3 часть (1081356), страница 41
Текст из файла (страница 41)
16. Ц~авненин в частных производных ЗОО ыолчно дифференцировать по параметрам 1 и х и мы имеем и',(х, 1) = — а~ ыте '" " '(А(ы) сояых+ В(ы) яших)савв, о и", (х, М) = — е " Я(А(ы) сояых. + В(ьз) я1пых) сМы. о Следовательно, определяемая интегралом (28) функция и(х, 1) является решением уравнения (26), поэтому, если мы выберем 1 Г А(ы) = — / ~р(т) сояытдт 1 Г В(ы) = — / р(т) зш ыт дт, то определяемая интегралом (28) функция и(х, Г) будет удовлетворять и условию (26). Таким образом, искомым решением является функция и(х, 1) = — / е ' г(м / р(т)(сояьзхсояыт+я1пьзхяшьзт)Ит = 1 Г Г 2 2я = — / Чл(т) г(т / е "" совы(х — т) г(ы.
Используя формулу (см, задачу 9.192) ч- х 1 1л й е ™ сояйог!ы = -~( — е 2 у/.г о вычисляем внутренний интеграл =Г— -алел~ 1 )л и-Р е ' сояы(х — т) Ны = -~/ — е Ы 2 у' азг о 3 3. Лрнближенныс методы решения уравнений 301 а потому 1 и(х, 1) = / ~р(г)е ' Й.. 2атггй / г В нашем случае уг(т) = с ', поэтому 2ат/л1,/ В задачах 16.101 — 16.104 найти решение задачи Коши 11и г32 и — — — со < х < +со 0 < 1 < +со 01 Дхт при указанном начальном условии и(х, 0): '3 3.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 1. Основные понятия метода сеток. В большинстве случаев получить решение дифференциального уравнения в частных производных с помошью злемснтарных или специальных функций невозможно. В связи с втим важное значение приобретают приближенные методы его решения. Нигкс мы ограничимся рассмотрением краевых задач для уравнений математической физики с двумя независимыми переменными в области Р с границей у, т.е.
Ьи = а(х, у)и,", + 2б(х, у)и",„+ с(х, у)и'„', + Н(х, у)и', + + е(х, у)и'„+ у(х, у)и = Дх, у), (х, у) Е Р, (1) Ги=чг(х,у), (х,у)с у, (2) где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у), а(х, у), е(х, у), д(х, у), у(х, у) — известные функции переменных х и у, определенные в области Р, à — некоторый линейный (в обшсм случае дифференциальный) оператор граничных условий и уг(х, у) — известная функция, заданная на границе .у.
16.101. и(х, 16.102. и(х, 16.103. и(х, 16.104. и(х, )' А, )х(<6, '1 О, )х!>Ь. 0) = е ~*~. / /х!, )х! < )г, 1 О, !х! > а. ) х, !х! < 6, ~, О, !х! > я. Гл. 16. Уравнения в частных производных 302 Наиболее часто используегаым методом численного решении краевой задачи (1), (2) пвлпстсл метод сеток (метод конечных разностей) В методе сеток замкнутап область Р = РОТ замснлстсп конечным множеством точек — сеткой Рь = Рь 0 уь. Точки этого множества называютсп узлами естли.
Параметр Ь = (6, т), шаг сетки, характеризует ес плотность в области Р. Обычно при !Ь! = ьес6'+ т' — ь 0 последовательность сеток Рь стремится заполнить всю область Р. Производныс. входлшис в левые части соотношений (1) и (2), заменпютгп на сетке Рь соотвстгтвуюшими разностными отношениями. В результате получаетсп система линейных алгебраических уравнений Сьиь = уь(хы, ун), (хы, уп) б Рь, Гьиь — — рь(хт ун), (хы: уп) б Уь, (3) ььиь = уь(х„„у„), (х„„у„) б Рь (4) где — ( то ° (х и у~) и Рь, — ( Хь Хь — — ~ Уь=~ Гь, (х~„ун) Е ~ь, 'уь, (хы ун) б Рсн (хп1 ун) ч еь. Построение разностной схемы (3) или (4) длл красвой задачи (1), (2) начинаетсп с выбора сетки, т.е.
