3 часть (1081356), страница 9
Текст из файла (страница 9)
12.22. Г Зпз — 1' „, / ( .~ц( ~т! п2+3 12.23. ~~У аш —. 12.24. ,'1 и 4 з+бп' п=1 и=! Ое Ое 12.25. ~З п2 18е —. 12.26. ~ ут(2 агс!8 —,. — п 12 ' п=з п=1 12.27. ,'1 12.28. ~~! е " . п=2 п=1 12.29. ~ 2п СОЭ,~тП + 1 ат.1~П1 12.30. '(11+ 1)3" пг и=! и=! Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость следующие ряды: п2+ 5 п 12.31.
~~у, . 12.32. п=1 и=! 3 12.33. — + 1 12.34. ~~т и=! 12.36. '~ ' 3 5... (2п + 1) 1 4... !Зп — 2) (3 +1).' 12.35. ~ 8 пг п=! 12.37. 1 3 5... (2п — 1) 22п (П вЂ” 1)! и=2 3 5 — + 1 4 2 ь! п! 12.16. Доказать, что всякий абсолютно сходящийся ряд является ридом сходпщимси.
12.17. Доказать, что члены сходящегося рида можно группировать, не меняя их порядка, произвольным образом. 12.18. Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлать произвольным образом; при этом сумма рида не изменится. 3 1. Числовые ряды 55 ии 12.39. $ ~- и!(е — 1)и П=1 аш '4и 12.38. Е 3" П=1 Используя признак Коши, исследовать на сходимасть следующие ряды: Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: 00 12.49. т ' х и1п2и' П=2 00 12.51. и!пи П=2 Исследовать на сходимость ряды: 12.22.
2 ( ) 12.55. ~~1 П=1 12 21. 1 и+1 — 1п 1/и и — 1 из+ 1' (-Г 00 и 12.59. т ~-', (2и — 1)и 0=1 12.42. 2 — (1 4-) п=1 12.44. 2 lт ( П=1 12.44. 2 „- = ( П=1 -"Й( ."Г 2 12.41. 2 (1 4 !) и=! 12.42. 2 — (14 — ) и=! 12.45. ~~1 т! ~агсейп -) и и=1 !4 П2, п,22 21+1 ' 3й — 1 12.48. 2 ( ) . 12.54. П=2 12.56. и=! 12.58. ~ п=1 12.60. ~~2 Гл. 12. Ряды и их применекие 12,61.
100+, +... + + .. 100 103 100 103... (97+ Зп) 1 5 1 5 9...(4п — 3) 1 11 1 11 21 1 11 21... (10п — 9) 1262. 1+ —,+, +...+ + (2!! — 1 ! 1 1 5 1 5 9 1 5 9...(4п — 3) 2246246810(4п — 2)!! 12.64. ~ .. 12.65. ~ ~ — ) ,А+1 —,й: 1 1= Ы вЂ” 1! "1"-0 п.'!/4 ' ' ' 1п ! 1) п=г и=г 12.66. г (1,— „, — ! (а — „,)). е=! 12.68. ~! вп— 2пг и=! 2 5 2.5 8 2 5 8...(Зп — 1) 1273. 2+ — + „+...+ +.. 1.5 1 5 9 1 5 9...!4п — 3) птоо 12.74. г а=! 12.78. + 14147 100 100 102 100 102 104 1 4 Т... (Зп — 2) + + 100 102... (98+ 2п) 12.6Т. (2п)! СО / 12.69. ,'! 1п ~ 1+ — ). пг) ' е=! 3" и' 12.Т1.
и=! 12.70. ~ п1пп1и!вп и=3 12.72*. , ~л 12.75. ~ 1и ~ 1+ -). 1! п) И=! 12.е, г ( 3 1. Числовые ряды 57 12.79. ~г п=1 12.81. ~~1 п=2 12.82. ~ и=1 12.85. ~~1 п=1 3 ' ' ' з 3 и(, г/иг — 3/72) 1 ит/)и' и л-' (311+ 1)(2,/и — 1) 12.84. ~г п=1 (2+1)п и ~ 1 12.86. 1 2" ~ (и — г) 1/и 1 12.87. Исследовать на сходимость ряд Ъ при разин(1п и)п п=2 личных действительных значениях р и сг.
