3 часть (1081356), страница 27
Текст из файла (страница 27)
р Соотношение (11) нвляется основным для расчетов заданного участка цепи в операторной форме. Пример 12. Найти ток1(») в цепи, изображенной на рис, 8 при подключении постоянной Рис. 8 э.д.с, е(») = Е. Начальные условин нулевые. э Так как (е)» = Е Ф Е!р, то, используя соотношение (11), находим: (12) г(р)1(р) = Е(р, 3 3. Применения операционного исчисления 195 где операторное сопротивление Я(р) цспп,изображенной на рис.
8, имеет вид 1 г(р) = гь(р)+ г,(р) + Лн(р) = Ер+ — + Л, в силу нулевых начальных условий. Подставляя полученное выражение для Я(р) а (12), находим 1(р)— Е (13) Для отыскания оригинала г(1) следует рассмотреть три случая в зависимости от вида корней квадратного трехчлена в правой части выражения (13). Л Пусть — ) —,, тогда по формуле 10 таблицы изображений ЕС 4ьа ' находим УС 4ЕР Е ЬС 4Ьт Ла Пусть — = —,, тогда воспользуемся формулой 3 той же таблицы; ЕС 4Х,т' Е ж, $(1) = -ге-Ы.
1 Ле Наконец, если — ( —, то комбинируя формулы 8 и 3, находим: ЕС 4ьз' Е и~ Л 1 г(1)= е и'аб —,— — г, С Л' Ь 4Ет 1С 14.164. Найти ток г'(1) в ЛС-цепи (последовательно включены сопротивление Л и емкость С) при подключении постоянной э.д.с. е(1) = Е, если ис(0) = ио. 14.165. Найти ток г'(1) в ЛА-цепи (последовательно включены сопротивление Л и индуктивность Ь) при подключении постоянной э.д.с. е(1) = Е. 14.166. Найти ток г(1) в цепи, изобрая<енной на рис. 9, при подключении постоянной з.д.с. е(1) = Е, если ис(0) = ио.
Гл. 14. Операционное исчисление 196 Для изображенных на рис. 9-12 электрических цепей определить напряжение на указанном элементе цепи при подклгочении постоянной э.д.с. е(1) = Е (там, где необходимо, положить ис(0) = О): 14.167. Рис. 9. ил,(1) =? 14.168. Рис. 10. иь(1) =? 14.169. Рис. 11. ия,(1) =? 14.170. Рис.
12. ис(1) =? Рвс, 9 Рис. 10 Рис. 12 Рис, 11 При расчете электрических цепей, когда воздействие на схему представляет собой функции произвольного вила, полезно использовать интеграл Дюамеля (см. З 1, свойство 11 преобразования Лапласа).
Сначала определяется переходная характеристика цепи — закон изменения напряжения илн тока при подаче на вход схемы единичного воздействия е(1) = п(1). В атом случае, из соотношения (11) находим операторный 1 ток Ес(р) =, где Я(р) — операторное сопротивление всей цепи, рг(р) ' Если теперь на вход схемы подается произвольное е(1), то операторный ток Е(р) имеет вид Е(х) = — = рЕ~(р)~(р) (Е(р) г(р) 3 3. Применения операционного исчисления 197 где У(р) .=' е(1). Применяя формулу Дюамеля, окончательно нахоцилк 1(1) = е(0)г!(1) + е (т)1!(1 — т) !1т = о = е(0)1!(1) + ее(1 — т)1!(т) с(т = е(0)з!(1) + е' ч юм (14) о 1!(1) = — (1 — е " ) .
Л Для определения тона 1(1) воспользуемся формулой (14). Предварительно вычислим второе слагаемое: е'(1 — т)!, (т) дт = !— о ! еи!!- 1 (т1 — е л!') 4т = — еи! 1 (е !" — е (л+т)) Пт = П о о ! е *1! —— ! л! е-В! 4 — т(ватт) 1 1 а П ц Л о у!+— о у (е!! — е т!) . у. „+- Теперь окончательно нахоцим 1(1) = е(0)1!(1) + е'*1! — — — 1 — е "+ л, П/7, т„, ах =П Л'1 ~е!! — е т у! . о. и+ Е 14.171.
Найти ток в ЛЛ-цепи при включении синусоидальной з.д.с. е(1) = Ез(поЛ. Пример 13. Найти ток в ЛХ-цепи прн подключении з.д.с. е(1) = — еР! < Сначала опрецеляем переходную характеристику цепи, в данном случае ток г!(1), возникаюгций в г11.-цепи при поцключении э.д.с. е(1) = 0(1). Имеем (см. ответ к задаче 14.165) Гл, 14. Операционное исчисленнс 198 14.172. Найти ток в ЛС-цепи, в которую при нулевых началь- 1 ных условиях подключена з.д.с.
