3 часть (1081356), страница 25
Текст из файла (страница 25)
— соэ —. 14.89. эш Р Р Р 1 р+1 1 1 2 14.90. — 1п . 14.91. — е4~г . 2р р — 1 р 1 14.92". — е р — 1 Пользуясь второй теоремой разложения или с помощью разложения на элементарные дроби, найти оригиналы для заданных функций: 14.93. Р(р) = р р+2 рг + 4р + 5' (р + 1)(р — 2)(рг + 4) . 14.94. г(р) = 14.95. Г(р) = —, Гдв ФР) = (Р— Р1)(Р— Рг) .
(Р Рэ) '4 Я'(Р) Я(р) ' все числа рь попарно различны. 14.96. г(Р) = 2. 14.97. Р(Р) = 1 1 (Р4 — 1)2 (,г + 1)2(рг 4) рз рэ 14.98. Г(р) = 4 . 14.99. Е(р) = —. (,4 1)2 ' ',6 рз 14.100. Р(Р) = г з' 14.101. Р(Р) = (Рг+ 1)з * Рг 4Р+ 3 14.102. Г(р) = г 2 2. 14.103. Е(р) = 4 р2(р2 1)2 ' ' р4 5Р2 + 14.104. Р(р) = 4 4 (Р4 — 1)(Р4 + 4)' З 3. Применения операционного исчисления 179 'П'3. Применения операционного исчисления 1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами.
Для того чтобы найти решение х()) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (и) + (и — ) + + Х ((() (1) (где у(() — - оригинал), удовлетворяющее начальным условиям х(0) = хо, т.'(О) =,то, ..., х(и ')(О) = хо(и , (2) следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т.е. от уравнения (1) с условиями (2) перейти к операторному уравнению (р" + а,ри + +пи)Л"(р) + Я(р) = Г(р), где Х(р) — изображение искомого решения, Г(р) — нзображенис функдии у((), а (,)(р) — некоторый многочлен, коэффициенты которого за(и — 1) висят от начальных данных хо, хо, ..., хо и который тождественно равен нулю, если хо — — хо = ° = хо — — О.
Решив операторное р (и-1) уравнение относительно Л (р): Г(р) Фр) — Е(р) (Ь(р) = ри+он и '+ +а„— характеристический многочлен данного уравнения) и найдя оригинал для Х(р), мы получим искомое решение х((). Если считаю хо, хо, ..., хо произвольными постоянными, то (и-1) найденное решение будет общим решением уравнения (1). Совершенно аналогично решаются и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо одного операторного уравнения мы получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изобрая)ений искомых функций. Пример 1. Найти общее решение уравнения х" + 2х'+ х = (е а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям хо =1,.со = 2.
иу Пусть х((),=' Х(р), тогда х'(() и рХ(р) — хо, х" (~) ы рэ Цр) — рхо — хо 1 По таблице изображений находим (е ',=' ,, и операторное урав(р+ 1)" пение имеет вид 1 (р + 2Р+ 1)Х(Р) — (Р+ 2)хо — хо = ' = (р.1) Гл, 14. Операционное исчисление 180 Отсюда находим ( = 1, 1 Х(р) хо + хо + = (р + 1)з (р + 1)з о ( + 1)4 . Для отыскания оригинала в данном случае проще всего представить Х (р) в следующем виде: Хр)= хо+ х + Х(р) = з хо+ ( + )зхо+ ~ +1)4 = 1 хо+хо хо (р + 1)' (р + 1)' » + 1' Пользуясь таблицей изображений, находим общее решение 13 х(С) = — Сзе +(хо+хо)Се +хое 3! Обозначив хо = Сг, хо + хо = Сг, его можно записать в виде 1зх(С) = -Сзе г + (Сг + Сзг)е 3 Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, х(С) = -Сзе ' + (1+ ЗС)е '.
1 з -г 3 Пример 2. Проинтегрировать уравнение х" +х = г"(С) при нулевых начальных условиях, если тг при 0<С< —, 2' ПС) = З Запишем С(С) с помощью единичной функции Хевисайда: з. 2 тг 2 у(С) = (1 — тС (С вЂ” — )) — С вЂ” (тС (С вЂ” — ) — тС(С вЂ” и)) — (С вЂ” л) = = — (С вЂ” 2тС (С вЂ” †) (С вЂ” †) + тС(С вЂ” тг)(С вЂ” и)) . Я' 2 2 2 — С 2 — (л — С) 0 тг при — <С<я, 2 при С) л. '3 3. Применения операционного исчисления 181 И) ы ~(р) =— Так как начальные условия нулевые, то, полагая х(г) =' Х(р), приходим к операторному уравнению 21 — 2е те+ е ( 2+ЦХ( ) 7Г рт из которого после несложных преобразований находим 2 ., /1 1 Х(р) = — (1 — 2е та+ е '") ~ —— ~р2 рт+1г' 1 1 Так как — —,=' 1-а1п Г, то, снова применяя теорему запаздывания, р2 р2+ находим х(1) = — ((1 — а1пс) — 2г1 (1 — — )) ((1 — — ) — з1п (1 )) + + ту(1 — х)((Й вЂ” и) — а1п (1 — и) ), т.е.
х(1) = 1) л. ~> х'+у = е', х+у'=е ' при начальных условиях х(0) = хо, у(0) = уо. О Пусть хЯ и Х(р), у(С),=' У(р), тогда х'(1) ы рХ(р) — хо, у'(1) .=' р1'(р) — уо, и получаем операторную систему Пользуясь теоремой запаздывания, отсюда находим 2 — (1 — ьбп 1) при 2 -( — гйп1 — 2соа1 — 1+ х) при 4 — — сов с лри Пример 3.
