3 часть (1081356), страница 3
Текст из файла (страница 3)
11.38. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля и = х~ + 2ху — 4уз в точке Ро(1, 1, — 1), направленный в Сторону возрастания поля. 11.39. Найти стационарные тачки поля и = 2хз — 4ху + уев — 2уз+ бз. Убедиться в ортогональности линий уровня полей: 11.40. и = х2 — уз, е = ху. 11 41 и 2х2 + у2 о у2(х Убедиться в ортогональности поверхностей уровня следующих полей: 11.42. и = х~ + у — з~, о = ха + уз.
11.43. и = х + у~ — 2г~, и = худ. 11.44. и = х, + хз — хз — х4, о = х|хз+ хзх~, ш = х1х4 — хгхз. 2 2 2 2 Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания для следующих полей: 11.45. Плоского поля и = х~ — у . 11.46. Трехмерного поля и = хуз. 11.47. Трехмерного поля и = хз + уз — зз.
3 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 1. Нриволинейньш интеграл 1-го рода. Пусть А — дуга кусочно гладкой кривой, и(Р) — заданное на АВ скалярное поле, А = Аю Ам Аз, ..., А„ и А„ =  — произвольное разбиение луги АВ и Р, (и = 1, 2, ..., я) — произвольные точки иа частичных дугах А„1А„, длины которых обозначим через Ьа„. Если существует предел после-' довательности интегральных сумм С и(Р„)азха прн глахЬа„— э О (и «=1 « н -+ со), который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками А„, ни от выбора точек Р„на частичных дугах А„~А„, то зтот предел Гл.
11. Векто ный анализ 14 называется криеолинекным иняоегралом 1-го рода от функции и(Р) по кривой АВ и обозначается через и(Р)оЬ = и(х, у, з)гЬ лв лв (Ив — дифференциал дуги), т. е. и(Р)одев = 1нп ~ и(Р„)Ьэ„. вах Ло„-оо о=1 лв Если функция и(Р) непрерывна на АВ, то интеграл (1) существует. Физически интеграл (1) можно рассматривать как массу кривой АВ.
Вычисление интеграла (1) сводится к вычислению определенного интеграла. Например, если уравнение дуги АВ задано в виде х = х($), у = у(1), в = з(г), го < г < 1ы то и(Р) оЬ = и(х(г), у(г), «(1)) и лв Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от того, в каком направлении проходится дуга АВ, иными словами, и(Р) сЬ = и(Р) дв. лв вл Пример 1. Определить массу М первого витка винтовой линии х = асоэ1, у = аз1п1, з = М, если плотность р(Р) в каждой ее точке пропорциональна длине радиус-вектора этой точки.
° о о=о =ооьт~р"~'Р,* * * * а о=о тоттз.о.р 1 1 р *о а ою 2я и ь = ОР ~ о ' + * * а = от' ~ о' оо 3 2. Криволинейные и поверхностные интегралы Отсюда и — /ррР+р',Я Рр*рро ат грр = р„Р рР р-'/Р р рР,- — '~.(р~+ /Р+ ррч) ~2 2!р — — — 2 рр тр.р4 р ) = й ат+Ьт н ат+4нтррт+ — !и 26 !> В задачах 11.48 — 11.54 вычислить следующие криволинейные интегралы 1рго рода: 11.48.
(х+ у) Из, где С вЂ” контур треугольника АВО с вер- С шинами А(1, 0), В(0, 1) и 0(0, 0). /' (Ь рр.рр., ро — р р р, р тр р ~рр рр точки 0(0, 0) и А(1, 2). 11.50. хуан, где С вЂ” контур квадрата !х!+ /у! = а (а > 0). С 11.51. у~ рЬ, где С вЂ” первая арка циклоиды х = а($ — з!из), С у = а(1 — сов 4).
рр.рр./,/Р рр р,,„,с —,р„р„„р, р, с = а(соз т + ! зш !), у = а(зш 1 — т соз т) (О < ! < 2н). 11.53. /, где С вЂ” дуга линии х = 1, у = т'/~/2, в = ! /3 Г урЬ 2 3 / х+Зв' с от 0(0, О, 0) до В(т/2, т/2, 2т/2/3). 11.54. (х~ + у~) р2в, где С вЂ” дуга логарифмической спирали с г = аез"' от точки А(а, 0) до точки 0(0, 0). Гл. 11. Векторный анализ 11.55, Найти массу всей астроиды х = асаззг, у = аз1п с, з если плотность ц(Р) в каждой ее тачке Р выражается формулой д(Р) = й)ху), где )с > 0 — коэффициент пропорциональности.