е(г) = Ие сл . 14.173. К электрическому контуру, изображенному на рис. 8, ,2- — "с1 1 подключена з.д.с. вида е(1) = Еб с и 1 — > —,~. Найти ток ' (,у,с 4Ь2/. в контуре (начальньее условия пулевые). В 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 1. У-преобразование и дискретное преобразование Лапласа. Х-преобразованием числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности (а„) называется функция комплексной переменной Г(л), опредсляемая при 1г) > ут' = (цп АД рядом Лорана Г(г) = ~~~ я=о 1 а„= —, / Г(е)ли сЬ 2яе / с (2) (С вЂ” контур, внутри которого лежат все особые точки функции Г(в) 4)). Пример 1. Восстановить (а„) по се Я-преобразованию Г(л) = 1 (л — а)(л — 6) ) Формула (2) является фактически формулоа обращения Я-вреобразоваиия, и аналитически продолженная в круг 1л( ( )т. Если последовательность (а„) удовлетворяет условию 1а„! < Луе " (ЛХ > О, а — постоянные), то функция Г(л) будет аналитической в области 1л! > е, т.е.
вне круга с центром в нулевой точке и радиусом Й = е . Формула (1) дает разложение Г(е) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (являющейся правильной точкой Г(г)), позтому для восстановления последовательности (а„) по се Я-преобразованию надо Г(л) любым способом разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; в частности, можно воспользоваться формулой для определения коэффициентов етого разложения (см. формулу (2) З 5 гл. 12) 4. Диск етное и еобразоааяие Лапласа и его применение 199 и! Имеем; 1 1 ( 1 1 (» — а)(» — Ь) а — Ь 1 » — а » — Ь / и Ьп ( -Ь).
~1 а Ь) 1-Ь~- 1 —— п=о » обозначают символам Г(п) .— ' Г'(д) (иногда пишут Р'(о) = ?1(у(п)]). Изображение Г'(д) — функция комплексной переменной с периодом 2л, при этом в основной полосе -л <?ш д > л она аналитична при Йе !? > а. Таким образом, все ее особые точки лежат в этой полосе слева от прямой Ие!? = а. Из формулы (3) вытекает следуя!шая формула обращения дискретного преобразования Лапласа: ,1(п) = —, / Г'(д)е"~г(д.
1 Г 2!г! / (4) 7 Пример 2. Г(п) = а", найти Г'(д). 1 со О Имеем и'"(д) = ~ ~апе "' = =; а потому ап 1 — ае о ео — а п=о е" еч . Полагал а = 1, получим 1п = и (п) .— ' ес — а е Свойства дискретного преобразования Лапласа (всюду ниже предпо- пагается Гу(п) — ' Ге(д)): 1. Линейность:, С!уз(п) . †' ~! С!р'с(д).
и ! йп 1 а — й 'Таким образом, ап = прин>1,ао=О с а — Ь Введем вместо последовательности (ап) решетчатую функцию у(п), полагая ап = Г(п). По-прежнему у(п) удовлетворяет условию ]з'(п)] < ,< Ме ", и примем дополнительно, что Г(п) = О при п < О; такие решетчатые функции будем называть дискретным оригинале»с ДисУ етное преобразование Палласа функции у(п) мы получим, если в -преобразовании положим» = егч! Ь *(4) = ~ Г(п)е-".
(3) п=о Связь между дискретным оригиналом Г(п) и его изображением Г'(д) 200 Гл. 14. Операционное исчисление 2. Формула смещения: е "у(п) .— ' Г*(д — а). 3. Формулы запаздывания и опережении: а) у(п — Й),— ' е "'Г'(д), а-1 б) ~(п + й), †' е"ч Г*(д) — ~ у(г)е .=о 4, Дифференцирование по параметру: Если у'(п, х) .— ' Г'(д, х), то ду(п, х) дГ*(д, х) дх ' дх 5. Дифференцирование и интегрирование изобра- жения: ~а а) п~у(п) .— ' ( — 1)" — Г'(д), л,а б) — .— ' (Г'(а) — ((О)) да (п ) 1). у'(п) п 6. Изображение конечных разностей оригинала: Ьау(п),— ' (еч — 1)~Г'(д) — еч ~ (е' — 1)~ ' 'Ь'/(О). 7. Изображение конечных сумм оригинала.
