3 часть (1081356), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1 аг — — 1, т.е. аг = —, и 1 2' (Л+ 1)(Л+ 2)олег — (Й вЂ” 1)ал. для Л: = 1, 2, . Так как а~ — — О, то аг,„„л = 0 для всех т = О, 1, ..., а для Л = 2гп. т = 1, 2, ..., полу юем рекуррептную формулу (2™ — 1)аг„, — 1 2 (2т + 1)(2т, + 2) ' иа которой выводплл равенства (2т. — 1)й (2т + 2)! Гл.
12. Ряды и их применение 90 Следовательно, искомое решение имеет вид х (2т — 1)" „„.„, з 2 1п ух = — +~ х' 2, (2т+ 2)! причем полученный ряд сходится при всех х Е лч. С Используя степенные ряды, проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 12.330.
уо+ ху'+ у = 1, у(0) = у'(О) = О. 12.331. уо — ху'+ у = х, у(0) = у'(О) = О. 12.332. уо + ху'+ у = х, у(0) = О, у'(0) = 1. в) Если козффициент при старшей производной в линейном уравнении в точке хо обращается в нуль, то следует воспользоваться следующей теоремой. Теорема 2. Если в дифференциальном уривнении (7) ро(х) у + р~(х) у + рг(х) у = 0 функцгш ро(х), р1(х) и рг(х) аполитичны в окрстпности тпочки хо, причем точка хо является нулем порядка в функции ро(х), нулем порядка не ниже в — 1 функции р1(х) и нулем порядки не ниже в — 2 функции рз(х), то решение уравнения (7) в окрестности точки хо существует и представляется в виде обобшенного степенного рлда у(х) = (х — хо)" ~~~ аь(х — хо), л=о где ао ф О и т ч Й. П р и м с р 7.
Найти решение (в виде обобщенного степенного ряда) уравнения хуо+ у'+ ху = О, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, у'(0) = О. З Козффициенты уравнения удовлетворяют условиям теоремы 2, поэтому ищем решение в виде обобщенного степенного ряда у(х) = х" ~ аьх" = ~ аьхл'л", ао 'Ф О. Имеем у' = ~(К+с)алх ~" ь=о уо = ~ (к+т)(к+с — цалх +" л=о 91 3 4.
Применение степенных рядов Подставляя зти ряды в уравнение, получаем ~(у+ )(Ь+ — ца,"' '+ в=о +~ (Й+т)а х "~ +~ а~х+"+ =О, т.е. т аех' + (т+ 1) агх" + ~ (()с+ т) аь+ аь г)х ~' = О. ь=г Отсюда следуют равенства тгао —— О, (т+ 1) аг — — О, (й+ т) аь + аь г — — О. )1о условию ае ф О. Следовательно, т = О, а тогда аг =0 и (с~аь=-аь г, /с=3,4, Из этих равенств заключаем, что аг ч.г — — 0 для всех т = О, 1, ... Учитывая начальное условие у(О) = 1, заключаем, что ае — — 1, и имеем рекуррентную формулу аг -г азщв (2т)г ' г)з которой получаем ((2,п)О)г 2гт(ш!)г' мледовательно, искомое решение запишется в виде ОО хгт у(х) = 1+ ~ ~( — 1)'",, х 6 К.
С т=1 Найти общее решение дифференциального уравнения в виде обобщенного степенного ряда: 12.333*. хуп + 2у'+ ху = О. 12.334. 4хуп+ 2у'+ у = О. 3 Уравнение и функции Бесселя. Частным случаем уравненин (6), вовффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 2, является УРавнение Бесселя (8) хгун г ху' ~ (хг нг)у = О, Гл. 12.
Ряды и ях применение Его решениями являются цилиндрические функции Бесселя первого ро- да порядка и (-')'" (9 (*)=:*Е(-) )(.,1)(.„) (.,„) и для нецелых и (.)х-я, ~2) 1 1- (*)=ао * ~~',( 1) ~~(1 )( ) (1 ). (О) а=о Если же и — целое число, и = п, то вторым частным решением уравне- ния Бесселя (8) является функция Неймана (или Вебера), определяемая из соотношения 1 (х) соа ит — 1 (х) У„(х) =!йп и->и а!и ия являющаяся цилиндрической функцией второго рода порядка я. Посто- янная ае" в формулах (9) и (10) берется обычно следуюшая: а! ! = О 2РГ(и + 1) где Г(и) = е *х" ~ дх — гамма-функция Эйлера.
о — (х 1,(х)) = х'1 ~(х), (12) (1 ( 1,(х) ~ 1,+!(х) <Ц~ 1 хи / хи (13) 12.336. Исходя из соотношений (12) и (13), вывести соотноше- ния 2и 1 -!(х) + 1 -н(х) = — 1 (х) 1 !(х) — 1 ~ь~(х) = 2~1(х). 12.335. Используя представление (9) для 1,(х), доказать следующие соотношения: 5. Ряды Лорана 93 12.337*.
Используя представление (9) и значение ао из (11), выразить 1 2~2(х) и 12~2(х) через элементарные функции. 12.338. Доказать, что если 1Дх) — решение уравнения (8), то 1о(ах) является решением уравнения х ун + ху'+ (сь х — и )у = О. (14) Записать общее решение уравнения (14). Используя результат задачи 12.338, найти общие решения уравнений: 12.339. хун + у'+ 4ху = О. 12.340. 9хэуо + 9ху'+ (Збхэ — 1)у = О. 12.341. хэуо + ху' + (Зхэ — 4)у = О.
