3 часть (1081356), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пример 4. Найти решение уравнения Вольтерра 1-го рода а 3. Применения операционного ис сисления 135 Пример 5. Найти решение уравнения х + х = япС+ яп(С вЂ” т)х(т) сСт о цри начальных условиях х(0) = О, х'(О) = 1. 0 Полагая х(С) Ф Х(р), имеем 1 яп с;-' рв+1' х" (С),=' р~Х(р) — 1, яп (с — т)х(т) сст,=' , Л'(р) ,г+1' о Получаем операторное уравнение (р +1)Х(р) — 1= — + 2 1 Х(р) рт + 1 ра + 1' ((р~ + 1) — 1) Л (р) = р~ + 2. х(0) = х'(О) = 1. 14.142. аЬ(1 — т)х(т) гст = ха — х'+ 11еЬ1; 2 о х'(0) = 0. х(0) = 1, Отсюда находим х(р) = 1/р и х(с) = с. с> Решить следующие интегральные и интегро-дифференциальные уравнения: 14.139.
сЬ(1 — т)х(т) Йт = сЬ1 — соа1. о 14.140. 3 а!с (1 — т)х(т) с(т = х(1) — е о с 14.141. ес ' яп (1 — т) х(т) сст = х" — хс + е'(1 — соа 1); о Гл. 14. Операционное исчисление 186 Проинтегрировать уравнения Абеля: 14.143. / = л. Г х(т) Йт .l ~/Г т о 14.144. / Г х(т) с)т = 1Р, 0 < ст < 1, ~3 ) — 1.
l(1- ) о 3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных. Применение операционных методов для интегрирования линейных уравнений в частных производных рассмотрим на примере. П р и м е р 6. Найти решение уравнения дтпл — + а = а1пхсозу, дх ду удовлетворяюшее условиям х(0, у) = зшу, х(х, 0) = 0 (х е [О, +ос), у Е [О, +ос)). < Переходим к операторному уравнению относительно аргумента у, полагая а(х, у) ы Я(х, Р). Отсюда —,='РЯ(х, Р) — а(х, 0) = РЛ(х, р), дг ду ' д~х д = — (Рг(, ~)) = ~г.'(*, Р) дудх ' дх (по теореме о дифференцировании операторных соотношений по параметру). Получаем операторное уравнение; Рсйпх / РЕ,'(х, Р) + Я(х, Р) = [ так как сову,= Рт+ 1 а+1у Интегрируя полученное дифференциальное уравнение по аргументу х, на хОдим Я(х, р) = С (р)е ° + а1пх —,, созх.
Р . Р (Рт + 1)г ( з + 1 е В силу начального условия х(х, 0) = 0 и теоремы о связи начального значения оригинала и конечного значения изображения мы должны иметь 1цп РЛ(х, Р) = х(х, 0) = О, откуда находим 1пп РС1(р) = О, причем е->00 е->Об если С1(р) ее д(у), то у(0) = 0 (в силу той же теоремы). Запишем теперь Я(х, Р) в следуюшем виде: Е(х~ Р) РС1(Р) е ~ + т т 51пх — 2 т 1 ~ соах. Р 1 (Р' + 1) + (Р' — 1) 3 3.
Применения операционного исчисления 187 Но так как рС) (р);-' )))' (у), (см. решение примера 4 из э 2), 1 — е Э =' Уо(2т/хуу) р = ) соч1 (рэ + 1)г р 1), .— 2У У, то находим: х(х, У) — | )Р (1)уо(2т/х(у — 1)) Щ+ о 1 + -у в)п у в) и х — — (ейп у + у сов у) сов х = 2 2 а 1 1 )))'(1)1в(2 т/х(у — С)) )М вЂ” — в1п у сов х — -у сов (х + у) 2 2 в 1, 1 1, 1 В(0, у) = ( ))/(1) Й вЂ” — яп у — -у сову = )р(у) — — а(п у — -у сову = сйп у 2 2 2 2 е 3, 1 (по начальным условиям); поэтому )))(у) = — в(ау + -усову, ~о'(у) 1 2 2 = 2 сов у — -у вш у, и окончательно находим 2 е 1 1 — — в1пусовх — — усов(х+ у). )> 2 2 Проинтегрировать следуюшие линейные уравнения в частных производных: да дв 14.145.