Если д(п) = 2 у'(я), то д(п) . †' . Г*(д) а=о 8. Умножение иэображений. Если ,()(п) в ул(п) = ~' 71(г)ут(п г) г=о (это — так называемая <свертка» оригиналов), то 2 4. Дискретное преобразование Далласа и его применение 201 Припадем т а блицу и зо бр а жени й осноаных решетчатых функций: Р И) еч еч — 1 а" еч — а е" » еч — е» (еч — 1)з еч(еч + 1) (еч — 1)з ~Р п(п-1 2! 2 » (еч 1)з п~ ~ п(п — 1)...(п — Й->1) — С„ (еч — 1)чч' еч яп,З сйп 33п ечч — 2еч соз 33 + 1 еч(еч — соз)3) соз 33п 10 ечч — 2еч сок (3 + 1 е' в1ч 33 511 33п 12 ~Ц т' — Сз» »( (еч — е")" е' а еч (з! — а = С„а й» И (еч — а)" е' ГС, п=О, 'с О, п~О 1, п 1 О, л(.) = ~ О', .
~ О' ечч — 2еч сЬ 33 + 1 еч(еч — сЬ (3) езч — 2еч с3ч(3+ 1 ч.~.з Гл. 14. Операционное исчисление 202 Пример 3. Найти изображение функции у'(и) = е "яп5п. а Применяем теорему смешения (свойство 2) и, используя формулу 9 таблицы изображений, находим еч япд е " яп Дп — ' К(д — о)— его "ч — 2еч соз Д + 1 ечч'" яп д егч 2ечев сов Д + егв ' В частности, ае' вш 13 а" япДп = е"~"'япДя .— с егч — 2аеч соз,9+ аг Найти изображения следующих решетчатых функций: 14.174. Дя) = еа" сов)Зи. 14.175. у(я) = а" соври.
14.176. Дя) = иге"Я. 14 177 Д„) „гов (и — 1)( ) 14 178* Дя) О'с 14.179*. у(п) =, = Сяе+,„. 14.180*". у (и) = —. Пример 4. Найти решетчатую функцию у'(и) по ее изображению еч Г*(д) = чг Первый способ. Разложим на простейшие лроби функцию Р" И) 1 еч (егч — 9) г ' положив е' = г: 1 1 / 1 1 ') 1 ч' 1 1 (вг 9)г Зб ) (г — 3)г (в+3)г / 108 \ з — 3 г+3 Таким образом; ег' 1 ( Зе' Зеч еч еч — + + (егч — 9)г 108 ч (еч — 3)г (еч + З)г еч 3 еч + 3 Но по формулам 3 и 13' таблицы изображений имеем: еч „ еч .— ' 3", — .— ' ( — 3)", еч — 3 еч+3 Зеч, „Зеч (еч — 3)г (еч + 3)г .— пЗ", — — я( — 3)".
34. Дискретное преобраэование эуаплага и его применение 203 Отсюда после элементарных преобразований находим: е" 3" з(п — 1)(1 — ( — 1)") (езч — 9)з 4 Второй способ. Переходим к У-преобразованию (полагая е" = з); е' , . Используя формулу обрашсния (2) и применяя (езд 9)з (зз 9)з ' * теорему о вычетах, получаем =выч ( з )з,'3 +выч ( т )з,' — 3 Но (зт — 9)з' = з сЬ (з+ З)з нгв — 1 2зв (и 1), Зо — 3 = Пш з з,(з + З)т (з + 3)з / 4 Аналогично, ) „(и — 1)3" ' выч ; — 3) = †( — 1)" ~(.2 — 9)з' ) 4 Суммируя зти вычеты, приходим к прежнему результату.
С Найти решетчатые функции по их изображениям 14.181. Р*(д) = ее 14.182. Р*(о) = езе + 1' ез" 14.183. Р*(Л) = е24 4 2еч + 2' в — 1 Пример 5. Найти сумму Я„= ~ соей,9. ь=о з Используем свойство 7 дискретного преобразования Лапласа: е'(еч — сов|3) Гл. 14. Операционное исчисление 204 поэтому Г'(!С) ев(ет — сов 13) 5„. ез — 1 (ет — 1)(езт — 2ет сов С3+ 1) Разлагая на простейшие множители дробь е' — сов 13 (ет — 1)(еэт — 2ез сов)3+ 1) и добавляя множитель е", находим ет(ет — сов)3) 1 ( ет ет(е' — 2 созС3 — 1)'! (ев — 1)(еэт — 2ев сов 3 + 1) 2 !,ев — 1 еэт — 2ев сов,9 + 1 ) еэв — 2ев сов!3+ 1 еэв — 2ез сов 13+ 1 е'ч — 2ет сов(3+ 1 1 + сов)3 .
†' соз(3и — , яп 0и. япД Таким образом, $и = -(!3(и) — соз;3и + с!8 — в!о Суп) = 1 13 . 2 2 ;3, 2и — 1 з!п — + яп )3 2вш— 2 и,З и — 1 яп — сов — С3 2 2 (и>1). с яп— 2 Найти следующие суммы: и! () и 1 14.184. ~~! —, = ~~У Сь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
