3 часть (1081356), страница 10
Текст из файла (страница 10)
при )х — 2! > 1, на окружности )х — 2) = 1 рнд, бчевидно, расходится. > Найти области абсолютной сходимости рядов (х Е С): 12.134, ~~2 . 12.135. п=1 п=1 2п ОО 12.136. ~~1 . 12.137. ~ ьlпе "'. п=1 п=1 СЮ ОО 12.138. 21 — е "' . 12.139. ~~2 пеи'. и=1 п=! ОО 12.140*. ',1 ( — 1)пи '. 12.141*, ~~1 ~ .) п=1 п=1 и 12.142*. ~ ~ ) . 12.143*. ~ п=1 2. Равномернан сходимость. Сходлп1ийся в области Р1 функциональный рнд (1) называется равномерно сходящимся в втой области, если для любого е > 0 найдется у = Л(е) такое, что длл остатка ряда (1) В.(х) = ~„ Ь(х) Ь=и-~-1 Пример 2. Найти область сходимости функционального рада Е ,х~С.
(х — 1)" п=1 .а Применнл признак Даламбера, можем записать неравенство Гл. 12. Ряды и их применение 64 при всех и > М(е) и х Е Р~ имеет место оценка )В„(х)( < е. Критерий Коши равномерной сходимости. Длл того чтобы функииональнььй рлд (1) бььл равномерно сходлилиисл в области Рм необходимо и достаточно, чтобы длл любого е > О суи!ествовало Ф = РУ(е) такое, что длл всех и > Ф(е) и х е Р~ вьтолнллись неравенства !~„ь~(х) +~„~ьг(х)+... +~„+„(х)~ <е, р= 1, 2, Пример 3. Найти область сходимости ряда сумму ряда и показать, что во всей области сходимости ряд сходится неравномерно. < Так как частичные суммы ряда имеют вид ( ) ~~,'( ь ьы) ! ьз-~ ь=о то можем заключить, что 1цп 5„(х) существует только при )х) < 1 и в и — >оь точке х = 1, т.
е. областью сходимости ряда является область Р~ — — (х!!х! < 1 и х = 1), причем сумма ряда равна 5(х) = !пп 5„(х) = ! ( 1 при )я~<1, ь->ьь ~ О при х = 1. Остаток ряда В„(х) = 5(х) — 5„(х) имеет вид ) х"+ при )х! < 1, 1 О при х=1. Отсюда заключаем, что существуют ео > О и Х(ео) такие, что для любого н > Х(ео) найдется х„такое, что )х„! < 1, но (Рс„(х„)! > ео. Так, 1 1 например, выбирая ео — — — и х„= —,еч'", !о„— произвольно, имеем 4 1 1 (В„(х„)! = — > —. Это означает, что во всей области сходимости Р~ равномерной сходимости нет. Заметим, однако, что в любой области з 2. Функциональные ряды 1)„= (х))х! < г < 1) рлд будет сходитьсц равномерно, так как длн !па любого е > О найдетгп !ч' = !ч'(г) = — такое, что длн всех х б 11„и !пг и > Х(в) имеем )Йь(х)! = )х!ь'"' < г"+' < г. > Признак Вейерш трасса.
Пусть !руин!!иоиальиьгй рлд (1) сходится в вблас!аи В!, и пусть суи!сствует сходящийся зиаквпвлвжи!пельиый числовой рлд ~~ а.„такой„что для всаг, х Е О! и для и > Лр и=! члены ряда (1) удивлен!воряют условию )Уь( )! <«' Тогда рлд (1) сходни!ся абсолютно и равномерно в области Р!. Рнд ~ ~аи называетсн мажорируюигим длн рада (1). в Прил!ер 4.
Найти область сходимостн ркда 7 —, и показать, что ~ нх в=\ в этой области ряд сходится равномерно. О Воспользуемся прианаком Даламбера. Имеем и+~па !пп = )х!. +, (и + 1)тхп !Следовательно, в круге )г! < 1 рнд сходится. На границе круга, т.е. прн )х! =- 1, получаем сходпшийсп рнд: )х)и я=! и=! Значит, исходный рнд сходитсн в замкнутом круге )х! < 1. Но так как длп всех )х! < 1 !У (х)! = — т < —, !х! 1 нт их' то рнд сходится абсолютно и равномерно, !ь Найти область сходимости и область равномерной сходимости Указанных радов (х Е К, х Е С): ОО г 1)иь! 12.144.
ч! ( — 1)ин *. 12.145. ~~! 00 ( 1)и 12.146. У ™. 12.147. ~~! и=! и=! Гл. 12. Ряды и их применение 66 епс [ 1)п 12.148. 1 —. 12.149. > ( — 1)п п=! п=! 00 12.151. 5 с гг(,с + 2)п п=! п=! Х Оз 2 12.152*. Доказать, что рнд Г 2 , т б К., сходитси абс ~ (1 + тг)п' '' =о салютно во всех точках, но не равномерно в любом промежутке, внутри или на границе которого находится точка,т, = О. СО г п 12.153. Доказать, что рид у (-1) 2 , т, Е К, сходится (1.
