3 часть (1081356), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Эти поля называют также цилиндрическими. Если функцин и(Р) скалярного поля принимает одни и те же значения в соответствуюших точках всех полуплоскостей, проходлших через одну и ту же прямую (ось полл), то такое поле называют осесимметрическим. Поверхности уровня такого поля — поверхности врашеннн, оси которых совпадают с осью поля. Если ось поля принять за ось Ох, то при исследовании таких полей целесообразно пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими координатами. Функцик) и = и(Р) можно в этом случае представить либо в виде и = и(г, д) Гл. 11. Векторный анализ (в сферических координатах), либо в виде и = и(т, х) (в пилиндрических координатах). Замечание.
Градиенты центральных, осевых и осссимметрических полей образуют векторныс поля того же характера -- цснтральныс, осевые и осесимметрические. Найти градиенты и лапласианы следуюших полей: 11.184. = ~( ), = ~/Р+ р' ~ 11.185. и = у (т), т = ~/хз + уз 11.186. и = Р(т, В) (т, Π— сферические координаты). 11.187. и = Р(т, л) (т, л — цилиндрические координаты).
Глава 12 РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 2 1. Числовые ряды 1. Сходимость ряда. Критерий Коши. Выражение иг+ иг+ +и»+ = ~~~,и», »ея где (иь)ген — заданная числовая действительная или комплексная по- следовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы Кг = иг Кг = иг+иг,,5» -— иг+ из+ . +и,... (2) называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) о = !пп 5„, то ряд (1) называется сходящимся, а число о— »-+со суммой ряда (1). Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало Ф = Ф(е) такое, иао для всех н > Ф и р = 1, 2, ... выполнялось неравенство (Я».~„— о») = )и»+г + и„от+ . + и„ор( ( с.
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то 1пп и„= О. 1 Пример 1. Показать, что ряд г сходится, и найти его сумму. 1 а Так как дробь представима в виде х(х+ 1) 1 1 1 х(х+1) х х+ 1 Гл. 12. Ряды и нх применение то частичную сумму ряда можно записать следующим образом: 1 1 1 1 1 юл + + + + + 1 2 2 3 3.4 !п — 1)п п(п+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 — — + — — — + — — — +...+ + — 1 2 2 3 3 4 п — 1 п п п+1 п+1 Следовательно, 1 !пп Яи со !пп 1 — = 1, и-ссю исоо 'с п + 1( т. е.
заданный ряд сходится и его сумма равна 1, !> Пример 2. Исследовать на сходимость ряд у с!" и в случае схол=е димости найти его сумму. ~ Имеем ~„= 1+ 1+ е'+... + о"-'. Если с! = 1, то Я„= и, т.е. !пп Я„= со, и, следовательно, ряд расходится. Пусть теперь су ф 1, тогда 1 — су" 1 с!и 1 — е 1 — д 1-е Положим су = те'т, тогда с1" = тие'ии.
При О < т < 1 имеем !пп су" = !пп тие'ию = О, исоо л-соо ,и т.е. !пп — = О, откуда 1пп 5„= . Если же т > 1, то т — > ео и-соо 1 — с! лссо 1 — с! и, следовательно, конечного предела !пп —, а значит, и предела пос! и-+сю 1 — су следовательности частичных сумм не существует. Наконец, при т = 1 и !о фО !щог! 2х) предел !пп е'"сс = 1цп (соапсгс+1а!пп~ср) и -+ оо и — мо !а потому и предел 1пп Я,) также не существует.
л-+со Таким образом, ряд ~~ с!л, члены которого составляют бесконечную л=о геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем с1, сходится при )с!! < 1 и его сумма равна и расходится при )д! > 1. !и 1 — д 3 1. Числовые ряды 49 Пример 3. Доказать, что гармонический ряд 1 1 1 ~ 1 1+-+-+...+ — +...=7— 2 3 и йи и=! расходится, хотя его члены стремятся к нулю прн и -~ оо. < Рассыотриы разность частичных сумм с номерами 2и и и.
Имеем 1 1 1 К2п ~п + + + и+1 и+ 2 2п Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2п, получаем 1 1 1 1 1 Ктп ~п ) + + . + = и 2п 2п 2п 2п 2' Это неравенство означает, что при р = и для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится. С Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы: СО 1 00 12.1.
12.2. 7 п(п+ 1)(п+ 2) х 4пз — 9 12.3. ~~ 1 12.4. ~~ 2п+1 (2п — 1) (2п + 1) х. п(п2 — 1) 12.5*. соз 1п 12.6. (1 + 1)п п=! п=о Используя критерий Коши или необходимый признак сходи- мости ряда, установить расходимость следующих рядов: 12.7.. 12.8. Я!' ~о' ' ',;-2' 00 п 12.9. '> ( — 1)", 12.1О. ~ — „.
п=! и=! ОО 12.11. ~~! . 12.12. ~~! п2п !/п + 1п п=! и=! 12.13. Доказать, что если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то его сходимость не нарушится. Гл. 12. Ряды и их применение бО 12.14. Доказать, что если ряды ~~ и„и ~ оп сходятся и их п=1 п=! суммы соответственно и и о, то сходится и ряд ~ (и„+ и„), прин=! чем его сумма равна и+о. Привести пример, когда обратное утверждение не имеет места. 12.15. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость этого ряда (но влияет на сумму!).
