Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 8
Текст из файла (страница 8)
х у г Отсюда находим го1 ж ! й д д ду дг д дх = 2о»х Г+ 2шг У+ 20»» й = 2ю.' го1 п=ЧХп = гыу — уо», хૠ— гы у— хыз Таким образом, го! Г, характеризуя «вращательную компоненту» поля око. ростей, равен удвоенной скорости врашення. 3' Найти го1 пгаб /. Используя оператор Ч, можем запасать, что го! йгаа ! = Ч Х (Ч!). Но вектор Ч) коллннеарен вектору Ч, а потому нх векторное произведение равно нулю, т. е. го1 йгаб ! = О. 4.' Показать, что завнхрснность поля достигает нанбольшего значення в направленнн ротора. Завнхренность поля Г н направления п равна проекпнн ротор» на это направление, т. е. (го1 Г)„= ) го1 Г) сон (и, го1 Г). ) ел+ — ( —, д(Н»уз! ! ! / д!и, У») д(Н» Ух) ~ ез ду / ! д !и» Ра! го1 Г Н„Нз ( ду Отсюда видно, что поле Г наибольшую завнхренность имеет в случае; когда соз (ль го!а) = 1, а это означает, что направление нормали и совпалает с направ.
пеняем гог )с, причем наибольшая завнхренность равна !гоге ) 5. Ротор в ортогональной криволинейной системе коордннвт. Можно показать, что РотоР вектоРного полЯ Г = Р»е»+ гзез+ гзеь заданного в кРиволинейной системе координат, вычисляется по формуле 8 б. Ротор векторного поля 41 Эту формулу удобно записать в символической форме Н,е, Н,ев Нзез д д д го1 Р= 1 н,и н, дог дов доз ИР' Н Р И,Рз Используя формулы (1.18), (1.18), получаем выражение для ротора в аидиидри- ческой системе координат.' е ре, е д д д дРр (8) др д~р дв Р рР Рв и в сферической системе координат: гмпее е„гав д д д(.Р„) 1 дР„) (- ~ — — — ~е = —, '1 г дг г де ~ е гзып8 д д<р гцпеР„ (9) дг де Рг П р и м е р Ов.
Найти ротор соз е системе координат Р= —, ег+ гв По формуле (9) находим векторного Р поля, заданного в сферичесной мне — е, е г з!п Ее е, 'аз д д го1 Р= 1 г мпе дг де О МпЕ гз гт 6. Формула Стокса. Формула Стокса является обобщением формулы Грина для пространственного случая. Она связывает циркуляцию векторного поля с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур. При этом будем говорить, что поверхность Х натянута на кусочно-гладкий контур Г, если существует кусочно-гладкая ориентированная поверхность У., лежащая в области (4 и имеющая контур Г своей границей (рис.
21). Трехмерная область ьз называется односвязног1, если любая замкнутая поверхность в ней ограничивает область, целиком лежащую в 42 Ь Элементы векторного анализа (2. В противном случае область называется л<ногосвязной. Примерами односвязных областей являются все пространство, шар, параллелепипед. Примером двухсвязной области является область, заключенная между двумя концентрическими сферами.
Трехмерная область (2 называется поверхностно-односвявной, если на любой контур 1', лежащий в О, можно натянуть поверхность Х, также целиком лежащую в Й. / Понятне поверхностно-односзязной области не эканвалентно понятню односвязной области I Примерами поверхностно-односвязной области являются все пространство, шар, параллелепипед. Как уже указывалось, область, заключенная между двумя концентрическими сферамн Е н Хн Г не является односвязной, но в то же время эта область является поверхностно-односвязной (рнс. 22).
На любой контур Г, з том чнсле охватывающий внутреннюю сферу Е<, можно натянуть поверхность Хз, целиком принадлежащую области () Примером поверхностно-неодносвязной области может служить шар, сквозь который проходят цнлнпдрнческнй туннель (рнс. 23) На контуры Г, охватывающке этот цилиндр, нельзя натянуть поверхност<ь принадлежащую области <). Рис. 22 Рис. 28 Рассмотрим ориентированную поверхность Х, ограниченную одним или несколькими контурами Г. Направление нормали к поверхности Х согласуем с направлением обхода контура Г по следующему правилу: направление обхода контура Г будем считать яоложитвльнь<м (согласованныж с ориентацией Х), если наблюдатель, расположенный на поверхности так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур Г, оставляя поверхность Х слева от себя.
Противоположное направление считаем отрицательнь<.н (см, рис. 21). Теорема Стокса. Пусть (з — поверхностно-односвяаная область, à — суссчно-гладкий контур в (2 и Х вЂ” кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур Г и лгжашря в Р. Пусть в области (2 задано 4 6. Ротор аеаторного поля 4З векторное поле г = Г (М) такое, иапо г (М) и го1 г (М) непрерьп,ны в области 11. Тогда т!иркуяяция поля г (М) по конгпуру Г равна потоку ротора го( г' через поверхность Х, т. е.
~ Р.бг = Ц~ о( Г и' бо, г х (10) Рис. 25 Рис. 24 Преобразуем левую часть равенства (11). При объединении двух ~осенних участков поверхности Е, и Е, в соответствии с правилом согласования направлений контура и поверхности их общая чащь границы будет проходить в противоположных направлениях (рис. 2б). Отсюда следует, что при суммировании двух циркуляций интегралы причем направление контура Г и ориентация поверхности Х согласованы. Разобьем поверхность Е на й частей Е, ограниченных соответственно контурами Г„, ч = 1,2,..., й. Рассмотрим ч-й элемент Е, поверхности Е.
