3 часть (1081356), страница 14
Текст из файла (страница 14)
~ — 12 350 ~~), 1 яихи 1,4я(з+ 1),~ и=1 и=1 12.и1. у ( — ) и=1 иья — 4х 2 371 соз во — 2 2)2 ' 2 12.370. взел, зо = оо. Найти все разложения указанных функций в ряды Лорана по степеням г — го и установить области сходимости полученных разложений: 1 1 12.352. , зо = 1. 12.353*, зо = оо. (~ 1) г(г — 1) 1 1 12 354 хо=2 12 355,, хо= — 3. (х — 2)(г + 3)' (г — 2)(г + 3)' 1 я+1 12.356., го = оо. 12.357. з, хо = 1. зз — 4' юз — Зз + 2 г + 1 12.358. з 2, зо = 2. 12.359".
з ~ га = ж. юз — Зх + 2' зз — 2з + 1 4 12360 зо = — 1 12361 з, зо = сю. + 1)з ' ' ( + 1)з 12 362 ео =1. 12.363, зо = оо. гз+1' 1 12.364*., зо = г. 12.365*..., хо = оо. (з + 1) (х + 1) соз з соз г 12.366. —., зо — — О. 12.367. —,, хо = оо. 3 3 1 г =- 12.368. з1п, зо = 2 12.369. з е, го = 0 х — 2' 98 Гл. 12. Ряды и нх применение а+1 12.373.
, во=( гз+ 2г — 8 !пп Да)=а~ос; ь — > 'о 1 полюсок порядка гп > 1, если для функции д(в) = точка го Па) является нулем порядка гп, т,е. д(г) имеет вид д(з) = (г — го)'"д(г). д(ло) ф. О (очевидно, что если го — полюс, то !пп у(г) = ос); ?->ьо суп!ественио особой, если !пп Дз) не существует. 2->ьа Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удобнее 1 проводить путем замены г = —, с помощью которой бесконечно удаленц' ная точка з = оо переходит в точку й = О. Пример 3.
Найти все особые точки функции У()= 1 е ° +1 и определить их характер. 1 12.372. —, го = 1. 2 (зэ + 4)(з' + 1)' 1 12.375. э э зо = О. 12.376. Найти три первых члена разлогдения функции Дз) = 1 = з)п в ряд Лорана в окрестности точки зо = со. Какова 1 — г область сходимости этого ряда? 2. Характер изолированных особых точек. Точка го называется правильной точкой для аналитической в области Р функции у'(г), если существует степенной ряд у с„(зе)(а — го)" с радиусом сходимости ь=е г(зе) > О такой, что в общей части круга сходимости (з — ге( < г(зо) и области Р сумма этого ряда ~р„(г) совпадает с у(г).
Точки, не являющиеся правильными, называются особыми. Точка го называется изолированной особой точкой функции у( ), если Дз) — однозначная аналитическая функция в кольце О < )а — го( < < В, а го — особая точка. Аналогично, точка го = оо называется изолированной особой точкой функции у'(г), если ((г) — однозначная аналитическая функция в кольце т < )г( < оо и з = со — особая точка. Изолированная особая точка го функции г'(г) называется: устранимой особой точкой, если существует конечный предел ~5, Ряды „7о1юна ,З Особыми то пюми пвлянлса точка: = О и то пщ, в которых жьчмскатсль обряшаетгя в нуль. Имссм от+ 1 = О и с: = -1 = ст™з"', т.с.
с' +1 = О, ссли — == !й — (2гп + 1)хг', гп б К, причсм чти то'и и явлаклсл нулями 1-го порядка. 1 Следовательно, в точках л„, = , щ Е У, функции 7(х) имсст (2гп + 1)хг' полюсы 1-го порндка. Точка л = О ис авлнстсп изолированной особой точкой, так как она пале тся прсдслом полкюов, ибо !пп =„, = О, ~> П! — > О: 12.377'. Доказатгч что отсутствиг в разложспии (1) главной части, т.с, равенство пулю всех коаффициснтов с„с отрицательными поморами (и = — 1, — 2, ...
), явлпстся необходимым и доСтаточным условием того. что точка хо пвлпстсн устранимой особой точкой функции 7(х). 12.378*. Доказать, что наличие в главной части рачложсния *,(1) не болсс ис > 1 членов, причсм с,„, ф О, а с „= 0 длп и > г~ т + 1, есть нсобходимос и достаточное условие того, что точка '~о авлпстсп полкзсом порпдка ги для функции 7(г). 12.379*. Докачатзо что если хо — гущсствснно особая точка функции 7'(х), то сущсствует послсдоватсльность точск (вп), х!щ ап = хо, такая, что 1пп )'(гк) = сс. 'Ф ФОО ч — ~во 12.380'. Опираясь на результат задачи 12.379, доказать, что если хо — сущсственно особаа точка функции 7'(х), то для любого комплексного числа А ф оо существует послсдоватсльность точек )(дв(А)), 1ип гп(А) = ао, такая, что !ип 7'(яп(А)) = А.