11.56. Найти массу всей кардиоиды т = а(1+сов ~р), если плотность ц(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой р(Р) = й /т, где й > 0 — коэффициент пропорциональности. 11.57. Найти массу всей лемнискаты тз = аз сов 2со, если платность р(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой р(Р) = йт, где й > 0 — коэффициент пропорциональности. 11.58.
Найти массу дуги конической винтовой линии х = ае~соз8, у = ае~з1п1, « = ае~, если плотность и в каждой ее точке выражается формулой и = йе' (где й > 0 — коэффициент пропорциональности), ат тачки 0(0, О, 0) до точки А(а, О, а). 11.59. Найти, с какой силой масса М, равномерно распределенная вдоль окружности х + у~ = а~, « = с, притягивает точечную массу т, помещенную в начале координат.
11.60. Найти массу четверти окружности хз + уз = т~, расположенной в первом квадранте, если плотность ее в каждой точке пропорциональна абсциссе этой тачки (коэффициент пропорциональности сг). 11.61. Найти массу полуокружности х~ + у~ = т~, расположенной в верхней полуплоскости, если плотность ее в каждой точке пропорциональна кубу ординаты этой точки (коэффициент пропорциональности ~3). 2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть С вЂ” кусочно гладкая поверхность, и(Р) — заданное иа С скалярное поле, Сы Сз,..., ф— произвольное разбиение поверхности С иа частичные поверхности, площади которых равны Ьиы лктз, ...,,лиг„, и пусть Р„(и = 1, 2, ..., я)— произвольные точки иа частичных поверхностях С„. Если существует предел последовательности интегральных сумм 2 и(Р„) Ьн, при ь=1 тахойатпн, -+ 0 (и и -+ оо), который ие зависит ии от способа разбиения поверхности С иа частичные поверхности, ии от выбора точек Р иа этих частичных поверхностях, то этот предел называется поеерхностяньсм иятпегролом 1-го рода ат функции и(Р) из поверхности С и обозначается через и(Р) йт = и(х, у, «) 6« з 2.
Криволинейные н поверхностные интегралы 17 (Йт — дифференциал площади поверхности), т.е. | п | (яш= и 1' у„)л .. такожде т ->о о и=1 (2) Если и(Р) непрерывна на С, то интеграл (2) существует. Вычисление интеграла (2) сводится к вычислению обычного двойного интеграла. Допустим, что прямая, параллельная оси Ох, пересекает поверхность С лишь в одной точке, т.е.
уравнение поверхности имеет вид г = з(х, у), и пусть С проектируется на плоскость Оху в область Р. Элемент йтт площади 1т выражается в виде Йтт — — отсов у, где у — острый угол, который нормаль к поверхности С составляет с осью Оьч соз у = Таким образом, | пот и(х, у, з) йт = и(х, у, х(х, у)) — = ж о и(х, у, х(х, у)) ах Ну. жели прямая, параллельная оси Ох, пересекает поверхность С в двух или ее точках, то С разбивается на части, каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оз, лишь в одной точке. Интегрирование едует выполнять по каждой из полученных частей. Вместо плоскости Оху поверхность С можно проектировать на плоскости Охз или Сух.
Для двусторонних поверхностей поверхностный интеграл 1-го рода аависит от того, по какой стороне поверхности он берется. Физичей смысл поверхностного интеграла 1-го рода зависит от физического рактера данного скалярного поля: он может определять массу, распреенную по данной поверхности, электрический заряд и т.д. Пример 2. Определить статический момент относительно плоско- Г: ° ° Оху и положение центра масс однородной полусферы С (плотнос- 1) хе+уз+лэ — Лэ (х > 0) чз Имеем М „= зло = ттз — хз — уэ дх Ну, Гл. 11. Векторный анализ 18 где  — круг хг + уг ( Вг, » = О. Так как на полусфере х ах + у 41у + +» а» = О, то д» х д» у дх »' ду откуда хг + уг +»г М.„= »до= Вй йу=Л,Ь,1у=В.хВ»=„В», Определим теперь координаты центра масс полусферы.
В силу симметрии хо = уо = О. Далее, так как площадь Я поверхности полусферы С есть 2яВ2, то М,„Я »о= — = —, с 2 Пример 3. На всей поверхности конуса с высотой Ь и радиусом основания а распределены электрические ааряды. В каждой точке поверхности плотность заряда пропорциональна аппликате этой точки (е = Ь»). Вершина конуса — в начале координат, его ось направлена по оси 0». Определить суммарный ааряд всей поверхности конуса.