— — — + в = сов х; х(0, у) = у, х,(0, у) = О дхт ду дтв дх 14.146. — — — — ива = Дх); в(0, у) = — у, в'(О, у) = О. ' дхг ду (первое слагаемое получено по теореме свертывания оригиналов). Так как /о(0) = 1, то, полагая х = О, находим: Гл. 14. Операционное исчисление 188 14.147*'. Уравнения длинной линии в случае отсутствия потерь (линейное сопротивление Л и утечка С равны нулю) имеют вид: ди(х, !) д((х, 1) дх дг (3) д!(х, !) ди(х, !) дх д! где и(х, $) — напряжение, 1(х, !) — ток в точках линии в момент времени 1, Ь вЂ” индуктивность и С вЂ” емкость, отнесенные к единице длины. Найти решения уравнений (3), удовлетворяющие начальным условиям и(х, 0) = 1(х, 0) = 0 (4) и граничному условию и(0, Х) = <у(1) = Ез!по<!.
14.148. В уравнениях длинной линии ди(х, 1) дб(х, г) (5) д<(х, !) ди(х, 1) в случае линии без искажений, величины Л, Ь, С и С связаны Л С соотношениями — = — = и. Найти решения уравнений (5), Ь С удовлетворяющие начальным условиям (4) и граничному условию и(0, 1) = <у(!) = Е(г!(!) — »!(! — т)), т > О. 4. Вычисление несобственных интегралов.
Один из способов вычисления несобственных интегралов вида <( Д!) г!! основан на примео ненни теоремы операционного исчисления о свяан «конечного» значения оригинала н <начального» значения изображения: если у(Г) и Ф(!) и существует конечный предел !пп о<(!) = !о(+со), то !пп <р(!) = »-<-<ОО < — <-»о« = о<(+ос) = !!щ рФ(р) (см. задачу 14.15). <о Из этой теоремы и соотношения 3. Применения операционного исчисления 189 +00 при условии сходимости интеграла у(1) Й следует соотношение о у(1) о1 = г (0). 1 о (6) -ь Оо У а1п1 П р и м е р 7. Вычислить интеграл уу — й.
о 1 а Так как 1,=', то по теореме интегрирования изображения имеем рэ + 1 э(пг, у с(д х = — — агссб р, / ~э+1 Р поэтому по формуле (1) находим э!ос .г — ~Й= —. > 2 а Пусть функции у(1, и) и Я1) = ~р(и)Д1, и)Ни о Ф(1) ы Ф(р) = ~р(и)г'(р, и) ди. а Поэтому, если интеграл, определяюший Ф(р), можно вычислить, то для отыскания интеграла у(и)у(1, и) ои достаточно найти оригинал для о Ф(р), т.е.
(7) являются оригиналами и у(1, и) Ф г'(р, и). Тогда, применяя теорему об интегрировании по параметру, будем иметь Гл. 14. Операционное исчисление 190 Г соз1ггди П р и м е р 8. Вычислить интеграл у гг +и о 2 ог Имеем созуи =' „. Поэтому (по формуле (7)) рг+иг Еоо Ево соз 1и ди /' рди от+ цг / (рг+ из)(сгг+ цг) о о р2 ггг / ( сгг + ц2 рг + ц2 о 1 Но — =' е '. Отсюда о+ сг сов 1и Йи г = — е". 2ь сгг+ иг 2о Еще один способ вычисления несобственных интегралов при помощи операционного исчисления дает Т е о р е и а П а р с е в а л я. Если Г1 (1) =' Е1 (р), Гг (1) ы Рг (р) и фуиииигг с1(р) и гг(р) аполитичны при Пер > О, то Гг(и)рг(и) ди = Рг(п)Г2(о) Й~. 1 о о (8) Еоо Г е "з1пДгг Пример 9.
Вычислить ~ дц, и > О. и ог Имеем е 'а1п)уь',=' 'Р гу(1) =' —. Полагая Гг (и) (,ч, )г+ чг' = с о" з1п ~3и, Рг(и) = —, имеем Е1(о) =,, Гг(п) = гу(п). ц (и+ *)2+Р' ) если лля одной из функций г1(р) или гг(р) условие внвлитичности выполнено лишь лри Ве р > О, то сходимость одного из интегралов может нс иметь места.
При этом иэ сходимости одного иэ этих иигпегралоо следует схода- мость другого 2). 191 з 3. Применения операционного исчисления Цозтому по формуле (8) , п()и 7 (о+„)2+ нг / (о+о)г ч ~г о о е " гбп Зи Йи Г"',. о (0(и) = 1, так как о > О). Но о+а~ я а и агсгб = — — агсгб — = агсгб — .
