3 часть (1081356), страница 42
Текст из файла (страница 42)
» Естественно, наибольшие трудности в построении разностной схемы (4) вызывает замена дифференциального оператора Т, исходного дифференциального уравнения в частных производных (1) разностным оператором Т>с из (3). Пусть с>ь — конечномерное нормированное пространство геточных фУнкций иь, заданных на сетке Рь, с ноРмой биь(! = шах)и,(, где я и„— координаты вектора иь (индекс и последовательно пробегает все пары индексов (т, и), нумерующих узлы сетки).
Будем говорить, что разностный оператор Ь>, приближает дифференциальный оператор >'., если длл любой функции и(х, р), дифференцнруемой достаточное число раз, норма сеточной функции (ь",и)ь — 1,ьи>, стремится к нулю при >Ус! -+ О, т. е. Гл. 16. Уравнения в частных производных 306 а В примере 1 был построен разностный оператор 1 а (Улиь)иьи — (ит,п1-! ит,п) Ьг (ит~ь1,и 2ит,и + ит-1,п).
т Используя формулу Тейлора, находим 1 1 (пипи+1 ит,п) = (и(Хит зп+1) и(Хт~ 1п)) = т т т и1(тип ~и) + ии(тт ~ )1 2 где 1т < 1' < $т + т, и 1 1й —,(и Ь1 „— 2и п + ипп 1 п) = — „— (и(Хп + Ь, 1п)— 1 — и(х, 1п)) + — (и(х — гл — Ь, Гп) — и(х, Гп)) — (и',(х„„1п) + -и,",(х„„1п) + — и,'"„(х, 1п) + 6 з 24 ™т* 2 з 6 где х — Ь < хп < х < х' < х +Ь. Приводя подобные члены в правой части последнего выражения, получаем и 2(ит-1-1,п 2ит,п + ип~ — 1,п) = ипп(Хт~ зп) + г 24 Следовательно, (Слил)т,„ = и',(Х , зп) — аги,",(Х , Гп) + -и",,(Х , 1')— а2 2 — — (и',",'„(х', 1п) + и,",п„(х", зп)).
(8) 3 3. Приближенные х>отсды решения уравнений 307 Пспользуп выражение (8), разность между исходным ди>)к(к рснциальным оператором А н заменяющим сто разногтным Ь>, в узлах сетки маяк>х> представить в виде 2 2 24 ( *'*"' ' ' " »*»»( ' ")) для некоторых р(г„< р < Г„+ т) и х', х" (х,„— й < х' < х>в < < х' < х„, + й). Если теперь )и,",(х, г)! < И> и (и',"„'„(х, г)! < Луп то выполнлгтся неравенство (((Ьи)ь — Ь>,и>,(! = шах((йи), „— (1>,и>,)ж „! ( в>, в Следовательно, использованный в примере 1 разностный оператор приближает исходный дифференциальный и порядок приближения по переменкой т равен двум, а по 1 — единице.
Отсюда, в частности, следует, что для того, чтобы порндок приближения был равен двум, необходимо шаги 6 и т сетки связать соотношением т = 1>". Замечание. Для облегчения запоминания построенного разностного оператора полезно поставить в соответствие ему»шаблон» вЂ” геометрическую картинку расположения узлов сетки, значения в которых связывает разностный оператор при некоторых фиксированных значениях тп и п.
Длп рааногтного оператора из примерз 1 шаблон изображен на рис. 14 (проверьтс!). с В задачах 16.105-16.107 определить порядок приближении дифференциального оператора частной производной и' указанным разностным оператором Ьь. 1 16.105. (1 ли>,),„в = — (и„, „> „, — и,„„) — оператор правое>по>> ранней разности. 1 (» МЧ>)п>,н = (ип>,п ит — цн) — опера>пор леоосто- 1> ранней разности. 1 16.107. (1ч>>н>)>„„= — (и„,е> „— ию > „) — оператор пен- 26 тпральноб разности. В задачах 16.108 †.111 определить порядок приближения заданного дифференциального оператора Ь второй частной производной указанным разностным оператором Ьь.
Гл. 16. Уравнения в частных производных 308 16.108. Ьи = й, (1.аиь)т п = 1 = —,!ит+1, п — 2ит, п + ит-1,.). 16.109. Ьи = и'„',, !авиа) 1 52 = — З(и~+1, +1 — 2ит+1, и + ит, п 1). 16.110. Ьи = и"д, (г аиа) 1 4Ьт — 1ит+1, и.1-1 ит+1, и-1 ит-!, п+1 + ит-1, п-1) ° (т-1, и а!) Пт л л1) (лт е1, и "-!) ил! т,лл1 !т, л) Рис. 14 Рис. 15 В задачах 16.113 и 16.114 определить, какой дифференциальный оператор и с каким порядком приближается заданным разностным оператором Ьа.