а Суммарный заряд основания конуса равен произведению его площади яаг на плотность точечного заряда, т.е, ЬЬ. Таким образом, Е„„= = Ьха»Ь. Заряд боковой поверхности 0 определяется интегралом Вбак.пав — Ь» аа. с 2 Ь 2 Уравнение поверхности конуса»2 = — 1хг + уг), О (» ( Ь. Дифферен- аг Ьг д» Ьгх д» Ьгу пируя, находим» Й» = — 1х 44х+ у ау), откуда — = — —, — = — — и, аг дх аг»'ду аг» следовательно, Ь4 х2+у2 /аз+ Ь2 1+ —.
т а4»2 а э 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 19 Поэтому где й — круг х~ + у~ < а~, г = О. Переходя к полпрным координатам, получаем: о гсго и, ь,охи~„~, о о с 2 = -ЬхаЬ ~/а~ + Ьв. 3 Находим весь заряд: Е Евсв + Еврк цв» Ьха Ь + -ЬпаЬ~/ а + Ь 2 3 ЙпаЬ = — (За+ 2~/аэ + Ьв). с 3 Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода: 11.62. х~увИо, где С вЂ” часть плоскости х+ у+ в = 1, лежащая в первом октанте. ""П" С хз+ув=аз О(х(1. 11.64.
(х~+ у~ + ха) с(о, где С вЂ” сфера х~+ у~+ х~ = 1. 6' 11.65. (х+ у+ х) йт, где С вЂ” часть сферы х~+уа+лз = а~, С лежащая в первом октанте. 11.66. Определить массу, распределенную на части поверхности гиперболического параболоида 2ах = х~ — у1, вырезаемой цилиндром х~ + у~ = а~, если плотность в каждой точке поверхности равна Ь)х), где Ь > 0 — коэффициент пропорциональности. 11.67. Определить момент инерции однородной (плотности 1) боковой поверхности конуса в = ;/х" + у~ (О < г < а) относительно оси Ог. Гл. 11. Векторный анализ 20 11.68.
Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности двуполостного гиперболоида г 2 = х2 + у2 + а2 (а < в < а~/2), если плотность заряда в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (е = Йз). 11.69. Определить массу, распределенную по поверхности куба (х( < а, ~у! < а, Ц < а, если поверхностная плотность в точке Р(х, у, х) равна 1с анжу~), где )с > Π— коэффициент пропорциональности. 11.70. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности параболоида 2ал = х2 + у2, вырезаемой из него цилиндром х + у = а2, если плотность заряда в каждой точке равна й~/з, где к > Π— коэффициент пропорциональности.
3. Криволинейный интеграл 2-го рода. Пусть на дуге АВ кусочно гладкой кривой задано векторное поле а = а(г) = а,(х, у, г)1+ + а„(х, у, в)3+а,(х, у, г))с, пусть А = Ао, А1, Ат, ..., А„1, А„= В— произвольное разбиение дуги АВ на частичные дуги, Р, (и = 1, 2,..., ..., я) — произвольные точки на дугах А, 1А„а Ьг„— приращение раднус-вектора г(Р) на концах дуги А 1А„. Тогда, если сушеп ствует предел последовательности интегральных сумм 2 (а(Р„), Ьг„) и=1 при гпах)Ьг„! -+ 0 (и и — 1 оо), который не зависит,ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги,ни от выбора точек Р, на этих частичных дугах, то этот предел называется криеоликейкым икя1егролом 2-го рода по дуге АВ и обозначается через (а, Нг) = а,ах+овну+а,йс, АВ АВ (3) т.
е. п (а, Пг) = 1пп Д~ (а(Р„), Ьг„). мах )ьв'„)-+о и=1 АВ Здесь (а, Пг) и (а(Р„), Ьг„) — скалярные произведения векторов. Если вектор-функция а(Р) непрерывна на АВ, то интеграл (3) существует. Интеграл (3) называют также ликейкьск иигаегралаи вектора а(г). Аналогично определяются линейные интегралы в плоских и многомерных векторных полях. Если даны параметрические уравнения дуги АВ: з 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 21 х=х(!) у = у(!) х = х(г) !о <1<с! то и АВ + а,(х(1), у(!), х(!))х'(!)) й. (4) Эдесь !о и 11 — значения параметра 1, отвечающие точкам А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
