Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, из равенсти — ог ва (18) с помощью предельного перехода получаем формулу (16), дающую интегральное представление функции 1 (Р). В частном случае, когда à — гармоническая функция, т. е. Л) =О, то в формуле (16) пропадает тройной интеграл и получаем для гармонической функции интегральное представление 1 ~(Р) =- — Ц вЂ” — йо — Я ) с(о (19) х к — ~ с1о= О. $ — "' йгг (22) в виде линейной комбинации поверхностных интегралов. формулу, аналогичную (16), мои!но получить и для плоской области о г)та формула приводится в следующей теореме. Теореме 2, Если функция г' (М) непрерывна вместе с частными лроиззоляы.
ми до второго порядка гключитгльно в плоской области о, ограниченной контурам у, то значение функции 1' го внутренней точке Р определяется фарг)улой 1 й!и— 1(Р)= — СТ)1п — — 1 й( — С)))~ й) — 11 (п — Ь|бо, (20) 2п Д' г йл Д бл ,)1 г т т гдг г — расстояние между точками Р и й) 6 6. Не останавливаясь на доказательстве теоремы 2, укажем, что она доказывается аналогично теореме 1 с использованием второй формулы Грина для слу.
! чая двух переменных (13), в которой функция ф = 1п — — гармоническая всюг ду, кроме точки г = О. В частноы случае, когда ) — гармоническая функция, формула (20) прнни. мает вид 1 д 1п— ))Р) - — ' (ф),— ' — "г! — ф) " г)). )га 5. Свойства гармонических функций. Рассмотрим фукцню гармоническую в односвязной пространственной области ьг; отметим ее свойства. А.
Интеграл от норлгалоной производной гарлганической функции по любой замкнутой повгрхноспга Х, лежащей в области ьг, равен нулю: й 3. Лвппвсово векторное попе 55 Рис 84 3 звк. >гав Равенство (22) получается из второй формулы Грина (10), в которой функцият)> = 1. Б. Теорема 3 (теорема о среднем). Значение гармонической функции в центре Р шаровой области 6л равно среднему арифметическому ее значению на сфере Хп (4т' — радиус сферы): ! (Р) =, $ ) (М) йо. хл На сфере Хл с центром в точке Р имеем: г = 1с, б — гбп= — 1%в. 1 ! ° / Применяя вначале формулу (19) и затем учитывая свойство А гармонических функций, получаем равенства, доказывающие формулу (23): )(Р)= — à —  — До+ Ю Ио = ВИо.
В ! >' ! и 41 Р В гп Нт — ~лйт гл л хл В. Теорема 4. Если функцил1, гармоническая в области Й, непрерывна в замкнутой области й1 и не является постоянной, то свои наибольшие и наименьшие значения она принимает на границе области. 4 Функция 1 непрерывна в замкнутой ограниченной области Ы, поэтому она обязательно достигает в ней своих наи- тС=ми большего и наименьшего значений. Проведем доказательство для наибольшего значения. Предположим, что функция 1 достигает своего наибольшего значения со внутренней точке М„т. е.
>пах1(М) =1(Мв). мса Точка М, может быть не единственной. Но так как функция 1 (М) чь ~ сопз(, то за Мв Е Й берем ту точку, в окрестности которой найдется точка М такая, что выполняется неравенство ) (М) (1(Мв). Проведем сферу 2> с центром в точке М, радиусом МеМ = 1с (рис. 34). Из непрерывности функции 1(М) следует, что неравенство 1(М) ( (1 (М,) будет выполняться на некоторой части сферы Х, с: г..
По теореме о среднем для сферы г. имеем >>м,>- —, ()>>и>т —, (Д>т т.)(>т ). >>4> х > х, х — е, На г.> выполниетсЯ стРогое неРавенствог(М) (1(Мв), а на Х вЂ” Х,— нестрогое неравенство ! (М) ( ! (М,), поэтому из равенства (24) получаем соотношение бб и.
Специальные виды векторных полей Таким образом, мы пришли к противоречию ! (М,) ~ ) (М,) а это и доказывает теорему в случае наибольшего значения. Аналогично доказывается утверждение и для наименьшего значения. 1» Следствие. Если гармоническая в ь) и непрерывная в (г функция ! (М) достигает наибольшего (наименьшего) значения внутри области Й, то ) (М) = сопз(. Если предположить, что функция ~ (М) Ф сопз( и достигает наибольшего значения во внутренней точке М„то придем в противоречие с теоремой 4.