!, 2)п' '' п=о абсолютно и равномерно на всей числовой оси, тогда как рид из абсолютных величин членов данного ряда (рлд задачи 12.152) на всей числовой оси сходится неравномерно. 12,154. Используя принцип максимума модуля аналитической функции, доказать, что если члены ряда (1) явллютсл аналитическими в области Р функциями и непрерывными в замкнутой области В = В+ Г и если рлд 11) сходится равномерно на Г, то он сходитсл равномерно в замкнутой области В (вторая теорема Вейерштрасса). 12.155.
Найти область сходимости и область равномерной сходимости, а также сумму рида ~-( 1 1 сп 1 ! сп-~-! =о 3. Свойства равномерно сходищихси рядов. Сформулируем рнд свойств в виде задач. 12.156. Доказать, что если члены равномерно сходншсгосп в области В! функционального ряда (1) умногкить на одну и ту же ограниченную в области В! функцию !р(с), то равномсрнан сходимость рида не нарушится. 12.157. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области Р! и ряд (1) равномерно сходитсн в этой области, то его сумма г" (я) непрерывна в области .Р!. 12.158. Доказать, что если функции гп(с) непрерывны в области В! и рлд 11) равномерно сходится в атой области, то его мол!но почленно интегрировать по любой кривой 1, целиком лелсашей в з 2.
Функциональные рллы области Р„т. е. имеет место равенство п=! иа производных ~~! у'„'(х) равномерно сходится, то исходный ряд и=! можно почленно дифференцировать, т.е. имеет место равенство Для равномерно сходящихся рядов из аналитических функций имеет место Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1), т. е. функции зп(г), являютсл аналитическими в облас!пи Р й нкцпями и в любой замкнутой подобласти Р! С Р ряд (1) схотел равномерно, тес а) сумма ряда (1), т. е.
функция з'(г), является аналитической в области Р; б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. справедливы равенства У!"!( ) = ~ У!"!( ), 9 =1, 2, ..., ° ~ Р; (2) п=! в) в любой замкнутой подоблас пи Р! С Р полученные в резульпьате дифференцирования ряды (2) сходятсл равномерно. 12.160. Используя утверждение задач 12.157, 12.158 и теорему тйорера (теорема, обратная теореме Коши), доказать утверждение а) теоремы Вейерштрасса.
12.161. Воспользовавшись формулой Коши для производной и Г ерждением задачи 12.158, доказать утверждение б) теоремы йерштрасса. 12.159*. Доказать, что если на отрезке (а, 5] функции Ях) днфференцируемы, функциональный ряд ~~! /„(х) сходится, а ряд Гл. 12. Ряды и их применение 68 8 3. Степенные ртщы 1.
Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд со+ с1(г — го)+се(г — го) +. ° .+сп(г хо) + ° ° ° = ~~' сп(х хо) (1) п=о называется степенным по степеням х — го. В частности, ряд со+с1г+стг +...+с г +...=~ с х (2) Сп+1Х и+1 1пп и+ и Спгп =)х! 1пп —" <1 — сп или 1пп фс„~") = )х! 1пп фс„) < 1. Отсюда для вычисления радиуса Л круга сходимости получаем соотношения 1 1 11 = или В= Спв1 !пп Г„т1с„) 1пп и — тте сп Пример 1. Исследовать на сходимость ряд (х+ 2)г (г + 2)4 (х+ 2)тп ~~ (х + 2)тп я=1 а Применим признак Даламбера: (х+ 2)зп (х+ 2)гт 4-1) пз 3" ' (и+ 1)т Зп"' является степенным по степеням г.
С помощью замены х — хо — — Я ряд (1) сводится к ряду (2). Теорема Абеля. Если степенной рлд (2) сходится в точке х = х1 ~ О, то он абсолютано сходится длл всех г тпаких, что )х) < < ~х1~, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом крузе ~х( < т < ~х1(. Если же рлд (2) расходится в тпочке х = хз, то он расходится и для всех х таких, что (х! > )гз!.
Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке хо), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т.е. из условий 3 3. Степенные рлды 71 и=1 2. Разложение функций в ряд Тейлора. Имеет место следуюшая Теорема Тейлора. Функция Г(г), аналитическая в круге )г- го( < В, однозначно представимо в этом круге своим рядом Тей- лора Г(г) = ~~~ си(г — го) коэу!уоиииенты которого определяются по уоормулам1) Грй(го) 1 Г Г(у) сЬ~, п=0,1,. ой 2ог1 „I (уу — го) и ь! ~о-*от" <и С л е д с т в и с.
