3 часть (1081356), страница 10

Файл №1081356 3 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов) 10 страница3 часть (1081356) страница 102018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

при )х — 2! > 1, на окружности )х — 2) = 1 рнд, бчевидно, расходится. > Найти области абсолютной сходимости рядов (х Е С): 12.134, ~~2 . 12.135. п=1 п=1 2п ОО 12.136. ~~1 . 12.137. ~ ьlпе "'. п=1 п=1 СЮ ОО 12.138. 21 — е "' . 12.139. ~~2 пеи'. и=1 п=! ОО 12.140*. ',1 ( — 1)пи '. 12.141*, ~~1 ~ .) п=1 п=1 и 12.142*. ~ ~ ) . 12.143*. ~ п=1 2. Равномернан сходимость. Сходлп1ийся в области Р1 функциональный рнд (1) называется равномерно сходящимся в втой области, если для любого е > 0 найдется у = Л(е) такое, что длл остатка ряда (1) В.(х) = ~„ Ь(х) Ь=и-~-1 Пример 2. Найти область сходимости функционального рада Е ,х~С.

(х — 1)" п=1 .а Применнл признак Даламбера, можем записать неравенство Гл. 12. Ряды и их применение 64 при всех и > М(е) и х Е Р~ имеет место оценка )В„(х)( < е. Критерий Коши равномерной сходимости. Длл того чтобы функииональнььй рлд (1) бььл равномерно сходлилиисл в области Рм необходимо и достаточно, чтобы длл любого е > О суи!ествовало Ф = РУ(е) такое, что длл всех и > Ф(е) и х е Р~ вьтолнллись неравенства !~„ь~(х) +~„~ьг(х)+... +~„+„(х)~ <е, р= 1, 2, Пример 3. Найти область сходимости ряда сумму ряда и показать, что во всей области сходимости ряд сходится неравномерно. < Так как частичные суммы ряда имеют вид ( ) ~~,'( ь ьы) ! ьз-~ ь=о то можем заключить, что 1цп 5„(х) существует только при )х) < 1 и в и — >оь точке х = 1, т.

е. областью сходимости ряда является область Р~ — — (х!!х! < 1 и х = 1), причем сумма ряда равна 5(х) = !пп 5„(х) = ! ( 1 при )я~<1, ь->ьь ~ О при х = 1. Остаток ряда В„(х) = 5(х) — 5„(х) имеет вид ) х"+ при )х! < 1, 1 О при х=1. Отсюда заключаем, что существуют ео > О и Х(ео) такие, что для любого н > Х(ео) найдется х„такое, что )х„! < 1, но (Рс„(х„)! > ео. Так, 1 1 например, выбирая ео — — — и х„= —,еч'", !о„— произвольно, имеем 4 1 1 (В„(х„)! = — > —. Это означает, что во всей области сходимости Р~ равномерной сходимости нет. Заметим, однако, что в любой области з 2. Функциональные ряды 1)„= (х))х! < г < 1) рлд будет сходитьсц равномерно, так как длн !па любого е > О найдетгп !ч' = !ч'(г) = — такое, что длн всех х б 11„и !пг и > Х(в) имеем )Йь(х)! = )х!ь'"' < г"+' < г. > Признак Вейерш трасса.

Пусть !руин!!иоиальиьгй рлд (1) сходится в вблас!аи В!, и пусть суи!сствует сходящийся зиаквпвлвжи!пельиый числовой рлд ~~ а.„такой„что для всаг, х Е О! и для и > Лр и=! члены ряда (1) удивлен!воряют условию )Уь( )! <«' Тогда рлд (1) сходни!ся абсолютно и равномерно в области Р!. Рнд ~ ~аи называетсн мажорируюигим длн рада (1). в Прил!ер 4.

Найти область сходимостн ркда 7 —, и показать, что ~ нх в=\ в этой области ряд сходится равномерно. О Воспользуемся прианаком Даламбера. Имеем и+~па !пп = )х!. +, (и + 1)тхп !Следовательно, в круге )г! < 1 рнд сходится. На границе круга, т.е. прн )х! =- 1, получаем сходпшийсп рнд: )х)и я=! и=! Значит, исходный рнд сходитсн в замкнутом круге )х! < 1. Но так как длп всех )х! < 1 !У (х)! = — т < —, !х! 1 нт их' то рнд сходится абсолютно и равномерно, !ь Найти область сходимости и область равномерной сходимости Указанных радов (х Е К, х Е С): ОО г 1)иь! 12.144.

