3 часть (1081356), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В отличие от криволинейных интегралов 1-го рода, линейные интегралы (3) зависят от направления, по которому совершается интегрирование вдоль дуги АВ: (а, с(г) = — (а, с(г). АВ Простейший физический смысл линейного интеграла — работа силового Поля а = а(г) при перемещении в нем материальной точки по кривой АВ из точки А в точку В. П ример 4. Найти работу силового поля Р = х1+ у1+ х)г при перемещении материальной точки вдоль первого витка конической винтовой пинии х = ае'соа1, у = ае'аш1, х = ае' из точки А(0, О, 0) в точку В(а, О, а). З Так как с!х = ае'(сов ! — а!и!) й, ау = ае (а!и !+ соа1) й, ах = ае' й и (Р, йг) = хйх+ уг(у+ хс(х = = а ем((соа1 — а!и!) соаС+ (а!п!+ соа!) а!и!+ 1) й = 2а ем й, то, учитывая, что ! = — со в точке А и ! = 0 в точке В, имеем о (Р, Ыг) = 2ат |! ет'й = ат.
!> Замечание. Этот пример можно решить проще, если учесть, что в данном случае (Р, аг) = (г, дг) = -г((т ), причем т = ~г~ = 0 в точке 1 2 А и т = а~/2 в точке В. Имеем: Л,д (Р,аг)= — / с((т)= — =а. ,/ 2~ АП Гл. 11. Векторный анализ 22 Линейный интеграл вектора а, взятый по замкнутому контуру С, называется аиркуллаиео вектора поля по данному контуру и обозначается символом а аг. Направление обхода контура указывается зарас нее, причем положительным считается обхол против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке. Для плоских векторных полей а = а,(х, у)1+ а„(х, у)2 имеет место следующее утверждение: Если векторная функция а = а,(х, у)1+от(х, у)3 непрерывна вместе да, дат с производными — * и —" в замкнутой области С = С() С, то ду дх — — ахну = а,ах+атйу с с (формула Грина).
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл (х + у) Ых — (х — у) Ну, с где С вЂ” окружность хз + ут = т~. ( Применяя формулу Грина, можем записать (х + у) Нх — (х — у) ду = ( — 1 — 1) Их ду = — 2зтз, ко так как дх ду есть площадь круга Кс: хт + уз ( тт. с кс 11.71.
Вычислить работу силового поля Р = у1 — х2 при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса 2 3 — + —, = 1 из точки А(а, О) в точку В( — а, О). 11.72. Вычислить линейный интеграл (а, с(г), если а = уз1+ ОВ + х~3, О(0, О), В(1, 1), по следующим путям: а) отрезок прямой ОВ; б) луга параболы хт = у; в) дуга параболы уз = х; г) ломаная ОАВ, где А(1, О); д) ломаная ОСВ, где С(0, 1). 3 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 23 11.73. Вычислить циркуляцию вектора а = у1 — х1 вдоль окружности (х — хо)2 + (у — уо)2 = ггг2 в отрицательном направлении.
11.74. Вычислить линейный интеграл (а, дг), если а = в1 + СА + х1 + у1с, уравнение дуги ОА: г = Н + 121 + гз1с, 0 ( 1 ( 1. 11.75. Вычислить линейный интеграл (а, Ыг), если а ОА -ув1 + хна + ху1с, ОА — первый виток винтовой линии х = = асов ~, у = аз1пг, в = Ы (О < 1 < 2н). 11.Т6"*. Вычислить циркуляцию вектора а = 21 + х3 + у1с по Окружности х2 + у + вт = гг~, х + у + в = В в положительном направлении относительно орта 1с. 11.Т7. Вычислить циркуляцию вектора а = у1 — в3+ х1с вдоль ,2+ 2 эллипса + вз = а, у = х в положительном направлении 2 относительно орта 1. 11.Т8. Вычислить работу силового поля Р = 2ху1 + у23 — х21с При перемещении материальной точки вдоль сечения гиперболоида р2 + у2 — 2з2 = 2а2 плоскостью у = х от точки (а, о, 0) до точки (а~/2, а~/2, а).
Используя формулу Грина, вычислить интегралы: П.79. (х2 — у ) Нх+ (х2+ у2) лгу, где С вЂ” контур, образос Ванный полуокружностью у = т/г2 — х2 и осью Ох. 11.80. (х+ у) гЬ вЂ” (х — у) ду, где С вЂ” контур, образованс йый синусоидой у = з1пх и отрезком оси Ох при 0 < х < х. 11.81. хзу йх — ху2 ф. хг+уг=хг 11.82. (х+у) дх — (х +у )ф, где С вЂ” треугольник сверс шинами О(0, 0), А(1, 0) и В(0, 1). 24 Гл. 11.
Векторный анализ 4. Поверхностный интеграл 2-го рода. Гладкая поверхность С в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности С и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к поверхности, называется ориентацией поверхности. Пусть С вЂ” кусочно гладкая ориентированная поверхность и а = = а,(х, у, г)1 + ах(х, у, г)э + а,(х, у, г)1с — векторное поле.
