3 часть (1081356), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

15. Интегральные уравнения 254 Эта система имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, когда выполняется условие е +осе ( )( ) е е" 1 — !с е"' — ые" = — 2(1 — ьс)(1+ сс) ЯЬ!с = О, т. е, !с = х1 (!сэ > О!), или Л = ссэ = 1. При !с = 1 из (43) получаем 'хО 2/е) ВСЯ) хО) " хСЯ) хО) ' откуда у(х) = С!е*, С! — произвольная постоянная. Аналогично, при ы = -1 получаем ус+!с'у = О, его обшее решение: у(х) = С! соя! /х + Сэ я!и ! !х. Краевые условия (41) приводят к системе С = С, С! соз!с+ Сэз!пас = — ьсС! з!Пас+!сСэсоз!с или, в матричной форме, хсоз !с + ы Я!и! ! Я!и! ! ! ! созы) хСЯ) хО) Эта система имеет отрицательные решения в там и только в том случае, когда !сэ з)пас = О, т.е.

!с„= яп, п = х1, х2, ..., или Л„= — !с~ = = — нэпэ, и Е (Ч. откуда у(х) = Сэе *, Сэ — произвольная постоянная. Таким образом, Л = 1 — характеристическое число ядра (35), соответствуюшая ему линейно независимая система собственных функций состоит из двух функций у! —— е', уэ = е *, а любая собственная функция имеет вид у(х) = С!е* + Сэе ', где С! и Сэ — произвольные постоянные. 3) Л = — !сэ ( О. В этом случае уравнение (40) имеет вид я 2. Интегральные уравненнн Фредгальма 255 При ы = ы„= хи, и = х1, х2, ..., нз системы (44) получаем ((- )- я.(- )-) (С,') = (О) у(х) = С(яп соя япх + яп хпх), и е И, С вЂ” произвольная постоянная. Подводя итог, заключаем, что для заданного ядра задача о характеристических числах и собственных функциях имеет следующее решение: У0,2 — ч л уел = е*, Л„= — тэпэ, у„= нп соя япх + яш хпх, и Е я.

Для заданных симметричных ядер найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя инте- гральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновен- ного дифференциального уравнения: 15.149. К(х, г) = — х, 0<х<1, 15.150. К(х, Е) = — г < х < 1. 15.151. К(т, 1) = ' « 1 152 К( ) я1пгсоях, С < х < л. ( я1пгсоях, 0 <х <1, 15.153.

К(х, г) = 1 соя гя1пх, 1 < х < и. я)п(1 — 1) япх 0<х<г, яп1 яп1яш (х — 1) 1<х<1. я1п 1 15.154. К(х, г) = откуда С~ — — ппС, Сэ = С н у(х) = С(нп сояхпх + яп них), где С вЂ”. произвольная постоянная и п = х1, х2, ... Заметим, однако, гго в этом выражении лля у(х) переход от п к — п приводит лишь к смене знака, т.е. к изменению константы С. С учетом этого получаем, что каждому из характеристических чисел Л„= — х п~, и е К, соответствует одна базисная собственная функция у = хи соя хпх+яш пях. и Е Я, а любая собственная функция имеет вид Гл, 15. Интегральные уравнения 256 яЬ(« — 1) яЬх 0<х<«, яЬ1 яЬ «яЬ (« — 1) «< х < 1. яЬ1 15.155.

К(х, «) = 1 15.156. К(х, «) = — я!и ~х — «~, О < х < «< !г. 2 -е ~сЬх, 0<х<«, 15.157. К(х, «) = — сЬ«е *, «< х < 2. Если задано неоднородное интегральное уравнение у(х) — Л К(х, «)у(«) !«« = «(х) а (45) с симметричным ядром К(х, «) = К(«, х), удовлетворяющим условию ь ь (К(х, «)!э «хг««<+с, а а то его решение в общем случае мажет быть найдено следующим образом.