1 12.88. Исследовать на сходимость ряд 2 '-' ио(1п и)" (1п (и гг) д =3 при различных действительных значениях р, сг и,9. 12.89. Убедиться в том, что признак Даламбера неприменим к СО 2" ' 2" РЯДУ,~ Ип, ГДЕ иэе 1 = — ~ ,иэн = †„, тОГДа КаК ПРИЗНаК КаШИ п=1 показывает, что этот ряд сходится. 1 3/и+1 3. Признаки Условной сходимоети. Признак Лейбница. Пусть члены ап энакочередунггаегося ряда аг — аг + аэ — ал +... + ( — 1)""'ап + .. (7) дейсгпеительны, могготонно убыоингт, пь.
е. (8) аг > аг » ... ап > . (9) !ио ап = О. и-гоп ( 1)п-г-г гг=1 Тогда ряд (7) сходитсц причем для его суммы 5 имеет место оценка 8<аг. П р и м е р 11. Исследовать на сходимость ряд Гл. 12. Ряды и их применение 58 1 1 1 З Так как аи = — > = аие1, и = 1, 2, ..., и !пп — = О, то и и+1 " ' ' ''''' и- п выполнены условия (8) и (9), и данный ряд сходится. Ряд из абсолют- 1 ных величин членов, т.е, ряд ~ —, расходится. Следовательно, ряд и' и=1 (-1) — сходится условно, с и-1-1 1 п и=! Признак Абеля — Дирихле. Пусть члены последовательносспи (Ьи) монотонно убывают: Ь! > Ьт »...
Ьи > ... и 1пп Ьи = О, а частичные суммы Яи = а! + аз +... + аи, п = 1, 2, ..., ограничены в совокупности, т. е. аь < М длл всех п Е )Ч. Ь=1 Тогда рлд ~ ~аиби сходится. и=1 Пример 12. Исследовать на сходимость ряд а=1 з Очевидно, что в точках х = тх все члены ряда равны нулю, т.е. при х = тл ряд сходится и его сумма равна нулю. Пусть теперь х фО (табл). Подсчитаем сумму и 1 и а!пЬх = — ~~! 2сбп — а!пух = 2сбп — ь ! 2 2 = — '~(- ( --') -- (--').) = 2 х ! 1! сов — — соа ~п + -) х 2 (, 2) х 2 а!и— 2 Отсюда заключаем, что для любых и = 1, 2, ... и х фО (тоб л) Са !.
Числовые ряды 2Л 1! 1 далее, последовательность ~ — у! монотонно убывает и !!!и — = О. П-11О И давим образом, при и фО (п1о!! х) выполнены условия признака Абеля-. а!и 9х дирихлс и потому ряд ~ — сходится. Олсдовательно, ряд сходится й !1=1 при любом х. !> Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды: 12.90.
~ ( — ц" ~1 . 12.91. ~~2 1 (-Ц" Зп — 1 т! ту!пт п=1 п=! СО 12.92. ~ (-Цп " . 12.93. ~ (-Ц" ~ " 7! . и=! и=! 1 1 4 1 4 7 п„,1 4 7...(Зп — 2) 12.94. — — — + —...+( — Ц"~' + 3 3 5 3 5 ° 7 3.5 ° 7...(2п+Ц СО СО п! 12.95. У ( — Цп —. 12.96. ~л ( — Цп п 1 3 5...(2п — Ц п=2 п=1 1 и-1 2З П22! СО ~(- )и-' — "„. 12100. Е( — Цп п=1 п=2 СО СО 2 соа пст п2п 12.101. ~~ 12.102. ',1 (-Ц" —. п2 п! и.=! и=! 12.103.
У, ( Ц п !пи~/!и!пп а1п пот 12.104. ~ (!и 3)" .и 12.106. ~~2 и п=! 12Л22. 2 пп а1п— 12.105*. ~~2 4 п п=1 12Л21. 12.109. п=1 Гл. 12. Ряды и их применение бО Убедиться в том, что к рядам ~ ~ип с указанными ниже члеп=! нами 1й Е уч) нельзя применить признак Лейбница. Исследовать зти ряды на сходимость другими способами. 1 1 12.110*. изь-! = —, ите =— т/й+ 1+ 1 тЯ+ 1 — 1 1 1 12.111. изь-! = изе =— 3/с+ 2' 36 — 1 1 1 12112 изь-! = — „, изе = — — „. 3" ' 1 1 12.113. изь ! =, изь = — —. ,~2 ' 12.114*. Доказать, что иа сходимости рядов т (а„! и ! )6»(~ и=! и=! следует абсолютная сходимость ряда ~~> а»6», с„ = ~~~ ая6„ яв!, и Е г!.