о | д (о + о)2 + ~32 о Таким образом, е "з!п,уи г!и,З |- =- ° ° =агсГ8 —, гг > О. > и гг о В ычислить несобственные интегралы, используя формулу (б): г е ас е-д'соа71 14.149. / Ж, а, )3 > О. о 14.150*. !ие '!п1й, сг > О, р > — 1. о Вычислить несобственные интегралы, используя формулу (7): +ао +00 14.151... 14.152.
е го Ии. о п2 .! сг2 а Вычислить несобственные интегралы, используя теорему Парсеваля (формула (8)): г е "" — е О" 14.153. / г(и, сг,,9 > О. ~(и о и~/и о 2 2 г -ах -дк 14.155". / г(х, сг, Д > О. гс2 о Гл. 14. Операционное исчисление 192 / е "»у(г) г(1 ,/ 1хе ' о (9) З По условню Г(р)= / е»»~~(1) г(С Имеем: = ~ (х1) е (х1) е и 1~с ' а »»е В Поэтому »*»»' ~ ' »»'»~' = ~ »е»у'»ы»".-"'а = У 1 хе о о »»ел С»Э +СЮ СО =т.»н»" ) .-"'»р»а= т»ы»"г»». с.
ч=в о п=ь Используя формулу (9), найти суммы следующих числовых рядов: СО ОО 2 14.156*** ~» г . 14.157**. ~~» агс15— 14.158*. 2п+ 1 *. Е (пг+ 1)(п'+2п+2)' 00 3 14.159*. ~ агс1ц па+ Зп+ 1 Пример 11. Пусть у(г),=' Г(р) (область аналитичности Е(р); Пер ) О). Пусть, кроме того, Ф(1, х) — производящая функция бес. конечной последовательности функций р„(х), т.
е. 5. Суммирование рядов. Методы операционного исчисления могут быть использованы при суммировании числовых и функциональных рядов. Пример 10. Пусть у(1) ы г(р) (область аналитичности Г(р): Пер > я). Доказать, что сумма 5 ряца ~~» (х1)" Г(п) может быть найдена по формуле 193 3 3. Применения операционного исчисления доказать, что сумма Я(х) сходящегося на (а, Ь] функционального ряда Г(п)1оо(х) может быть найдена по фоРмУле 5(х) = Ф(е ~, х)Я)»11.
о (10) с1 Имеем: +со .~-со о »( ' *уэ»с'= 1»э»о,и.ь» о о о=о ' -»-со = с, с-ь» 1' "'/Р» о = с,о (*»г(» = » (е» ° =о о =о Используя формулу (10), с помощью подходящей производящей функции просуммировать следующие ряды: Х2"+1 14.160".,'» ( — 1)" я=о 1, 3 (2 Ц зов! 2 4...2п 2»»+1 о=1 14.162**. ~~~», х Е (О, чг). т» я=1 14.163'. ~~» ( — 1)", х Е (О, чг).
6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей. Методы операционного исчисления широко используются при расчетах процессов, протекающих в электрических цепях. Пусть 1(1) и и(1) — соответственно ток и напряжение в цепи. Применение операторного метода основано на справедливости законов Кирхгофа для операторных тока 1(р),=' »(1) и напряжения 0»(р) ы и(1). На основании закона Ома для основных элементов электрической цепи могут быть записаны следующие соотношения: 194 Гл. 14. Операционное исчисление для сопротивления В, иь(») = Л вЂ”, »»»(») »»» для инцуктивности Ь и 1» ис(») = — / 1(т) йт+ ис(0) с/ о для емкости С.
Переходя к изображенинм, отсюца получаем Ся»р) = Ну(р), Уь(р) = рИ(р) — Ег(0), 1 1 с»с(р) = — » 1р) + -ис(0). рС р Использун закон Ома в операторной форме, для произвольного участка цепи можем записать С(р) = г»р)1(р), (11) гце Я»р) — операторное сопротивление указанного участка цепи. Длн участков с сопротивлением Н, инцуктивностью Ь или емкостью С при нулевых начальных условиях операторное сопротивление имеет, соответственно, виц: 1 г„(р) =Н, г,»р) =бр, Х »р) = —. Ср' При ненулевых начальных условиях к имеющимся в цепи источникам э.ц.с. добавляютсн цополнительные источники. Величины э.ц.с. дополнительных источников определяются запасами энергии в индуктивности и емкости и равны в операторном виде, соответственно, Ь»(0) и 1 — -ис(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