Пусть Л!, Лг, ..., Л (46) — последовательность характеристических чисел ядра К(х, «), а у!(х), уэ(х), ..., у„(х), ... (47) у(х) = )(х) + Л ~~~ у„(х), А и=1 (48) где у(х) у„(х) г«х, я = 1, 2, а (49) — соответствующая ортонормированная последовательность собственных функций. При этом в последовательности (46) каждое характеристическое число выписывается столько раз, каков его ранг, т.е. чисдо линейно независимых функций, соответствующих этому характеристическому числу. Если параметр Л в уравнении (45) не совпадает ни с одним из характеристических чисел Л„, я = 1, 2, ..., то решение этого уравнения (существующее и единственное в силу З-й теоремы Фредгольма для любой правой части у(х)) даетсн формулой З 2. Интегральные уравнения Фредгольх»а 257 Если жс параметр Л совпадает с одним из характеристических чисел, имеющих ранг г, т.е. Л = Л,„».1 — — Л»и».э =...

— — Л»»»« „ для некоторого т, то решение существует в том и только в том случае, когда функция г'(х) ортогональна ко всем собственным функциям, соответствую»цим данному характеристическому числу, т.е. выполнены г условий Дх) у„(х) а»х = О, п = т + 1, н» + 2, ..., т + г. (50) и В этом случае уравнение имеет бесконечное мноа»ество решений, имею- щих вид у(х) = »(х) + Л Х~ " у„(х) + С»у„,«.1(х) +...

»»=1 »»фи»«-1,, и»+и ... + С„у «.„(х), (51) аде С», ..., С, — произвольныг постоянные. П р и л» е р 11. Найти все решения неоднородного интегрального урав- нения у(х) — Л К(х, !) у(!)»(! = — — я!и —, (52) соя!я!пх, 0 < х < 1, К(х, !) = я!и!соях, ! < х < х, при различных значениях параметра Л. з Характеристические числа и соответствующие ил» собственные функции ядра (52) имеют вид (см. задачу 15.152) 1'2п+ 1Л, 2п+1 Л„= — 1+( ), у„=я!и х, я=012, 2 ) ' " 2 Заметим, что в данном случае каждое характеристическое число имеет Ранг» = 1, а последовательность собственных функций ортогональна, но не нормирована иа отрезке [О, х[: нормированные собственные функции имеют вид (2, 2п+1 яп х, я=0,1,2, )»и 2 Гл.

15. Интегральные уравнения 258 т х По формулам (49) для Г(х) = — — яп — получаем 4 2 Г Iт, хт Г2 . 2п+1 Га = ( ( — — яп — ))/ — з!и хйх = ,1 4 2!!/л 2 о 2 (т Г 2п+1 Г х, 2я+1 — — ( яп х!1х — )! яп — яп к~4/ 2 ,/ 2 2 о а 0 при п = О, 2 ( т л т ),2(2я+1) 2 ' .Г при и ~ О. 1/ 2 2п+1 При Л ф Л„, и = О, 2, ..., уравнение имеет единственное решение 2я+ 1 яп х р(х) = — — яп — + Л~~! и п=о При Л = Ло — — — 3/4 в силу ортогональности /(х) к собственной х функции уо(х) = з!и — получаем бесконечное мнол!ество решений вида 2 2п+ 1 лх, х 3 т у(х) = — — —,!и — — — Е 2 +Се!п — ', 4 2 2 4, п(я+1)(2я+1) 2' где С вЂ” произвольная постоянная. Наконец, при Л = Л„, и = 1, 2, ..., уравнение решения не имеет. !> Найти решения неоднородных уравнений Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром при различных значениях параметра Л (характеристические числа и собственные функции соответствующих ядер см.

в задачах 15.149-15.157): 1 5.158. у(х) — Л К(х, 1) у(1) й = 1, о (1 — 1)х, О < х < 1, К(х, 1) = 1(х — 1)! ь < х < 1. з 3. '1исленные методы рсшснил интегральных уравнений 259 15.159. П(х) — Л К(х, 1) у(1) й = а)ц лх соз — х, о — о«. ~, К(х., г) = — 1(х(1. 15.160. П(х) — Л К(х, г) 9(1) й = х — н, о в1пгсоах, 0 < х < г, К(х, 1) = сов|а)пх, 1 < х < ~г. )' 1 15.161. 9(х) — Л / — в)п )х — Ц П(г) й = 1.

