3 часть (1081356), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти градиент произведения двух скалярных функций и и о. а Имеем етая(ио) = 57(ио) = о(ио) +»7(ио) (стрелка указывает функцию, на которую «действует» оператор). Но »7(ио) = о'Ги = о бга»)и, г7(ио) = и'7о = и бган о. Таким образом, бга») ио = ойта»(и+ нега»1о. с Пример 5. Найти гас[а, с], где с — постоянный вектор. О Так как по известной формуле векторной алгебры [а, [Ь, с]] = (а, с)Ь— « — (а, Ь)с, то, учитывая соотношение [»7, [а, с]] = О, имеем: гог [а, с] = [»7, [а, с]] = [~7, [а, с]] + [7, [а, с]] = ( о, с) а — (»7, а)с.
Но ( ч', с) а= (с, »7) а, а это есть производная вектора а по направлению вектора с. Далее, ('7, а)с = с(»7, а) = с йч а. Таким образом, гос [а, с] = (с, '7)а — с йча. ~> Выполнить следующие дифференциальные операции (с — постоянный, а и Ь вЂ” переменные векторы): 11.122. Найти йч (си) и йч (аи).
11.123'*. Найти Кгаг((а, с) и Кгаг) (а, Ь). 11.124. Найти йч[а, с] и йч[а, Ь]. 11.125*. Найти гоГ (си), гоб (аи) и го$ [а, Ь]. 4. Дифференциальные операции 2-го порядка. Можно образовать пять дифференциальных операций 2-го порядка: 1) йч дгаг(и = (57, Ч)и = 'Оэи = г5 и (лапласиан функции); 2) гос бга») и = [»7, »7]и; 3) дгаг(йч а = »7(~7, а); 4) йг гас а = (57, [~7, а]): 5) гоггога= [»7, [»7, а]]. Кроме того, операцию»7э можно применять и к векторным полям, т.е. рассматривать операцию »7эа. Вторая и четвертая операции приводят к нулю: гогйгаби = ['«7, '»7]и = О, йчго»а = (17, [»7, а]) г— а О. З 4. Специальныс виды векторных полей 35 Ото слсдУет из всктоРного смысла опеРатоРа сг: в пеРвом слУчае фоР- цельно мы имеем векторное произведение двух коллинсарных векторов, а во втором — смешанное произведение комппанарных векторов.
11.126. Получить выражения для с(гчрас1и = сг и, дгас) с(ггг а = г7(г(7, а), гоСгоСа = [г7, [г7, а]], г72а с72п г+ ~рсзо 3+ г72о )с через производные скалярного или векторного полей. 11.127. Найти рас(с)ггга, если а = хзг+ узы+ 221с. 11.128. Найти гоС гоС а, если а = ху21+ гув21 + зх21с. 11.129. Найти туза, если а = (у2 + з2)х1 + (х2 + х2)у1 + +(.2+уз)2 11.130. Найти с(гч рас) (ип). 11.131. Найти Пгас)с)гч(ис) и Пгас)с(гга(иа) (с — постоянный, а — переменный вектор). 11.132. Найти гоС гоС (ис). 3 4. Специальные виды векторных полей 1. Потенциальное векторное поле, Векторное поле а = а(г) называется иотеипиильиыж, если вектор поля а является градиентом некоторой скалярной функции и = и(Р): а(г) = расСи(Р).
Функцию и(Р) в эталс случае называкгт пстсипиолои векторного поля. Необходимым и достаточным условием потенциальности дважды диффсренцируемого в односвязной области полн а(г) является равенство нулю вихря этого поля: гог.а = О. (2) Пример 1. Проверить, что вихрь трехмерного векторного поля а = йгасСи тождественно раасн нулю (функцию и(Р) предполагаем дважды дифференцирусмой). дц. ди. ди ° з Тагг как а = ради = — г + — г + — 1с, то, учитывая равенство дх ду де смешанных производных 2-го порядка, получаем гос а = гос 3гас( и = — — — — — г + д д д д Гл.
11. Векторный анализ 36 В п. 4 предыдущего параграфа вто равенство было получено с использованием свойств символического вектора набла. Потенциальное поле обладает следующими свойствами. 1. В области непрерывности потенциала пола линейный интеграл от вектора поля, взлтый между двумя точками полл, не зависит от пути интегрированил и равен разности значений потенциала поля в конце и начале пути интегрированна (а, ссг) = (бгас)и, с)г) = с1и = и)В) — и(.4) (3) А л л (использована легко проверлемая формула (бгас1 и, ссг) = аси). 2.
Циркуляция вектора полн по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности полл, равна нулю. 3. Если поле а потенциально, то потенциал поля и(Р) в произвольной точке Р может быть вычислен по формуле (3): и1Р) = (а, с)г) + С, А (4) да, да. — ' = = =О, дх дх да, да„ вЂ” ' = —" = — 2у, ду дх дав да, —" = — '=2х. дх ду Следовательно, гос а = О. За путь интегрирования примем ломаную ОАВР, где 0(0, О, 0), А(Х, О, 0), В(Х, 1; 0), Р(Х, 1', Я). Находим: л в в и(Х, 1; Я) = (а, с1г) + С = (а, с)г) + (а, с)г) + (а, с)г) + С, олвв А и (а.