и -> Оо 3 1 — ~ Оо 12.381. Установить области сходимости правильной и главной Мастей разложении Дорона (3) в окрестности бссконсчно удалснной Мочки. Указать все конечные особые точки заданных нижс функпий и Впредслить их характср: 12.382.... 12.383. 1 '(з+,)з ' ' ( +ц( цз' 1 Е 12.384. 12.385. В1п Л ' ( + Ц( 2)з(а+1)з' 12.386.... 12.387.
ат ч!и (л — 1) ' ("+ 1)з(г' — 1) ' 12 388 ( 4 12.389..1 в!и 2а 18 а — 1 Гл. 12. Ряды и их применение 100 1 12.390. 182 з 12.391. е*-з . 12.394. г — 1 12.39т. 1 е' — 3 1 12.393. Ц вЂ”. х — 1 1 12.392. сов —. а+ 21 1 — сов з 12.395. в)па 12.396. —. зв Длн заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной): д2 Ззв — бз + 2 12'398' 2 ' 12'399 5 — 2з2 з2+ г — 4 12.401. 1 — я+ 2г2. 12.402. е '.
12.404. е + 2з2 — 5. 12.405. е*т. 12.407. е 2'+ Ззз — а+ 8. 12.400. ' 1 — Зз4' 12.403. сов з. 1 12.406. ез-~ . 1 выч (у(я); яо) = с г = — у(п) Йп, 2пг ~ч- о~=я Если го — — со — изолированная особая точка функции у(г), то 1 / выч(у(я); со) = — / у(П) щ 2пи' / 36.
Вычеты и их применение 1. Вычет функции и его вычисление. Если функция у (я) аналитична в некоторой окрестности точки го, за исключением, может быть, самой точки яо, то вычетлом функции у(г) относительно точки яо, обозначаемым гев [у(я); го), или выч (у(г); зо], называется число, равное значению 1 интеграла — / ((ц) ф, где С вЂ” некоторый простой замкнутый кон2пг,/ с тур, лежащий в области аналитичности у(г) и содержащий внутри себя только одну особую точку го.
В качестве С удобно брать окружность ( — го) = р достаточно малого радиуса р. Вычст функции совпадает с коэффициентом с 1 разложения у(г) в ряд Лорана по степеням я — яо, т.е. Э 6. Вычеты и нх применение 101 где Сн = (4 ]г1) = Л], В достаточно велико и обход контУРа — по часовой стрелке. Заметим, что если у(а) = ~~~ с„а", т <]а~ <+ос, св = —, / — дО, и =О, ~1, ..., 1 У ПЮ) 2л1 / Оп+г ~Чаев> то выч [Да); оо] = — с и Если ао — полюс 1-го порядка функции у[а), то выл [у[а); ао] = Пгп (а — ао)у[а), причем если у(г) представима в виде да) = —, тле Ф(ао) Ф 0> уэ(ао) = М) И)' = О, ф'(ао) ф О, то выч [у(г); ао] = —. ~Р(ао) Ф'(ао) Если «о — полюс порядка гп > 2 функции у'(а), то и'"-'И -")-и )) выч [у[а); го] =, 1пп е$' Пример 1.
Найти выч; 31 . 0 Так как точка ао — — 31 является полюсом 1-го порядка, то е" е" е~ 3' выч —; Зг~ = )пп (а — 31), . — —,. с [аэ+ 9' ~ з' (а+ 31)(а — Зз) 61 беэ соа 2а Пример 2. Найти выч; 1 . чЭ Точка ао — — 1 является полюсом 3-го прядка, поэтому ~ соа2а ) 1, ~Р / э соа2э '1 выч ~; 1~ = — 1нп — (а — 1)э ( = ] (а — 1)э ' ~ 2! -+~ Ыаэ [, (а — 1)э ( 1 = — 1пп ( — 2эсоа2а) = — 2соа2. ~> 2 -) Гл. 12.