ь=! Исследовать на сходимость произведение по Коши следующих рядов; Ер 1 и=! 1 и ~~! и и=! 12.115**. ~) — и 1 и2 и=! 12.Пт*. ~~ и 12 116* Е 2 и 1 п=! 12.118*. ~~) — и 1 и и=! 12.119. Доказать, что если ряд ~~! ап сходится абсолютно, а и=! ряд ~~ 6» сходится, то произведение по Коши сходится. Произведением по Ко!ни рядов ~ а„и ~ ~6„называетсн рял ~ с„, »=! и=! »=! члены которого получены по формулам З 2. Функциональные ряды 61 Пусть (оь)ген — произвольная числовая последовательность, Яп = ~) иь — частичные суммы сходящегося ряда ~1 иь, а Л„= в=о в=о иь — остаток этого ряда.
Проверить справедливость со/с=п+1 отношений (называемых преобразованиями Абеля): и и-1 12.120. ~~ иьоь = ~~ь (оь — ои-1)%/с — и/ ~о + оп~ /с=1 Ь=! и и — 1 12.121. ~ иьиь= ,'1 (оь — оь.ь/)(Яь — Я ) + ип(Бп — К ). Ь=тт1 /с=т-1-1 12.122. ~ иьоь= ~~с (иь — иь 1)Ль 1+ и +1 — о„г1„. /с=т+1 п=т+2 12.123. Доказать, что для остатка 21п знакочередующегося ряда (7), удовлетворяющего условиям признака Лейбница, справед- ЛИВО НЕраВЕНСтВО /тт„~ ( апЬ1. 2 2. Функциональные ряды 1.
Область сходимости функционального ряда. Пусть функции у„(г), и б М, определены в области Р. Выражение У/(г) + уг(г) + " + уп(г) + = ~~~ уп(г), г Е Р, (1) п=1 иааывается функциональным рядом. Если длн хо 6 Р числовой ряд Й- ,/'„(го) сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится сс 1 а точке го. Если в каждой точке г е Р1 С Р числовые ряды 2 /„(г) п=1 сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области Р1. Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области Р1, необходимо и достаточно, чтобы длл лн/бого г > 0 и лн/бого г Е Р/ существовало /с/ = /с/(г, г) такое, что ~уп-Ь1(г) + /сс<-2(г) + .
+ /и-ЬП(2)~ и. г дляесехп>Ж(г,г) ирой. Ил. 12. Ряды и их применение Для определения области абсолютной сходимостн функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если 1я.ь! (я) к-~со 1, (х) или !пп Яя(я)( = 1(я), то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство 1(я) < 1, а для определения области расходимости — функциональное неравенство 1(г) > 1. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е.
в точках, описываемых уравнением Па) = 1, требуется дополнительное исследование. П ример 1, Найти область сходимости функционального ряда 1 О Так как ((„(х)! = и х > — 2, то, применяя признав пЗ"чУ( +2) Коши, имеем 1 1 1 Пш " = 1пп я — ~ж пЗв, /(т+ 2)я п — ~со 3(х+ 2)!!т ~/й З~!х+ 2 1 17 Следовательно, ряд сходится, если < 1, т.е. при х > — —. 3~/х+ 2 9 17 я-!-! При х = — — получаем знакочередуюшийся ряд т ( — 1)"+' —, который 9 и' и=.! сходится по признаку Лейбница. Такиы образом, область сходииости ряда — полуинтсрвал [-17/9, +со). [> Найти области сходимости на абсолютную сходимость.
12.124. ~ ( — 1)"и *. я=! О!! 12.126. я=! рядов (гс е )й). Исследовать ряды и !/п 12.127. Г ~- и!(х+ 3)" я=! 3 2. Функциональные ряды 12.128. 22 пх. п=1 12.122. 12.130. п=1 12.132. ~2 е " *. 12.131. ~ хп фб —, 2и п=1 12.133. и=' (И + 1)(Х вЂ” 1)п 1 11п1, = —, (1, и >ОО (х 1)и+1н откуда заключаем, что рпд сходится абсолютно вне круга радиуса 1 с центром в точке 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