Возьмем произвольную точку М„с: Е„проведем черна нее нормаль пч и касательную плоскость и, к поверхности Е. Обозначим через у, проекцию контура Г на плоскость и, через гхо,— площадь поверхности Е„а через Л5, — площадь проекции поверхности Х, на плоскость п„(рис. 24). Из определения ротора (4) следует равенство 1 Р бг = (го!Р (М,))„, бЕ,+о(ЛЗ,). тч При достаточно мелком разбиении это равенство будет верно и для контура Г, поверхности Х,: Г~ Р бг.= (го1 Р(Ма))„бо, +о(Лоч), о = 1, 2, ..., А. г„ Суммируя полученные равенства по всем ч, найдем соотношение ~~'„', ~ Р' бп = ~и (го! г (Ма))п, Ло, + о(бо,).
(1!) '='г ч=1 ч 44 !. Элементы векторного анализа по общей части границы уничтожаются и остается циркуляция по контуру, ограничивающему объединение поверхностей Х, () Х„ ф Р дг+ ~ Р дг = ф Р дг+ ф Р дг = ~ Р дг. т г АОСВА ОЕРСО АВЛВА Суммируя контурные интегралы по всем и, получаем интеграл по общем контуру, т. е. у ~~Рд =~Рд. г г Равенство (11) принимает вид а ф Р дг= Д', (го1 Р(М )„ч, Ло +О(йа„)), г (12) Сумма ~ч',з (го1 Р(М,))лч Ло, является интегральной для поверхнот =! стного интеграла П го1 Р. ио до. Переходя в равенстве (12) к пределу, получаем равенство (1О).
~ Формула Стокса (10) в декартовой системе координат имеет вид (()) Рхдд лгРа дУ+ Ргдз Д( )дУдз (г г х ! дЕх дР* дуу дух +~ — * — — *) дхдг + ~ —" — — ") дхду. (13) дх дх ) '1 д ду) ление й д дг 0 д д го1 Р =— дх ду Р. Рк н формула Стокса (!3) принимает енд !~) Р„дх + Р, ду = Д ( —" — — ') дхду. г Х В частности; если за поверхность Е взять плоскую область 6, лежащую анутрн контура Г, то е этом случае формула Стокса превращается а формулу Грина !).!3).
Поэтому формуле Грина можно дать следующую векторную трактовку: пнркуляпня плоского векторного поля равна потоку его ротора через область, лежащую внутри контура. Введенные в этой главе понятия градиента, ротора, дивергенции, а также полученные формулы Грина, Стокса, Остроградского — Гаусса находят широкое применение в физических и технических пригюхсеииях, связанных с рассмотрением реальных физических полей. 3 а и е ч а н и я. 1. Иа формулы Стокса следует, что если на контур Г натянуты дэе поверхности Х! и Хз, то потоки го1 Р через эти поверхности равны, 2. Пусть поле Р— плоское, например оно определено а плоскости хОу формулой Р = Р„(х, у) 1+ Рз(х, у) у' тогда аля го1 Р получаем представ- ~ ] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ й И ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 1.
Понятие и свойства потенциального поля. Векторное поле Г(М) называется погпенциальным в области (г, если существует такое ска- лярное поле 1(М), что для всех точек этой области Е (М) является полем градиента этого скалярного поля 1 (М), т. е. Е (М) = Ега й ) (М). (1) При этом скалярное поле 1(М) называется потенциалом векторного поля Г (М). Потенциальное поле является одним из наиболее простых век- торных полей, ибо оно полностью определяется одной скаляр- ной функцией 1(М) — потенпиалом, в то время как произвольное векторное поле Г (М) определяется тремя скалярными функциями— пРоекпиами Р„, Рв, Р,.
В дальнейшем бУдем пРедполагать, что поле Г непрерывно дифференцируемо в рассматриваемой области. Теорема 1. Если поле Е потенциально, то его потенциал опреде- ляется этим полем однозначно с точностью до произвольного постоян- ного слагаемого. лЕ Предположим, что поле Е имеет два потенциала 1, и )„т. е. Е = = Егаг! 1, и Е = ягай г,. Тогда йгай (г, — ~,) =О. Отсюда и сле- дует, что ~, = 1, + с. (См, свойство г) градиента в Е 2 гл.!). ~ Теорема 2. Если поле Е потенциально в обласп1и 11, то работа не зависит от формы пути и потенциал ( (М) с точностью до произ- вольной постоянной определяется с помощью криволинейного интегри- ла второго рода 1ЛН г(М) = ~ р„йх ! р„йу+р,бг, (2) (мл взятому по произвольной кривой Т Е 11, соединяющей точки М и М.
Здесь М,(х„, у„г,) — некоторая фигсированная точка из (л, а М (х, у, г) с ьг — произвольная (переменная) точка. Работа А поля Е по некоторому пути Т, соединяющему точки М, и М, вычисляется по формуле А= ) Е йе= ) р йх+г„йу +с йг. м,м м,м 4В П. Специальные виды векторных попей Поле Р потенпиально, тогда существует потенциал ( такой, что Р = = угад (. В этом случае скалярное произведение Р дг = йгад( де= — дх + — ду+ — дг = д( д( д/ д( дх ду дх есть полный дифференциал от потенциала (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