указываетсл правило замены области Р и границы у сеточной областью Рь. Чаше всего сетка выбираетсп прнмоугольной и равномерной. Длл этого проводлтсн два семейства параллельных прлмых: т = хо+ т6 и у = уо+пт и рассматриваютгп вгевозможные точки попарных пересечений прнлсых из этих семейств, т. с. точки вида (х„„ув) = (хо + т6, ус+ пт). Точки (х„,, у„), которые принадлежат замкнутой облагти Р, образуют сетку Рь, являясь ее узлами. У каждого узла (х,„, ун) имеетсн четыре соседних точки: (х,„ы у„), (хт„ы у„), (х„„у„1), (х, 1ьг~ы). Если все эти соседние точки также принадлежат сетке Рь, то узел (х, ун) называется внутренним, в противном случае узел (х, у„) называется грани ейным.
Совокупность внутренних узлов образует множество Рь, а граничных — множество уь где иь(х„„у„), (х, у„) б Рь — искомая сеточная Уэункиия, уь(хо,, у„), рь(х, у„) — гсточныс функции, заданные на множествах Рь и уь соответственно, и Сь, Гь — разностныс операторы. Ссточнан функция йт явлнюшапся решением системы уравнений (3), называется приближенным рсшенисм красной задачи (1), (2) на сетке Рь. Ее значении й „= йь(х, у„) приближенно заменяют в узлах гетки .Рь соотвстствуюшие значения точного решения й(х „у„) пгходной краевой задачи с некоторой погрешностью б „= й, „— й(хы у„). Семейство систем уравнений (3), зависящее от парал1етра Ь = (6, т), называется розностной схемой. Разностную схему (3) иногда удобно записывать в виде 3 3.
Приближенные методы рюнення уравнений 303 (так что Рь = Рь 0'уь). Следует отметить, что множество граничных узлов уь нс обяаательно является подмножеством точек границы у, что приводит к погрешностям при построении сеточной функции дь из (3). Ца рис. 13 приведен пример прямоугольной и равномерной сетки Рь, Ряс. 13 построенной для заданной области Р (внутреннис узлы сетки здесь отмечены символом *, а граничные — символом ° ).
После выбора сетки Рь проводится построение сеточной функции (уь, уь) и разностного оператора Хь = (Аь, Гь) из (4). Длн определения уь в узлах сетки Рь полагают уь(х, у„) = г(хн„у„), если (х„„у„) Е Рь, уь(х,„, у„) = р(х,„, у„), если (х„„у„) Е уь и (х, у„) Е у, если же граничный узел (х, у„) ~ у, то в качестве ,У(х, у„) выбираетгя значение функции д(х, у) в произвольной точке (х, у) Е у, отстояшей от узла (х„„у„) на величину, меньшую ~б~. Для построения разностного оператора Хь все известные функции, участвующие в явной записи операторов Ь и Г (например, а(х, у), 6(х, у) и т.д.), заменяются своими значениями в узлах сетки Рь и обозначаются соотве~ственно через а „, Ь„, „и т, д., а частные производные 1-го и 2-го порядков неизвестной функции и(х, у) приближенно заменяютгя соответствуюшими разностными отношениями. В результате получаем разностную схему (4), соответствующуи> краевой задаче (1), (2).
Пример 1. Построить разностную схему для краевой задачи распространении тепла в конечном стержне (О ( х (1) и', — а и" = у(х, г), и(х, О) = фх), и(О~ 1) = чч(1) и(1~ 1) ч2($)' Гл. 16. Урввненив в частных производных 304 Рь=((хп„сп)!т=0,1,...,т, и=0,1,...,я), (5) где целое г выбирастсл так, чтобы интервал 0 < 1 < та перекрывал тот временной диапазон, в котором изучается распространение тепла в стержне.