~ Г. Теорема 5. Функция )" (М), гармоническая в ограниченнойобласти ьг, непрерывная в замкнутой области ьй и принилтаюсцая постоянные значения с на границе Х этой области, тождественно равна с в сбласти ь). ч( Доказательство этого утверждения непосредственно следует из свойства В. Если ! = — с на границе г., то гпах)(М) = пи(п)(М) =с.
меи м ей Значит, ! (М) = — с = сопз( всюду в области О. )» Все указанные свойства выполняются и для фунннии с'(М), гармонической в плоской области й. Естественно, конечно, что свойства А и Б выглядит иначе, а именно: формулы (22) и (23) залтеняются соответственно равенствами в) — И=О вп 7 (25) 1 ! (и) = — ~) ! (М) М. 2пл 9) (26) й 4. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Уравнение (1) называется уравнением Пуассона, частным случаем с го является уравнение Лапласа при д (М) = О с)Р = О. (2) 1. Постановка краевых задач, их единственность. Нашей главной задачей гл. ! было всестороннее изучение заданного скалярного ) (М) или векторного Е (М) полей. В этих полях были введены и изучены различные дифференциальные операции. В 5 1 и 2 гл.
11 были рассмотрены задачи восстановления скалярного или векторного поля го их дифференциальным свойствам. Теперь решим задачу нахождения скалярного поля по его лапласиану: А! = д (М). й 4. Задачи дира»ее и Неймана В7 Уравнение Пуассона (1) является уравнением в частных производных, и ему удовлетворяет бесчисленное множество функций, отличающихся друг от друга на гармоническую функцию. Например, решением уравнения да 1 да ! — + — =1 дха ду» будут Функции 11 = х ~2~ ~а = у~!2, ~а = х~/2+ бху н многие другие функции.
Задача, состоящая в нахождении решения уравнения Пуассона (1), не удовлетворяющего каким-либо дополнительным условиям, малосодержательна. Дополнительными условиями могут быть так называемые граничные условия. В зависимости от граничных условий рассматривают различные краевые задачи, Пусть задана область а), ограниченная поверхностью Х. Если решение ищется внутри области (1, то говорят о внутренней краевой задаче, а если решение ищется вне области Й, то говорят о внешней краевой задаче. Мы будем рассматривать внутреннюю краевую задачу и называть ее просто краевой задачей. Краевая задача ставится следующим образом. Требуется найти такую функцию 7 (М), которая была бы: а) непрерывной в замкнутой области а1 = 11 + Х; б) обладала бы непрерывными частными производными до второго порядка включительно в открытой области Й; в) удовлетворяла уравнению (1); г) удовлетворяла на Х граничным условиям.
Наиболее практически важными краевыми задачами являются задачи Д и р и х л е и Неймана. Задача Дирихле формулируется следующим образом: найти решение уравнения Пуассона (1) в области а1, принимающее на границе заданные значения 1/х =а(й7). (3) Если же требуется найти решения уравнения (1) в области а1 по граничным значениям нормальной производной то в этом случае имеем задачу Неймана. Не касаясь вопросов существования решения задач Дирихле и Неймана, установим единственность этих решений. Будем предполагать, что функция а (М) непрерывна в области 11, а функции а(1У) и р (й7) непрерывны на поверхностн л' и что существуют решения 7 (М) поставленных краевых задач. Теорема !. Решение 1 (М) задачи Дирихле, если оно суи1ествует, единственно и непрерывно зависит от граничных данных (3).
° 4 Предположим, что существуют два решения задачи Дирихле ~, и )'а. Тогда фУнкциЯ 7 1а — ~, УдовлетвоРЯет УРавнению Лапласа (2) 3» ба и. Слециальиые виды венториыи нолей Ь1 = Л1,— Л1, = й — й = О. Поэтому функция 1 является гармонической в области ьв и непрерывной в замкнутой области Й. На границе Х области (в функция 1 удовлетворяет нулевому граничному условию 1(е = 1з 1е — 1т (е = а — а ье О. По свойству Г гармонических функций 5 3 следует, что 1= О в 1), т.
е. 1, = 1,. Единственность установлена. Перейдем к доказательству непрерывной зависимости решения задачи Дирихле от граничных условий. Надо показать, что малому изменениго граничных условий (3) отвечает малое изменение самого решения. Пусть 1, — решение уравнения (1), удовлетворяющее граничному условию Це = а, (Л(), а 1, — решение уравнения (1), удовлетворяющее условию Це = а,(Л(), причем граничные значения а, (Л() и ав(Л() мило отличаются друг от друга, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