ч! ( — 1)ин *. 12.145. ~~! 00 ( 1)и 12.146. У ™. 12.147. ~~! и=! и=! Гл. 12. Ряды и их применение 66 епс [ 1)п 12.148. 1 —. 12.149. > ( — 1)п п=! п=! 00 12.151. 5 с гг(,с + 2)п п=! п=! Х Оз 2 12.152*. Доказать, что рнд Г 2 , т б К., сходитси абс ~ (1 + тг)п' '' =о салютно во всех точках, но не равномерно в любом промежутке, внутри или на границе которого находится точка,т, = О. СО г п 12.153. Доказать, что рид у (-1) 2 , т, Е К, сходится (1.

!, 2)п' '' п=о абсолютно и равномерно на всей числовой оси, тогда как рид из абсолютных величин членов данного ряда (рлд задачи 12.152) на всей числовой оси сходится неравномерно. 12,154. Используя принцип максимума модуля аналитической функции, доказать, что если члены ряда (1) явллютсл аналитическими в области Р функциями и непрерывными в замкнутой области В = В+ Г и если рлд 11) сходится равномерно на Г, то он сходитсл равномерно в замкнутой области В (вторая теорема Вейерштрасса). 12.155.

Найти область сходимости и область равномерной сходимости, а также сумму рида ~-( 1 1 сп 1 ! сп-~-! =о 3. Свойства равномерно сходищихси рядов. Сформулируем рнд свойств в виде задач. 12.156. Доказать, что если члены равномерно сходншсгосп в области В! функционального ряда (1) умногкить на одну и ту же ограниченную в области В! функцию !р(с), то равномсрнан сходимость рида не нарушится. 12.157. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области Р! и ряд (1) равномерно сходитсн в этой области, то его сумма г" (я) непрерывна в области .Р!. 12.158. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области В! и рлд 11) равномерно сходится в атой области, то его мол!но почленно интегрировать по любой кривой 1, целиком лелсашей в з 2.

Функциональные рллы области Р„т. е. имеет место равенство п=! иа производных ~~! у'„'(х) равномерно сходится, то исходный ряд и=! можно почленно дифференцировать, т.е. имеет место равенство Для равномерно сходящихся рядов из аналитических функций имеет место Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1), т. е. функции зп(г), являютсл аналитическими в облас!пи Р й нкцпями и в любой замкнутой подобласти Р! С Р ряд (1) схотел равномерно, тес а) сумма ряда (1), т. е.

функция з'(г), является аналитической в области Р; б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. справедливы равенства У!"!( ) = ~ У!"!( ), 9 =1, 2, ..., ° ~ Р; (2) п=! в) в любой замкнутой подоблас пи Р! С Р полученные в резульпьате дифференцирования ряды (2) сходятсл равномерно. 12.160. Используя утверждение задач 12.157, 12.158 и теорему тйорера (теорема, обратная теореме Коши), доказать утверждение а) теоремы Вейерштрасса.

12.161. Воспользовавшись формулой Коши для производной и Г ерждением задачи 12.158, доказать утверждение б) теоремы йерштрасса. 12.159*. Доказать, что если на отрезке (а, 5] функции Ях) днфференцируемы, функциональный ряд ~~! /„(х) сходится, а ряд Гл. 12. Ряды и их применение 68 8 3. Степенные ртщы 1.

Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд со+ с1(г — го)+се(г — го) +. ° .+сп(г хо) + ° ° ° = ~~' сп(х хо) (1) п=о называется степенным по степеням х — го. В частности, ряд со+с1г+стг +...+с г +...=~ с х (2) Сп+1Х и+1 1пп и+ и Спгп =)х! 1пп —" <1 — сп или 1пп фс„~") = )х! 1пп фс„) < 1. Отсюда для вычисления радиуса Л круга сходимости получаем соотношения 1 1 11 = или В= Спв1 !пп Г„т1с„) 1пп и — тте сп Пример 1. Исследовать на сходимость ряд (х+ 2)г (г + 2)4 (х+ 2)тп ~~ (х + 2)тп я=1 а Применим признак Даламбера: (х+ 2)зп (х+ 2)гт 4-1) пз 3" ' (и+ 1)т Зп"' является степенным по степеням г.

С помощью замены х — хо — — Я ряд (1) сводится к ряду (2). Теорема Абеля. Если степенной рлд (2) сходится в точке х = х1 ~ О, то он абсолютано сходится длл всех г тпаких, что )х) < < ~х1~, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом крузе ~х( < т < ~х1(. Если же рлд (2) расходится в тпочке х = хз, то он расходится и для всех х таких, что (х! > )гз!.

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке хо), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т.е. из условий 3 3. Степенные рлды 71 и=1 2. Разложение функций в ряд Тейлора. Имеет место следуюшая Теорема Тейлора. Функция Г(г), аналитическая в круге )г- го( < В, однозначно представимо в этом круге своим рядом Тей- лора Г(г) = ~~~ си(г — го) коэу!уоиииенты которого определяются по уоормулам1) Грй(го) 1 Г Г(у) сЬ~, п=0,1,. ой 2ог1 „I (уу — го) и ь! ~о-*от" <и С л е д с т в и с.