Если функция Г(г) аналитична в области Р и го Е Р, то в круге (г — го~ < В (го, Р), где Л(го, Р) — наименьшее расстояние от точки го до границы области Р или до ближайшей точки г', в которой Г(г) не аналитична, Г(г) может быть представлена в виде степенного ряда У(г) = ~~ си(ав)(г — го)", (3) и=в возффициснты ноторого определяются по формулам о Г~"~(") 1 Г Г( 1) п! 2пс' ,/ (с! — го)"ь' п=0,1, !о-*о!= .<к!*о, и> Если го = О, то ряд Тейлора называют также рлдом Маклорена.
! ) Здесь н далее дпп записи криволинейных интегралов по замкнутому контуру (контурпых интегралов) мы используем обычный знак интеграла. 12.195. п2и )п и Е' '. 12.197. ~~! п1ги'. и=! со 2 12.199. ~ — ', „. и=1 12.201. ~~1 и=1 12.196. ~~! (-1)" (г + 3)". и и+1 и=! 12 199 ) пи(г — 5)и (3п+ 1)!о ' и=1 12.200. ~~У 2" ги . и=о 12.202. зо о 72 Гл.
12, Ряды и их примснснис Пример 2. Разложить функцию у'(2) = ай 2 в ряд по стспсням 2 (т. е. в ряд Маклорена). е' — с < Так как БЬ 2 = являстся аналитичсской во Вссй плоскости, 2 то по тсоремс Тсйлора сс ряд Маклорсна будст сходиться к ной во всей плоскости. Имсеы (аЬ2)1~"чф = сЬ2, я = О, 1, ..., (аЬ2)1 ьй = айз, и с 1~!.
~2О(О) (12й-ы )(О) Следовательно, с2 = — — О, а сг„.ы = (2я)! ' " (2и+1)! (2я+1)!' н искомое разложение имеет вид 2п-Ь! -' (2и+ 1)!' я=О 3 а м с ч а н и с. Если рассматривать ряд Тейлора функции г'(х) действитсльной переменной, т.е. ряд 11ОМхо) и! а о то для справедливости равенства (3) (при 2 = х и хо —— хо) нсобходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора Л„(х) стрсмился к нулю при п -+ Оо. Остаточный член может быть записан, например, в форме Лагранжа (т — х )" 1! 17„(х) = ' У~"+О (хо + д(х — хо)), где О < 0 < 1, (и + 1)! или в форме Ьоши (х — хо)"ь'(1 — О)" я.! или в какой -либо другой ф ормс . Пример 3.
1'азложить в ряд Тсйлора по стспсням х функцию е'. а Функция 1(х) = е' бесконечно цифферснцпрусма и (сх)! "1 = с'. Следоватсльно, 71 "1(0) = 1. 111ормула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет внд ь .пь! е' = ~ †' + е~', О < 0 < 1. 1=-О Ы (и+ 1)! З 3. Стгпсггиьгс рлды 73 Цк любом конечном отрезке х Е ( — а, а], а > О, нмссм ]иь! и-1-1 1ПП ]Ли(т)] = 1!П1 Еаи < Си 1!и! = О, и-иии и-7ии (71 + 1)! и-77и (71 + 1)! а потому длп любого г б К ~Ю е'=~ —.
2и и! и=о При решении многих задач рскомендуетсл пользоватьса следующими разлогксниями злемснтарных функций: 2 и ги а) с" = 1 + г + — +... + — +... = х7 —, г Е С. 2! и! г-и и!' п=о 22 гп 2и б) сов 2 = 1 — — +... + ( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, г Е С. 2! ' (2и)! „(2и)1' гз 2иь! 2из1 в) 21пг =г — — +...+( — 1)и +... = ) ( — 1)и 3! (2и+ 1)! (2и+ 1) ' и=о г Е С. Г)1п(1+ ) =г — + * 2 ги ии гп +( — 1) — +... = ~~7 ( — 1) —, ]г] < 1. и 71 и=! 2и.1-1 277 ь1 +(-1)и '' +...= ~ ~'(-ци' 2и+ 1 2и+ 1' и — — о з д) агс!я г = г — — + 3 = 1 — г+ г' — г'+ + (-1)лги+ ]г] < 1 1+г П р н м с р 4.
Разлогкить в рпд по стспсняы г + 3 функцию! и (2 — 52). ]г] < 1. 77(11 1) 2 н(й 1) . ° ° (77 71 + 1) и е) (1+г)" = 1+772+ 22+.. + 2! и! г + +,+~,- 77(77 — 1)... (77 — и + 1) ]г] < 1, 77 б И~Я и=! в случас, когда а = 7и Е К, функция (1+ г) и' раскладывается по бинол7у ьютона в много шеи, причем разлогкенис имеет место во всей плоскости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
