3 часть (1081356), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Сокрашан на 4хгуг ф О, приходим к уравнению канонического вида и" + и'„' =- О. Отсюда заключаем, что решени< уравнения пвлпетсн гармонической функцией по переменным С и у. ~> В задачах 16.8 — 16.18 определить тип уравнений и привссти их к каноническому виду: ди ди ди 16.8. — —, + 5, + 4 — = О. дхг дх ду дуг д и д и д и ди ди 16.9. — + 4 — + 4 —, + 3 — + б —, = О. д г д.ду дуг дх ду дги д и д и 16.10.
—, — б, + 13 — = О. дхг дх ду дуг д и дги дги 1/ у 1 ди 16.11. х — + 2 ггху у— + у — — — ~ — — lу) —, = О. дх д ду дуг 2~,х ) ду г дги дги г дгу 16 12 уг 2ху + хг дхг дх ду дуг гд~г 2ди 16.13. 92 — — хг — — 2х — = О. дхг дуг дх д и д и 1 ди 1 ди 1614. ху. + — + — у —,— — — — О в области х > О, у > О. дхг дуг 2 дх 2у ду дги дг дг,г ди 16.15.
—, +2 +совгх — — с18х — + —, = О. дхг дх ду ду' (х д ду) дги дги 16.16. — х —,, = О. дхг д 2 ди ди 16.17. — + х — = О в области х > О. дх2 дуг дги дги дги 16 16 х2 ~ 2ху +у2 О д.г д ду д,г 16.19**. Найти общее решение уравнения из задачи 16.8. 16.20. Найти общее решение уравнения из задачи 16.9. 16.21. Найти общее решение уравнении из задачи 16.11.
16.22. Найти общее решение уравнении из задачи 16.15. 16.23. Найти общее решение уравненин из задачи 16.18. 3 2. Аналитические методы решения урионсний 275 3 2. Аналитические методы решения уравнений математической физики 1. Метод Даламбера. Одним из широко использтсмых гпогобов рггпения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый в атом случае истодогг Даламбера.
В огновг. его лса;ит тот факт, что с помошью замены С = х + а), г) = х — а) уравпгнис гд д)Р да и преобразуется в уравнение — = 0 (см. задачу 16.5), которое имеет общее решение гг(с, г)) = Ф(б)+Р'(г)), где Ф и à — - произвольные дваьтды дифференцируемые функции. Для определения зтих функций Ф и Р, т.е. для определения закона колебаний струны., требуется использовать иачальныс условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться в старым пг релюнным х и ), то решение имеет вид и(х, )) = Ф(х+ и)) + Г(х — а)).
Здесь )г(х — а)) характеризует прямую волну (кривая г'(х) смгшагтся вправо со скоростью а), а Ф(х+ а)) — обратную волну (кривая Ф(х) смещается влево со скоростью а). Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны — сю < < х < со, то по заданным начальным условиям и(х, О) = гр(х), и',(х, 0) = гр(х) (2) определяются функции Ф и Г и искомое рспггние (грорггула Дилаибсра) хг-аг 1 1 )' гг(т, )) = — [гр(х — а)) + Зг(х + а))] + — / г)г(х) г)г.
(3) 2 2гг,/ г-аг Пр'имер 1. Найти решение и(х, )) задачи 1гоши ( — сс < х < ос, 0<)<со) дггг дггг . ди(х, 0) — и(х, 0) = сов х, = О. З Используя формулу Даламбера (3), имеем 1 и(х, )) = -[сов(х — )) + сов(х + ))] = сов х соз ). г> 2 Используя формулу Даламбера, найти решения и(х, )) следующих задач Коши ( — сгг < х < сс, 0 < ) < оо): Гл.
16. Уравнения в .частных производных 276 0 при х Е ( — оо, 0) 0(21, со), х при хб(0,1), 26 — х при х Е (1, 21). и(х, 0) = ср(х) = Построить на чертеже профиль струны в моменты времени ~ = = 1/2а и 1 = 1/а (а — входнщан в уравнение (1) постопннан). 16.30'. Найти решение уравнения и,", = ати" прн начальных условиях и(х, 0) = р(х) = О, 0 при (х() 6, — а при — 6<х<0, а прн 0<х<6.
и',(х, 0) = ф(х) = Построить профиль струны в моменты времени с = 6/(2а) и 1 = = 36/(2а). В случае полубесконечной струны кроме начальных условий (2), заданных прн О < х < оо, необходимо добавить еще граничное условие (конец струны предполагается в точке х = 0) и(0, С) =О длн закрепленной в точке х = 0 струны, и' (О, с) = О (4) (5) 16.24. Найти решение уравнения исс', — — и"„при начальных аспх условиях и(х, 0) = —, и',(х, 0) = О. х 16.25.
Найти решение уравнения и",, = и" при начальных вшх, т, условинх и(х, 0) = —, и',(х, 0) = х ' ' 1+х~ 16.26. Найти решение уравнения и",, = и" при начальных условиях и(х, 0) = —, и,(х, 0) = в|их. + х7' 16.27. Найти решение уравнения и,", = и", при начальных 1 условиях и(х, 0) = —, и',(х, 0) = сов х. 1+ т~ 16.28. Найти решение уравнения и,", = и" при начальных т2 с х условиях и(х, 0) = е *, и (х, 0) = —,. с 1+ 16.29'. Найти закон свободных колебаний бесконечной струны, если начальнан скорость каждой ее точки равна нулю, а начальное отклонение задаетсн функцией з 2.