Ряды и их прихюиснис 102 1 Л ример 3. Найти выч (е*-~; 2~. 2 Точка хс —— 2 пвлпстсн сУщсствснно особой, позтомУ длп нахождениа вычста найдем коэффициент с Г раалол ения с*-' в рлд лорана по Гтспснпм я — 2. Так как .л 3 1/ 3 е:-- "= 1 + — + — (х — +..., О < ! — 2~ < +со, х — 2 2! ~,с — 2/ то с 1 — — 3. Слсдозатсльно, выч (е:-~; 2~ = 3. с Найти вычеты указанных нижс функций относительно каждого из ес полюсов, отличных от оо: з +1 2 12.408.— 12.409. и — 2 ( '+1)' 2п 1 12.410.
и ' и Е Гч. 12.411. (П 1)п' ' ' ' ПЗ( 2+4)2 12'412' г ' 12'413 1 1 в(1 с2х)' и!п я —— 2 зГп2п зГп 22 12.414... 12.415. ( 2) 12.416. г г . 12.417. Ц л. 12.418. с18г а. 12.419. 2(вг + 9)' ' ' ' ' ' ' ' аз 2 1 12.420., 12.421. гг(п — 1) ' з(1 — зг)' 12.422.. 12.423. 1 г з ' ' ( 2)з Найти вычеты функций относительно точки ао = О: Г 1 1 12.424. с .
12.425. соз —. 12.426. зш Найти вычсты функций относитсльно точки ло = оо: 1 1 ЗГП П 12.427. зш —. 12.428., г . 12.429*. цг( г+ц' ' ' гг+9' ал + 2 2 7Г 2 12.430. з . 12.431. з соз~ —. 12.432. зш —. з х — 1 з З 6. Вычеты я их применение 103 2. Теорема о вычетах и их применение и вычислению ионтурных интегралов.
Первая теорема о вычетах. Если ууункиил Дг) аналитична в обласгпи Б, за исключением изолированных особых гяочск гы гз, ..., гк, лежащих в атой области., то длл любого простого замкнутого контура С С В, охватывающего точки гы гю ..., гк, Дг1) сй1 = 2к1 ~~г выч [Дг); гь). сь | с=1 Вторая теорема о вычетах. Если Дг) аналитична во всей комплексной плоскосгаи, за исключением изолированных особых точегсгыгз,...,гк г игл =ос,то вычла); гь) = О.
ыы Г ез Пример 4. Вычислить интеграл~ — бг, где С = Ц [г[ = 3). ге+4 с~- 0 Тан кан внутри контура С находятся две особые тачки подынтегральной функции — полюсы 1-го порядка гг з — — х21, то, применяя первую теорему о вычетах, можем записать — гЬ = 2кг' выч —; 21 +выч,; — 21 с = 2кг' — + — = 2кг' = — (ез' — е з') = кг'сйп 2 = к вЬ 26 г 2 Пример 5. Вычислить интеграл бг го+1' !4=г 1 з Подынтегральная функция 1(г) = имеет десять особых того+1 иг -г11 чен гь = егг, к = О, 1, ..., 9, являюшихся простыми полюсами, Гл. 12.
Ряды и их применение 104 1 — —,+ — —... 1 1 1о я1а ( 1 1 1 — — — + — —..., 1< (г! <+со, з10 220 ззо 1 то — с 1 =выч ; оо = О. Поэтому, применяя вторую теорему о 1о.Ь1' вычетах, можем записать, что Таким образом, 1 гзам~н) Х=2хг~ выч; е и ~ =О. [> ~ 1о+1' ь=о Используя теорему о вычетах, вычислить следующие инте- гралы дз 12.433. / —, где С = (з) !г — Ц = Ц. ./.
+1 сзНз 12.434. / , где С = 1з) (з — 2! 1 (г — 1)(з — 2)' сч. е' ~Ь 12.436. / з з, где С = 1з))з! = Ц. 3 (з + 9) с+ Г з1п з 12.436*. / сЬ, где С = 1з! !г! = 41. /, „О с+ дз 12.437., где С = Ц )з! сь ральное число и О < )а~ < 1 < )Ь!. = Ц, и — нату. лежащими на единичной окружности. Так как разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид 105 3 6.
Вычеты и их применение 12.438'., где С = 1х()х( = Ц, п — — натудг (г — а)" 12 — 6)" с+ ральное число и 0 < ~а! < )5~ < 1. 1 12.439. згп — дх, где С = Ц ~х! = т > О). сч- 12.440. гЬ , где С = (х( )2( = Л < Ц. ( — 1)2122 + 1)' с+ 12.441. / ~Ь, где С = Ц)х! = 4). Г 2+1 / "+1 с+ п 12.442. згп — ) На, и Е 14. (я)=п г Г 1 — е 12.443. хне= сЬ, и Е И, 12.444.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