,/ 2 о 9 3. Численные методы решения интегральных уравнений Сушествуют различные методы численного решения интегральных уравнений; метод конечных сумм, метод моментов, могло<) коллокании и др. Ниже будут рассмотрены два из них — метод коночных сумм и метод моментов. Пусть задано интегральное уравнение гврсдгольыа 2-го рода (ср.

з 2, и. 1 настоящей главьО р(х) — Л ( К(х, г) у(г) й = у(х), а Ь Г(х) дх = ~~~ А,Г(х;) Их + Нн, ~=1 (2) где х„г = 1, 2, ..., и, -- точки отрезка (а, б), А„1 = 1, 2, ..., н, — числовые коэффициенты, не завнспшие от выбора функции тт(х), и йк-- отибка формулы (2), порожденная приближенным вычислением интеграла. В случае равноотстолших узлов х, = а+ (г — 1)И., г = 1, ..., и, где 9(х) — искомая функцил, К(х, г) и у(х) — известные функции, опредслснныс в прямоугольнике а < х, г < б и на отрезке (а, 5) соответственно, Л.— параметр, нс равный собственному числу соответствующего однородного уравнения. Метод к о н е ч н ы х с у м м.

Этот метод основан на приближенном вычислении определенного интеграла с помошьк1 некоторой квадратурной формулы Гл. 15. Интегральные у веления 260 Ь вЂ” а где Ь =, коэффициенты А, в приближенных формулах (2) имеют и — 1 следующие значения: 1) для формулы прямоугольников 1 = 1, 2, ..., и — 1, А„ = 0; А;=Ь, 2) для обшей формулы трапеций Аг —— А„= )г/2, Аг — — ... — — А„1 = )г; 3) для обшей формулы Симпсона при и = 2ги+ 1 Аг = Аг„,т1 — — й/3, Аг — — А4 —— ... = Аг,„— — 4)г/3, Аэ = 4ь =... —— Агт — 1 = 25/3.

Вводя обозначения у(х,) = уо К(хи х ) = Кеи У(х)=У. г у=1 2 и интегральное уравнение (1) на основании формулы (2), в которой ошибка Ня отброшена, можно заменить системой и линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных у, — приближенных значений точного решения у(х) в узлах х,: у, — Л ~ А Кйу, = („ г = 1, 2, ..., и.

(3) Система (3) ыоасет быть решена одним из численных методов линейной алгебры, например, методом Гаусса. Найдя у; из (3), для решения у(х) получаем из уравнения (1) приближенное аналитическое выражение у(х) = у(х) + А ~~ .4,К(х, х,) у,. 1=1 Пример 1. Используя квадратурную формулу Симпсона, методом конечных сумм найти приближенное решение уравнения у(х) — 0,5 хе'(у)г(с = е *. о В вычислениях положить и = 3. а Выбираем равноотстоящие узлы х1 — — О, хг — — 0,5, хг = 1.

Значения ядра К(х, С) = хе' и правой части у(х) = е * в точках (хи 1,) и х; соответственно оформим в виде таблиц: 3 3. Численные методы решения интегральных уравнений 261 Таблица значений Ко — — К(х„г,) Таблица значений /, = /(х,) Квадратурная формула Симпсона (см. (3)) в нашем случае имеет вид 1 г'(х) <Ь гз -(Е(0) + 4г'(О, 5) + Г(1)), 1 о так как 1г = 1/2, Аг = Ь/3 = 1/6, Аг = 4Ь/3 = 4/6, Аз = 5/3 = 1/6. Лля определения приближенных значений р„г = 1, 2, 3, решения р(х) в узлах х; согласно (3) получим, используя таблицы значений КО и /к следуюшую систему линейных уравнений: рг — — 1, 0,5 рг — — (0,593 + 3,2976рг + 1,3592рз) = 0,6065, 6 0,5 рз — — ' Ьг + 6, 5948рг + 2, 7183рз) = О, 3679. (4) После упрощения система (4) перепишется в виде рг — — 1, 0 7252рг — 0,1133рз = 0 6482, 0 5496рг — 0 7735рз = -0 4512.

Характеристики

Список файлов книги