1 16.113. (авиа)т,п = — (ит-~-1,п ит — 1,п) + 2)1 1 + — (2и и+! — и 11,„+ и„, ! и). 2т 16.114. (авиа) 1 2 (ит-1,п + ит,п-1 + ит-!-1,п + ит,и+1 4ит,п) ° 16.111. Ьи = и"ц, 1,авиа) 1 = — 1,и +1,~4.! — и~Ч.1, + ит,п — илии+1) Ьт 16.112. Построить разностную схему для краевой задачи из примера 1, используя оператор правосторонней разности и оператор, аналогичный приведенному в задаче 16.109.
Определить порядок приближении полученного разностного оператора 1 а !шаблон приведен на рис. 15): Э 3. Приближенные методы решения уравнений 309 16.115. Определить, при каком сг порядок приближения дифференциального оператора Ь: Т,и = и', — и" разностным Ть 1 (),ьиь) „= — (и „+1 — и п)— т 1 ~ з (ст(пт-н,п.ь1 — 2нт,пч-1 — нт 1 и-г1) + 62 Г дс~'и ь=о ььу<п (9) Коэффициенты ч у линейно выражаются через сы Выберем коэффициенты сь так, чтобы правая часть в равенстве (9) отличалась возможно меньше от значения дифференциального выражения Си в узле О, т.е.
чтобы коэффициенты при производных в уравнении (1) совпадали с коаффициентами при гоответствуюших производных в правой части (9), а коэффициенты при старших производных порядка г (2 < г < и) в (9) приравнясм нулю, т.е. чм = 0 длл 2 < 1+,у = г < и.
(10) + (1 — сг)(нт.~-1,п — 2нт и — нт-1,п)) будет четвертым по 6 и первым по г. Составить разностные схемы для следующих краевых задач: дти дзи ди 16.116. — = а2 — +у"(х, 1), и(х, 0) = ~о(х), — (х, 0) = Ях), дх2 и(0, 1) = ~1(й), и(Ь, Х) = 4>2(1), ХУ = ((х, 1) !О < х < Ь, 0 < 1 < Т).
дти дти 16.117. с — + с( — = у(х, у), с > О, с( > О, и~, = ф(х, у), дх2 ду2 Ю = ((х, у))0 < х < Ь, О < у < У). Более общим способом построения разностных операторов, приближающих заданный дифференциальный, явллетсп метод неопределенных коэффициептиоа. Этот метод состоит в том, что приближается не каждая производная в отдельности, а сразу весь оператор. Длл замены дифференпиального оператора разностным в узле (х„„уп) рассмотрим йс соседних узлов. Узел (х, уп) обозначим индексом О, а остальные рассматриваемые узлы занумеруем числами 1, 2, ..., Х. Составим ли- М нейную комбинацию ~ ~опия с неопределенными коэффициентами сы я=о где иь — значение и(х, у) в узле /с.
Предполагая функцию и(х, у) дифференцируемой п + 1 раз, разложим иь по формуле Тейлора в окрестности узла О, Считая сетку квадратной (г = Ь), имеем Гл. 16. Уравнения в частных производных 310 Рис. 1б 2 Построим квадратную сетку Рв, т. е, выбираем шаг как по переменной х, так и по переменной у равным 6. В качестве соседних берем 8 узлов 8 (см.
рис. 16), т.е. )у" = 8. Имеем линейную комбинацию ~ су42ь = ь=о (Си)о. Разлагая иу по формуле Тейлора в окрестности узла О, будем иметь в 1и + УУ 62 + ~ххх 63 + 0(64) О /О УУ62 + УУУ 68 + 0(64) 2! 3) в /П + — **62 — — '*'68 + 0(64) У П/ + †"" 6 — †"" 68 + 0(6") и, = и(хо + 6, уо) = ив+ и',6 и2 = и(хо уо + 6) = ио + иУ6 из = и(хо — 6, Уо) = ио — и,' 6 и4 = и(хе, уо — 6) = ио — иу6 6.' иь — — и(хо + 6, уо + 6) = ио + и',6 + их 6 + — >(и,", + 2и,"У + и'„'У) + 2! 68 Учитываа, что 61 выРаа4аютсн чеРез су, имеем систсмУ УРавнений относительно сь, решив которую,мы получим приближение оператора Ьи а узле (гп, п): суиь = (2 и)о+ 0(6' 4). у=о Система уравнений (10) относительно сь может иметь несколько решений, однако достаточно взять одно из них.
Используя в случае необходимости достаточно большое число уалов 22', можно получить хорошее приближение Ьи в узле (тв, и). В задачах 16.118 и 16.119 построить соответствующие разностные операторы методом неопределенных коэффициентов. 16 118. Ьи = и", + 2и", + 5и,"„. Порядок приближения равен двум (шаблон указан на рис. 16). 3 3. Приближенные методы решения уравнений 311 г ив — — и(хо —, Ро + 6) = ио — и' 6+ идЬ+ —,(и" — 2и"„+ и'„'„) + Ьз Ьг иг = и(хо — ", уо — 6) = ио — и',Ь вЂ” и'„6 + †,(и,", + 2и,"„ + и'„'„)— з Лг ив = и(хо + 6, уо — Ь) = ио + и~ Ь вЂ” и'„6+ —, (и,", — 2и,"„+ и„"„) + Ьз Додставим эти выраженин в (Ьи)о..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