Найти решение системы 1 рХ(р) — хо + 1'(р) = —, у-1' 1 р)'(р) — уо+ Х(р) =— р+ 1 0<1<-, 2' и 2 — ( 1 < 7Г, Гл. 14. Операционное исчисление 182 Решая систему, найдем г+1 ~(р) = хо — —.уо+ ,г 1 г 1 (рг' 1)г р 1 — то 2р 1 (р) = уо + ,г 1 г 1 (,г цг и, следовательно, х(~) = хо сЬà — уовЬГ+ ГсЬс, У(С) = УосЬС+ (1 — хо)вЬс — свЬЬ > Найти общие решения дифференциальных уравнений: 14.105. х" + 9х = сов 31. 14.106. х" — 4х'+ 4х = егс. 14.107. х" +2х' =1е г'.
14.108. х" +х' — 2х = е'. 14.109. хл+ х' = е 'яп1. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: 14.110. хьл + х = 0; х(0) = О, х'(О) = — 1, хл(0) = 2. 14.111. хо+ 2х'+х = е ', х(0) = 1, х'(О) = О. 14.112. х" +Зх' = е зс; х(0) = О, х'(О) = — 1 14.113. х" — 2х'+2х = яви; х(0) = О, х'(0) = 1. 14.114.
х" + 4х = яп21; х(0) = 1, х'(О) = — 2. 14.115. ха — 9х = вЬ1; х(0) = -1, х'(0) = 3. 14.116. хьг — хл = е', х(0) = 1, х'(0) = х"(О) = О. 14.117. х~~ — х = вЬ К; х(0) = х'(0) = х" (0) = О, хл'(0) = 1. 14.118. хо'+ Зхо+ Зх'+ х = 1е ~; х(0) = х'(0) = х" (0) = О. Найти при нулевых начальных условиях решения следующих дифференциальных уравнений: 14.119.
х'+ х = у'(~), где у'(~) = ( > Г 1 при 0<1<2, 14.120. хо+ х = У"(1), где У" (1) = ( О п„и ~ > -с 14.121. х" — х' = у (1), где у'(1) = 1 при 0<1<1, 14.122. хо+ х = Я), где у(т) = — 1 при 1 < 1 < 2, 0 при 1> 2. 14.123**. С помощью интеграла Дюамеля доказать сле- дующее утверждение: если хг(1) — решение уравнения х("г + + а1х~" Цг + + а„х = 1 при нулевых начальных условиях з 3. Применения операционного исчисления 183 (х(0) = х'(0) = = х~п 0(0) = 0), то решением уравнения х(п) + а1х(" О + . + а„х = у(г) при тех же начальных условиях является функция х(1) = х1(т)~(1 — т) с1т = х1(1)ДО) + у'(т)х1(1 — т) с)т Пользуясь результатом задачи 14.123, найти ших дифференциальных уравнений: 14.124.
х' — х = —. 14.125. хп — х = ес-$-3 1 14.126. хн — х' = —. 14.127. хи+ х = 1+с' 2 14.128. хи+ х = е ~ решения следую- 1 + е~ 1 + сов1 Найти общие решения систем дифференциальных уравнений 14.129. хн + д' = 1, 14.130. хн + д' = зЫ вЂ” з1п1, дн — х' = О. дн + х' = сЬ1 — сов 1. Найти решения систем дифференциальных уравнений прн за- данных начальных условиях. 14131. '+д= О, х(О) =, (О) =-1. 14.132. 2хн+ х — д' = — Зэ1п1, х+ д' = — з1п1; х(0) = О, х'(0) = 1, д(0) = О. 14.133. хп — д' = О, х — дп = 2зш х(0) = — 1, х'(0) = д(0) = д'(0) = 1. 14.134. хп — д' = О, х' — дн = 2соз1; х(0) = д'(0) = О, х'(0) = д(0) = 2. 14.135.
хн — д' = е', х'+дп — д=О; х(0) = 1, д(0) = — 1, х'(0) = д'(0) = О. (у (г) — произвольный оригинал). Замечание. Результат задачи 14.123 позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения. Гл. 14. Операционное исчисление 184 сов(г — т)х(т) г1т = 1 соей о ° з Пусть х(г) ы Х(р); так как ,г гсозг = совГ ы р рт+1' сов(à — т)х(т) дт,=' —, , рх(р) р'+1 о (по теореме свертывания), то приходим к операторному уравнению рх(р) »'+1 (рт+ 1)е ' откуда Х( )— рт — 1 2р 1 р(р' + 1) р' + 1 Таким образом, х(Г) = 2 сов г — 1. Г> 14.136.
хо+ у' = 2згпг; до+ з' = 2 соз1, зн — ж = 0; ж(0) = з(0) = р'(0) = О, х'(0) = р(0) = — 1, з'(0) = 1. Проинтегрировать при нулевых начальных условинх системы дифференциальных уравнений: 14.137. жн — р' = у'г(1), г 1 при О < 1 <,лгде уг(1) = ~ р +х=Я1) 0 при 1>.л, при 0 <1< гг/2, )т(1) = л — 1 при и/2 <1< и, 0 при 1 > л. 14.138. хо — д = О, ( 1 при 0<1< л, где г"(1) = ~ — 1 при х < 1 < 2л, 0 при 1>2я. 2.
Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Используя теорему свертывания, можно легко найти изобра- жения решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода (а в простейших случаях по найденному изображению найти и само решс- ние) в том случае, когда ядром в соответствуюшем уравнении служит функция вида К(à — т), где К(Г) — оригинал. Этот метод применим и к интегро-дифференциальным уравнениям с таким вге ядром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