Если функция Г(г) аналитична в области Р и го Е Р, то в круге (г — го~ < В (го, Р), где Л(го, Р) — наименьшее расстояние от точки го до границы области Р или до ближайшей точки г', в которой Г(г) не аналитична, Г(г) может быть представлена в виде степенного ряда У(г) = ~~ си(ав)(г — го)", (3) и=в возффициснты ноторого определяются по формулам о Г~"~(") 1 Г Г( 1) п! 2пс' ,/ (с! — го)"ь' п=0,1, !о-*о!= .<к!*о, и> Если го = О, то ряд Тейлора называют также рлдом Маклорена.

! ) Здесь н далее дпп записи криволинейных интегралов по замкнутому контуру (контурпых интегралов) мы используем обычный знак интеграла. 12.195. п2и )п и Е' '. 12.197. ~~! п1ги'. и=! со 2 12.199. ~ — ', „. и=1 12.201. ~~1 и=1 12.196. ~~! (-1)" (г + 3)". и и+1 и=! 12 199 ) пи(г — 5)и (3п+ 1)!о ' и=1 12.200. ~~У 2" ги . и=о 12.202. зо о 72 Гл.

12, Ряды и их примснснис Пример 2. Разложить функцию у'(2) = ай 2 в ряд по стспсням 2 (т. е. в ряд Маклорена). е' — с < Так как БЬ 2 = являстся аналитичсской во Вссй плоскости, 2 то по тсоремс Тсйлора сс ряд Маклорсна будст сходиться к ной во всей плоскости. Имсеы (аЬ2)1~"чф = сЬ2, я = О, 1, ..., (аЬ2)1 ьй = айз, и с 1~!.

~2О(О) (12й-ы )(О) Следовательно, с2 = — — О, а сг„.ы = (2я)! ' " (2и+1)! (2я+1)!' н искомое разложение имеет вид 2п-Ь! -' (2и+ 1)!' я=О 3 а м с ч а н и с. Если рассматривать ряд Тейлора функции г'(х) действитсльной переменной, т.е. ряд 11ОМхо) и! а о то для справедливости равенства (3) (при 2 = х и хо —— хо) нсобходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора Л„(х) стрсмился к нулю при п -+ Оо. Остаточный член может быть записан, например, в форме Лагранжа (т — х )" 1! 17„(х) = ' У~"+О (хо + д(х — хо)), где О < 0 < 1, (и + 1)! или в форме Ьоши (х — хо)"ь'(1 — О)" я.! или в какой -либо другой ф ормс . Пример 3.

1'азложить в ряд Тсйлора по стспсням х функцию е'. а Функция 1(х) = е' бесконечно цифферснцпрусма и (сх)! "1 = с'. Следоватсльно, 71 "1(0) = 1. 111ормула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет внд ь .пь! е' = ~ †' + е~', О < 0 < 1. 1=-О Ы (и+ 1)! З 3. Стгпсггиьгс рлды 73 Цк любом конечном отрезке х Е ( — а, а], а > О, нмссм ]иь! и-1-1 1ПП ]Ли(т)] = 1!П1 Еаи < Си 1!и! = О, и-иии и-7ии (71 + 1)! и-77и (71 + 1)! а потому длп любого г б К ~Ю е'=~ —.

2и и! и=о При решении многих задач рскомендуетсл пользоватьса следующими разлогксниями злемснтарных функций: 2 и ги а) с" = 1 + г + — +... + — +... = х7 —, г Е С. 2! и! г-и и!' п=о 22 гп 2и б) сов 2 = 1 — — +... + ( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, г Е С. 2! ' (2и)! „(2и)1' гз 2иь! 2из1 в) 21пг =г — — +...+( — 1)и +... = ) ( — 1)и 3! (2и+ 1)! (2и+ 1) ' и=о г Е С. Г)1п(1+ ) =г — + * 2 ги ии гп +( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, ]г] < 1. и 71 и=! 2и.1-1 277 ь1 +(-1)и '' +...= ~ ~'(-ци' 2и+ 1 2и+ 1' и — — о з д) агс!я г = г — — + 3 = 1 — г+ г' — г'+ + (-1)лги+ ]г] < 1 1+г П р н м с р 4.

Разлогкить в рпд по стспсняы г + 3 функцию! и (2 — 52). ]г] < 1. 77(11 1) 2 н(й 1) . ° ° (77 71 + 1) и е) (1+г)" = 1+772+ 22+.. + 2! и! г + +,+~,- 77(77 — 1)... (77 — и + 1) ]г] < 1, 77 б И~Я и=! в случас, когда а = 7и Е К, функция (1+ г) и' раскладывается по бинол7у ьютона в много шеи, причем разлогкенис имеет место во всей плоскости).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
14,66 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее