум интегралов ш1п [,) (х) — ло[х)] г)х. 'р ем„ / а 16.71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