Множество внутренних узлов имеет вид Рл —— ((хп„1п)(ти = 1, 2, ..., т — 1; и = 1, 2, ..., а. В это множество входах и узлы вида (х, 1,), т = 1, 2, ..., т — 1, которые мы считаем внутренними, так как наше ограничение 1 < вт нвллетсл искусственным! Соответственно 7ь = = Рь'~Рь или в явном виде уь = ((хп„О)(т = О, 1, ..., т) О((0, 1„)(и = = 1, 2, ..., в) 1.1 ((х„, 1„) /, и = 1, 2,..., а). Далее полагаем иь = (и„,,п), /(хп~ ~ 1п) ~ й(хп~) Фл (Сп), д,(1„), (хш, 1п) 6 Рь., и=О; т=0,1, (6) т = 0; и = 1, 2, ..., а, ./ь(хоп~ Сп) = лл = т; и = 1, 2, ..., ж Отметим, что в случае, когда 1/6 не лвллетсл целым числом, т.е.
т = = (1/6] < 1/6, уалы (х„, Сп), тл = 1, 2, ..., э, не приналлеллат граничной полупрямой х = 1, р > О. Вместе с тем эти узлы лвллются граничными, поэтому значенил сеточной функции /л в них перенесены с границы. Для получения разностного уравнения заменим проиаводныс разностнылш отношениями (см. задачи 16.105 и 16.108); 1 и,(хпл 1п) — (и,„,пз.1 — ип, и), т и ипп(хпм 1~) — э(иппы и — 2ипьп+ ипп-ип), где (хп„Сп) 6 Рл. Следовательно, 1 аэ — (и,„,„з.л — и~ и) — — (и,„з.л „вЂ” 2и~ и+ ип, 1 и), т /лэ тп, = 1, ..., т — 1; и = О, 1, ..., а — 1, (7) и ,о, т = О, ..., т, ио и, и = 1, ..., я, и„ „ и = 1, ..., 8. з Заметим, тго область определения ((х, 1)/О < х < 1, 0 < 1 < +со) данной краской задачи лвллстсл неограниченной.
Поэтому длл построснил равномерной прлмоугольной сетки Рь (которал всегда лвлнгтсл конечным ллнолюством точек) поступим следуюшим образом. Проведем два семейства прямых х = т6 и 1 = ит длл некоторых заданных 6 и т. Очевидно, что точка (х,„, 1п) принадлежит области определения исходной зада ш, если пл = О, 1, ..., т, где т = (1/Й)., и и = О, 1, ... Положим 3 3. Приближенные методы решения уравнений 305 Подставляя выражение (6) и (7) в (4), получаем искомую разностную схему, нагорал представллет собой следующую гистему линейных алгебраических уравнений: 1 а — (сс, ьс — с>», ) — —,(и» ьс ° т 1>' и> = 1, ..., т — 1; — 2>> ш, и + ссссс- с, сс) = 1(хт, 1я), л=О,...,а — 1, т=О,...,т, п = 1....., в, п = 1, ..., а.
иа,о = ср(х ) с>0, и с»! (1са)с ит,я ср2(йс)с >>(с.и)ь — >'аида!> -> О, >>с( -ь 0 Если, кроме того, выполнлстсл неравенство !! (П~>) ь — Хьиь(( ( С(~й~т+ ~т~а), где С вЂ” константа, не аавислщал от 7>, то порядок приближения разностным оператором равен р по переменной х и д по переменной у. В частном случае, когда шаги сетки связаны соотношением т = д(Ь) (т.е. не лвллютсл независимыми) и й(Еи)ь — Ь>сс>ьй ( С(Ц", говорлт, что разностный оператор с,>, приближает оператор с' с порлдком приближенна и.
Длл определении парилка приближения обычно используетсл формула Тейлора. П р и и е р 2. Определить порядок приблил енин дифференциального оператора Ьи = и', — ати,", разностным оператором из примера 1. Эта система состоит из (а+ 1)(т+1) уравнений. Решив се относительно неизвестных и „, т = О, ..., т; п = О, ..., а, найдем сеточную функцию й>, —— (П„„), значения которой в узлах сетки приближенно замеНлют значенил искомого решения исходной краевой задачи длл уравнении теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