Аналитические методы решения ур вненнй 277 дги дги П ример 2. Найти решение уравнения — = аг — 0 < х < оо дгг дтг ' ) ди(х, 0) О < г < со, удовлетворпюшес условиям и(х, 0) = хг, = ебп х, дг и(0, С) = О. сЗ Продолжим функции:р(х) = хг и ф(х) = ебп х на отрицательную полуось нечетным образом: хг при х) О, ш (х) = — хг при х<0; ебп х при х>0, ф!(х) = — а1пгх при х < О. Тогда по формуле Даламбера (3) решение запишетсн следуюшим обра- зом: 1 1 и(х, 1) = — [р~ (х + а1) + ~р~ (х — аг) + — / грг (г) аг = 2 2а х-~-м — [(х+ а1) + (х — ас) ]+ — ~ аш хг1г 1 г г 1 г г 2 2а х — м — [(х+ аг)г — (х — а1) ]+ 2 х при 1< —, а х-~-аг о г г х в1п газ — ~ а!п гах при г ) ) О, о х-ы х + а 1 + — — — сов2ха!п2аг при 1 < —, г гг 8 1 х 2 4а а 1 х 2ахг+ — [2х — ебп2х соя 2а1] при 8 » — О.
) 4а а длн свободного конца в точке х = О, и',(О, г) — Ьи(0, Е) = 0 длн упругого закрепленин в точке х = О. Из условий (2) и (4) следует, что у(0) = О. В случае однородных граничных условий (4) или (5) решение за- дачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжениа начальных условий на всю ось нечетным образом длн условии (4), т.е. у( — х) = — у(х), 1б( — х) = — гр(х), и четным образом длн условия (5), т.е. д( — х) = ~р(х), гр(-х) = гр(х). Гл. 16.
Уравнения в частных производных 278 Замечание. Еак следует из формулы Даламбера (3) и уравнения (1), входящая в условис (2) функпня Зг(х) должна иметь вторую производную, а функция л«л(х) — первую. Однако в погледуюших задачах мы будем рассматривать функции ~р(х) с угловыьли тоновые, а функции ф(х) — - с точками разрыва, предполагая тем нс монсе, что определяемая по формуле (3) функция является рсшснисъл (вооблцс говоря, обобщенным) исходного уравнения (1).
Это объясняется тем, что путем незначительных изменений фунллцин ло и ф ьлоялно сделать достаточно гладкими н полученные для зтнх сглаженных функций по формуле (3) решения и'(х, «) будут мало отличаться от и(х, «). Используя метод продолжения и формулу Даламбера, найти решения следующих задач: 16.31. В области 0 < х < оо, 0 < «< оо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 0) = О, и',(х, 0) = зшх, зл',(О, «) = О. 16.32. В области 0 < х < со, 0 < «( оо найти рсшснис уравнения (1), удовлстворяюшсе условиям .г и(х, 0) = —, и«(х, 0) = О, и(0, «) = О. 1+ х2' 16.33.
В области 0 < х < оо, 0 ( «< со найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 0) = О, и',(х, 0) = —, и(0, «) = О. 1+ хг' 16.34. В области 0 < х < со, 0 ( «< со найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям 2 и(х, 0) =, и',(х, 0) =, н(0, «) = О. 1+ г л 1+ 16.35. В области 0 < х < оо, 0 < «( оо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 0) =е *', ни,(х, 0) =а(пх, и(0, «) =О.
16.36. В области 0 < х ( оо, 0 ( «< оо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 0) = а1п — при х Е [О, 1), 0 при хб(1,оо), и[(х, 0) = О, лл(0, «) = О. Построить график решения в моменты « = 1/(4а) и « = 31/(4и). 3 2. Аналитические методы решения уравнений 279 16.37.
Полуограниченная струна (и(0, 1) = 0) н начальный мо- мент имеет форму и(тэ 0) = 0 и начальную скорость ( с при тЕ[0,(), ,',(,о) = Г ( О при лба, со). Найти форму струны длп момента времени 1 = (/а и ~ = 5(/а, где а — входпщая н уравнение (1) константа. 2. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы. Одним из наиболее распространенных аналитических мотодов решения уравне- ний математической физики янляется так называемый метод Фурье, который опирается на снойства ортогональных систем и ортогональных разложений. Поэтому изложению метода Фурье мы предпосылаем рнд задач на свойства ортогональных систем, ортогональных радов и на ре- шение краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть н векторном пространстве й введено скал рное (виутрениее) произведение (х, у) нектаров х б Й и у Е Ы (см. Часть 1, гл. 3, З 1, п. 3), удовлетнорлюшее услонинм: 1) (х, у) = (у, х), 2) (х1+ хэ, у) = (хы у) + (хэ, у), 3) (Лх,у)=Л(х,у),ЛЕО, 4) (х,х) >О,причем(х,х) =Оььх=О. Нормой элемента х Е й, обозначаемой [[х[[, назынаетсн число, ранное фх, х), т.е. [[х[[э = (х, х). Последовательность векторов (х ) с Н на- аываетсн д1ундамеитальиой если она удонлетворлет условию: для всех е > О существует Х = Х(я) такое, что длн любых пы пэ > Х(е) выпол- няется неравенство [[хт — х„ь[[ ( е. Пространство Ы называется пол- иым, если любая фундаментальная последовательность некторон (х„) втого пространства имеет предел хо е Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