1 2 12.342. хэуо + ху'+ 9хэ — — ) у = О. 251 3 б. Ряды Лорана 1. Ряды Лорана. Теорема Лорана. Рядом Лорана называется ряд Сп(2 — эв)п; и=-ьь при этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд 12(2) = ~л~ сп(2 20) п=о ' — правильной частью. Если 1 Вт 1/)с „(=с<В= 1пп ~/)с„( и-Кю то областью сходимости ряда (1) является кольцо К = (2~0 < г < < )2 — вр! < В). В этом кольце к сумма ряда 1(2) = 12(2) + 12(2) Гл. 12. Ряды и их применение 94 является функцией аналитической, причем коэффициенты ряда сп свя- заны с функцией у(г) посредством формул сп = — / Г У(9) 1111, я = О, ~1, ..., (2) 2л1,1 (й — эо)" е1 1О-:о1ь и где г < г' < В.
Пример 1. Найти область сходимости и сумму ряда Лорана п(а — 1)' ~ 2п(я 1)п+1 и ~ Зп +7 п=1 =1 З Применяя признак Коши к каждому из этих слагаемых, имеем и 1 !цп <1 и +по 2п1а 11п1-1 я1з — Ц~ 1 я — 1 !пп — — < 1. и-п00 3" 3 Отсюда заключаем, что областью сходимости исходного ряда является кольцо К = (э11/2 < 1г — 1~ < 3). Замечая, что слагаемые являются производными от рядов ( 1)п Е 2п(, 1)п с , Зп и п=о п=о можем записать, что в кольце К ( 1)п — 1 (и' я Е 2п(, 1)п-11 и Зп — 1 Е, 2п(, 1)п / п=1 п=1 п=о ~'*'~ ...
(.)= — ('3')' 3 2 = — 2 + — = + 2я — 3/ ~,4 — з/ (4 — я)э (2я — 3)э 3 5. Рлды Лорана 95 Такиул образом, суммой данного ряда является функпип 3 2 1 у(г) — г+,, <~г Ц<3. с Тсорелуа Лорана. Если фрннцил Дг) аналтцггчна в кольце. П < г < )г — гс! < эг. то в зтвлу кольце вна едннтгувснным образом оредставилуа в виде рлу)гу Лоргунгл Дг) = ~~ с„(г — гв)", П= — ОО коэбэг)уициг нты нотоувео вычислльэтсл пв формулам (2). С~3 у Следствие. Пусть 11г) аналитична в циогосвлзной области Л, ограниченной контуром Г и внутренними контурами у,, .у,, ..., у„, (рис.
2). Если точка гв леувит внутри (или на границе) одного нз внУтРенних контУРов бл и величина г = пэзх )го — Ц( меньше гуе 'у расстоянии гг от гс до остальной части границы области 0 или до точки, вкоторой у(г) нс аналитична, т.с. О < г = уууах ~го — у1~ < ль = пэш ~го — уД, ВЕ "г Паси ууы..
ну уиг .у~УЭ...УЭЭ У(г) = ~ ~сп(гс)(г — гв)", г < ~г — г~~ < Л, коэффициенты которого суу(го) опрсдсллютсп по формулам (2). Радам Лорана для функпии Дг) в охрестнотлн тв тгу г = сс нааывастсп рнд у(г) = ~~~ спг или ~ сгууг — г4 П= — ~ П= — ОО (3) в некотором кольце г < (=! < +ос 1соотвстствснно < +ос), прц атом главной частьуо ряда Лорана лвллется сходлщийся < ) г — гу~ рлд ~~' с,г с е (г — а)п, а правильной — Рлд П=! в у в с„(г — а) П= — ОО П= — ОО то в кольце г < ~г — гуэ! < Л фуш.пия Дг) может быть представлена ее рядом Лорана Пл.
12. Ряды и их применение Пример 2. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию у(г) = 1 г(1 — г) а Так как аналитичность функции нарушается в точках г = О и г = 1. то областью сходимости ряда Лорана будет кольцо О < !г( < 1. Зал2ечая, 1 по при я < — 2 функция аналитична в крут! !2( < р < 1, гвег(1 ) можем записать, что 1 ! 1 с(а=О для п= — 2, — 3, 2х! „/ г"+2(1 — г) 1 Далее, применяя формулу Коши для функции р(г) = — и се произ- 1 — г водных, для и > — 1 можем записать 1 / 'т.(г) 'т2" ' (О) 1 (Я+ 1)! 2х1 / г"'!2 (и+ 1)! (и+ 1)! (1 — г)" ьг . о Таким образом, для О < (г( < 1 Пг) =,(, „) =,-+,'.', 1 1 тт=е т.е.
главная часть содержит один член, а правильная —. бесконечно! число членов. С Вычисление контурных интегралов (2), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются искусственные приемы, Так, в примере 2 функцию у" (г) можно было бы представить в виде суммы дробей, т, с. причем первое слагаемое является уже рааложением в ряд Лорана по степеням г, а второе слагаемое есть сумл!а геометрической прогрессия со знамонателем г, т.
е. имеем разложение (4). Найти области сходимости и суммы следующих рядов: 1 нттт2тт 12.343. ~ . 12.344. ~ тт=с я=! -я-!-з 12.345. ~, . 12.346. ~ (и+ 1)2'"~ (г — !)". я=о я = — ОО 3 5. Рлды Лорана 97 Найти области сходимости рядов 12.347. + с;-( ( (х + 1)2п 4п2 ~,,2п(я+ 1) Зп(з+,)и п=1 12.348. ~~ + / (г — 21)" я2и '~"~ ~ Зи(яз + 1) (е 21)и и=1 00 l 2я+ 1 12.349.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