с)г) = 2ху с1х+ (х~ — 2уг)с)у — у~ сЬ. причем С = и(А), что легко получается подстановкой в (4) вместо переменной точки Р фиксированной точки А. Для вычислении интеграла (4) можно выбрать любой путь — проще всего в качестве такого пути выбрать ломаную со звеньлми, параллельными осям координат, соединяющую точки А и Р. За точку А удобно принимать начало координат (если оно лежит в области непрерывности поля).
Пример 2. Найти потенциал поле а = 2ху1+ (хт — 2уг)3 — уЧс. О Убедимсл, что поле потенциально: 3 4. Специальные виды векторных палей Так как на [ОА] имеем у = з = О, ф = сЬ = О, О < х < Х, то л (а, пг) = О. с Аналогично, на [АВ] имеем х = Х, г4х = О, з = О, сЬ = О, О < у < У, поэтому и У (а,ог)= Х Ву=Х У. л о На [ВР] имеем х = Х, у = У, пх = ф = О, О < з < Я, значит, Р г (а, Дг) = — Уг с(з = -1'гЯ.
Таким образом, и(Х, У, Я) = ХгУ вЂ” 1'гЯ+ С. Возврашалсь к перемен- ным х, у, з, получаем и(Р) = хгу — у~с+ С. ~> Замечание. Изложенный метод отысканил потенциала полл применяетсл при решении таких эквивалентных рассмотренной задач математического анализа, как восстановление функции двух, трех и и переменных по их полным дифференциалам, а также при интегрировании дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей: 11.133.
а = (Зхгу — уз)) + (хз — Зхуг)1. яп2х сов 2у )+ соз2хз1п2у 1 11.134. а— 11.135. а = (уз — ху)(+ хг— 11.136*. а = [ — — — ~ 1+ 1— г / з у 2уг'1 11.137". а = ~ — — — — — ) (уг г хз) г — + ухг 3 + (х, +, гз)К 2 г з+ г У' х х 2хз''1 . 1+ ( )3+ ( хг гг уз ) Гл, 11. Векторный анализ 11.138*. Доказать, что во всюду непрерывном потснциалг нам векторном поле векторные линии нс могут быть замкнутыми. х) — р 11.139. Убедитьсл в потенциальности полл а =, .
Опрс- : 2 + У2' делить его особую точку и се циклическую постоянную. 11.140*. Доказать сформулированное выше свойство о том, что циркуляция по замкнутому контуру, окружаюшему особую точку, нс зависит от формы контура. 11.141*. Воспользовавшись формулой (4) длл определения потенциала поля, убедиться в том, что потенциал плоского поля, имеющего особые точки, будет многозначной функцией.
2. Соленоидальнае поле. Векторное поле а = а(г) называстсл соленоидаю ным, если дивергенция этого полл равна нулю: с11ч а = О. Длл трехмерного полн это условие маасно переписать в виде да, да, да. Йча= — "+ — + = =О. дх др дг (5) В таком палс в силу теоремы Гаусса-Остроградского равен нулю поток вектора поля через любую замкнутую поверхность. Исключение мажет быть только в случае наличии в таком поле особых точек (в которых нектар полн нс определен и дпвсргснцил полл, сели ес апрсдсллть в такой точке при помощи формулы (1) э 3, отлична от нулл). В этом случае поток через захссснутуча поверхность мосвет быть отличен ат нулл, но будет иметь одно и та все значение длл всех замкнутых поверхностей, окружающих данную группу особых точек.
Пример 3. Доказать, что длл любого дважды диффсрснпируемого трехмерного векторного поля а = а(г) поле вихрей солсноидально. э Имеем Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых поле терлет свойство непрерывности (так называемые особые точки), то циркуллцил по замкнутому вонтуру, окруасающему тассун~ точку, маскст быть отлична от нуля. В этом случае циркуллцил по контуру, обходлщему данную особую точку один раз в положительном направлении, нс зависит от формы контура и называется циклической постоянной относительно данной особой точки.
Аналогичными свойствами обладают трехмерныс поля с особыми линилми, вдоль которых поле терлст свойство непрерывности. З 4. Специальные виды векторных полей учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, получаем 39 д /да. да, 1 д /дах да:~ йчгоса = — 1 — ' » + — ~ — * — =/ + дх ~ ду Д.,) ду (, д. Дх,) д /да„да,1 + — ~ /— — — *(~=0. ~ дг 1, дх ду ( 3. Лапласово (или гармопнческое) поле. Векторное поле называется ланласевым (или гармоническим), если оно одновременно и потенциальное, и соленоидальное, т.е, если гога = О и йча = О.
(б) П р и м е р 4. Доказать, что потенциал и двумерного или трехмерного лапласова поля является гармоническеи" функцией двух или трех ди ди дзи ди ди переменных (т. е. — + — = 0 или, + — + — = 0) . Дхг Дуэ Дхг Дуэ Дгэ 0 Действительно, имеем д и д и йгса = йчцгаг»и = + — = 0 дхэ дуз для двух переменных, ди ди дэи йча = йчцгзби = — + — + — = 0 дхз дуэ дг' для трех переменных. В и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