)и1! + (из! + ... + (ип! + ... = ~~ !ип!. п=1 (3) Если ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется условно сходли1инся. П ризнаки сравнения рядов. Если лены рлда (1) для всех и > Хв (М > 1) удовлетворлют условию !ип! < Ьп, причем ряд ~~ бп п=1 сходится, то ряд (1) сходится абсолютно.
Если хсе для п > Ю! члены РЯда (1) УдовлетвоРлют Условию 0 < сп < )ип(, пРичел! Рлд сп расходится, то ряд (3) расходи!вся, 1п. е. рлд (1) не сходитсл п=1 абсолютно. 1 Пример 4. Зная, что ряд ~ сходится (см. пример 1), , п(п+1) 1 установить сходимость ряда ~ п~ п=1 ° ~ Так как у — = ~ , то, учитывая неравенства , пэ (и+1)э п=1 п=о 1 1 < и = 1, 2, ..., (и -!- 1)э п(п -!- 1)' 1 по признаку сравнения убеждаемся в сходнмости ряда р —. [и ~ пэ п=1 2. Абсолютная и условная сходимоеть. Признаки абсолютной сходи- мости.
Ряд (1) называется абсолютно сходяи1имсл, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т.е. сходится ряд 3 1. Числовые ряды ип О < 1пп — < +со, и Соя либо оба сходятся, либо оба расходятся. п=1 Исследовать на сходимость ряд !по ряды 2 ип п=! Пример 5. Е Зпт — 2 и" + 5п и=! (4) 1 О Так как ряд 7 — сходится (см, пример 4) и так как л л п2 п=1 Зпэ — 2 1 1пп =: — =ЗЛО, — и!+ 5п ' пт то ряд (4) такгке сходится. с Пример б. Исследовать на сходимость ряд 2п+5 Зп — 2п п=! (5) з Так как 2к+5 1 2 2 и- пь Зпэ — 2п п 3' 1 а гармонический ряд ~ — расходится (сь1, пример 3), то и ряд (5) п=1 расходится. С Признак Даламбера. Если члены ряда (1) таковы, чп1о существует конечный предел ипч! 1пп и-!ьь и, На практике более эффективным оказывается следующий !ю Предельный признак сравнения.
Если ряд~ о„сходится и=! ип абсолютно и существует конечный предел 1пп — = ц < +со, то Оп ряд (1) также сходится абсолютно. Если же члень! рядов ип и оп-- дейс1лв а тельные положительные !исла и Гл. 12. Ряды н нх прнмененяе 52 то при 0 < ! < 1 ряд (1) сходится абсолютно, при ! > 1 — расходится, а при ! = 1 требуетсл дополнительное исследоеание. Пример 7. Исследовать на сходнмость ряд пз Š—,".
и=1 (6) пз (и+ 1)з < ИМЕЕМ ии = —, ии 11 — —, Н ии 11 (П + 1)З2и 1 !пп — = !пп = — < 1. и-пьь Пи и-пьь 2пм1ПЗ 2 /2п+бь1 " а Имеем ии = (ь — ), поэтому ~,Зп — 1) Следовательно, данный ряд сходятся. С Прк нспользованнн признака Коши бывает полезна слелуюшая у7ормула Стирлинга: ,Пьп и! = 1/2нп ~ — ) е м", 0 < В < 1. е Пример 9. Исслеловать на сходнмость ряд 2".и! и=! Таким образом, ряд (6) сходятся. > Признак Коши.
Пусть 1пп Ци„! = 1. Тогда если О < ! < 1, тао рлд (1) сходится абсолютно, если ! > 1, рлд (1) расходится, а при 1 = 1 требуется дополнительное исследование. Пример 8. Исследовать на сходнмость ряд з 1. Числовые ряды 53 а! Имеем: 11'и 2 е 2 = — !пп (2ли)а .е а ' = — < 1, е е /(х)дх, а > 1. Т а Пример 10.
Выяснить, при каких значениях параметра р сходится рлд Дирихле Й-„, 1 и=1 1 а Так как функция Г"(х) = — удовлетворяет условиям интегрального ха признака Коши, то исследование сходимости ряда Дирихле сводится к -1-СО ! дх исследованию сходимости интеграла у! —. Но 1 !пп !пЬ =+со Ь вЂ” а-ьси при р= 1, Ьь-а — — — = +со 1-р 1-р !пп ь-а-Ььа при 0<р<1, ( 1 1 ~ 1 11п1 ь ь 1,р — 1 (р — 1)Ьь 1/ Р— 1 при р>1.
Отсюда заключаем, что ряд Дирихле сходится при р > 1 и расходится прир<1. !ь т.е. ряд сходится, С Интегральный признак Коши. Пусть функиил у(х) положительна и монотонна при х > 1, и пусть длл всех и Е Я имеет место равенство у'(и) = ~и„~. Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е. рлд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несобстпвенным интегралом Гл. 12. Ряды и их применение 54 Используя признак сравнении или предельный признак сравнении, исследовать на сходимость следующие рады: 12.19. ~, . 12.20. ~- Зтт — 2 г-, (211 — 1)2 СО 1 з .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