Разобьем поверхность С на частичные поверхности С!, Сж ..., С„,площади которых обозначим через Ьа, (и = 1, 2, ..., и), а площади частичных поверхностей С, снабженных единичными нормалями п„(Р,) в точках Р„б С„, — через Ьст (т.е. считаем каждую такую площадь вектором длины Ьа„и направления п„(Р,)). Тогда, если существует предел последовательности интегральных сумм 2 (а(Р„), Ьи„) при и=1 щвх оба!па„ -+ 0 (и и -! оо), который не зависит ни от способа рази биения поверхности С на частичные поверхности, ни от выбора точек Р„на этих частичных поверхностях, то этот предел называется поверхноспзнььм интегрп ом 2-го рода по поверхности С и обозначается через (а, г(гг) = а,йудг+атдхдг+а,йхИу, (5) с с т. е. / (а, Йт) = 1пп ~ ~(а(Р,), Ь)т ).
мах г)мп а — ~о с н=! Если поле а(Р) непрерывно на С, то интеграл (5) существует. Поверхностный интеграл 2-го рода называют также потоком векторного поля а(Р) через поверхность С. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность С. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла 2-го рода. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода ) ),~ )=)) ), )Ы =)) )щ + „))+, ~)~, )6) где п = (сова, соэД, соэ у) — единичная нормаль к поверхности, или к 3 2.
Криволинейные и поверхностные интегралы 25 вычислении~ суммы трех линейных интегралов | (а, Йт) = х а,(х(у, х), р, з) Йуда х а, (х, Д1х, ), х) ахах х а (х, д, х(х, д)) с1хар, Оэ где Ры Рэ и Рз — проекции С соответственно на плоскости Орз, Охх и Оху, а х(р, х), р(х, х) и з(х, р) — выражения, полученные из уравнения поверхности С разрешением относительно соответствующих координат.
Пример 6. Найти поток вектора г = х1+ р3+ ск через часть хэ 2 2 поверхности эллипсоида — + — + — = 1, лежащую в первом октанте, аз Ьэ сэ В направлении внешней нормали. ° з Имеем в силу (6) (г, сйг) = (хсозо+ рсоэД+ хсоз у)йт. 7ак как в первом октанте внешняя нормаль эллипсоида со всеми осями координат образует острые углы, то все три направляющих косинуса неотрицательны.
Поэтому 1 4 габс = Зо = 3 — -иабс =— 8 3 2 (каждый из интегралов по Ры Рэ и Рэ определяет объем одной восьмой йвсти эллипсоида). С Пример 7. Найти поток вектора а = хэ1 — уэ2+ хэ1с через всю пор* .*.- *'~д~-*' < зл',ю с*~ /Ртф-л' р. ешней нормали, М Имеем: Гл.
11. Векторный анализ 26 г г Заданная поверхность ограничена сверху сегментом сферы х + у + г г г + гг = Здг, с боков — частью поверхности гиперболоида х + у дг снизу кругом хг + уг < дг (рис. 1). На плоскости Оуг и Охг поверхность 6 проектируется дважды с разных сторон. Поэтому, в силу симметрии поверхности относительно этих плоскостей, а также учитывая знаки полынтегральной функции на каждой стороне, можем записа тес х соэ а йт = уг сов)3 Но = О.
с с х На плоскость Оху сферический сегмент пРоектиРУетсЯ в кРУг (область Рэ) хг + + уг < 2Дг, часть поверхности гиперболоида — в кольцо (область Рг') Дг < хг+ Уг < 2Дг, а нижним основанием га г г<ог служит лежащий в этой плоскости круг (область Рэ ) х + у < д . Но цля сегмента сферы сову > О, лля гиперболоида сову < О, а на нижнем основании г = О. Поэтому (а, йг) = г~соэ~йт = с с = ) Ол' — . ' — Г ) ь ь — 1 О' .~ „' — в | ~* ь. о1 о," Для вычисления интегралов перейдем к полярным координатам: г я г ~(зя' — *' — ю')ьФ~ = ~юр ) (зя' — ') ~ =4 Л, о, о о гт„ян г д4 1 -' — " ' =Ф (хг + уг Дг) йг Ну = йр (гг Дг)г Нг = —. о" о я 7 4 ~р...
° ° -,.*: )~ (, Ы ) = - й . с В задачах 11.83 — 11.86 вычислить поверхностные интегралы 2-го рода: 2 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 27 11.83. у Ых Иа, где С вЂ” верхняя сторона части плоскости С х+ у + г = о, лежащей в первом октанте. ГГ ЙхИу 11.84. д, где С вЂ” - внешняя сторона сферы х2 + у2 + + Л2 — а2 11.85. д х ду Ыг, где С вЂ” внешняя сторона части поверхног сти параболоида а = †(х + у ),х > О, у > О, г < Н.
Н 2 2 д2 11.86. 22 дх Ыу, где С вЂ” внешняя сторона полусферы х2 + С '+ у2 + а2 = В2 и > О. 11.87. Найти поток вектора а = х21+у21+ а)с через всю поверх- Н г 2 ность тела — ~Гх~ + у2 < а < Н в направлении внешней нормали. 11.88. Найти поток вектора а = 2х1 — у1 через часть поверхности цилиндра х2+у2 = В2, х ) О, у ) О, О < г ~< Н, в направлении рнешней нормали. 11.89. Найти поток вектора а = х21 + у21 + а2)с через часть 2 2 поверхности параболоида — (х + у ) = а, г < Н, в направлении Внутренней нормали. 11.90. Найти поток вектора а = х21 — у21 + 221 через часть 9феры х2 + у2 + 22 = В2, х ) О, у ) О,'а > О, в направлении Внешней нормали. 11.91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
