Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Величину е/г называют потенциалам элоктростотичсскосо полк. Г' 4'. Проверить, что поле Р = 2рг юпфи + рг сов~уев + Р' з!п%е„ заданное в цилиндрической системе координат, потенциально, й найти его по теоциал. й 2. Сояеноилальное векторное поле 53 Полете определено во всем пространстве. Преверам, что го( )ч = 0: ре е, д д — — = р (соз ф — соз ф) е— дф дг о ер д др 1 го( го=в Р 2ргып ф рзгсозф рез)пф — 2Р(з)пф — з1пф) е, +2(гсозф — гсозф)е $. По теореме 4, поле гч потенциально во всем пространстве. Лля вычисления потенцнала / по формуле (7) выберем за Ме начало коордннат, за путь интегрирования возьмем ломаную ОАМ (рнс.
29); тогда имеем /гМ)-) Л пг+ ( Лег. ол Ам Так как на участке пути ОА имеем ф = сопз() г' 0 я Вг = Вре, а на участке пути АМ имеем д о' Р = Рф ф = фф н Вг Вге„то получаем аля потенцнала / следующее представленне: Рис. 29 о г /(М) ~Одр+ ) рта)пфдг=гр" миф+с. о й 2. сОленОиддльнОе вектОрнОе пОле 1. Понятие и свойства солеиоидального поля. Векторное поле гг (М) называется соленоидальным в области Я, если в каждой точке поля ди.
вергеиция его равна нулю: б)ч го = О. (2) Для соленондального поля, заданного в многосвязной области, утвержденне (2), вообще говоря, неверно. Это означает, что в многосвязной области могут существовать замкнутые поверхности, поток вектора через которые отлкчен от нуля Рассмотрим, например, двухсвязную область ь). ограниченную внешней поверхностью Х н внутренней Х (рнс. 30).
Возьмем произвольную замкнутую по- Равенство дивергенция нулю означает, что соленоидальное поле 'свободно от источников. Отметим простейшие свойства соленоидального поля. А. Из формулы Остроградского — Гаусса следует, что если соленоидальнсе поле задано в сдносвяэной области, то поток вектора через любую эалгкнугпую поверхность, принадлежащую эгпой области, рашн нулю: аерхность 5 с: И, не охватывающую поверхность ХП поток через зту поверхность 5 равен нулю, т. е. П .= $ Г и' до — — О. Если же поверхность 5г охватывает внутреннюю поверхность Ей то поток через нве, вообще говоря, отлнчен от нуля Б. Пусть соленоидальное поле Г задано в односвязной области. Тогда поток вектора Г через любую поверхность г., натянутую на заданный контур Г, не зависит от вида втой поверхности, а зависит только от контура Г.
~ Действительно, па контур Г натянем две поверхности Х, и Хз и к области ь), заключенной л~ежду этими поверхностями, применим формулу Остроградского — Гаусса ~ Ц йч Гдо = ~ ~ Г.по до — ~ ~ Г по до. а х," Г!оле соленоидально, поэтому йч Г = О, а значит, и Я йч Гйо =О. Следовательно, равны и потоки через поверхности: Рис. Зв Ц Г.по до ~~ Г по до в, хе -.. е. поток не зависит от вида поверхности, натянутой на контур Г В. Зто свойство соленоидального поля относится к понятию векторной трубки. Возьмем в поле Г замкнутый контур Г и проведем через его точки векторные линии поля (рис. 3!).
Образовавшаяся поверхность называется векторной трубюзй. Любая другая векторная линия, не проходящая через точки контура Г, либо целиком лежит в векторной трубке, либо каходится вне ее В случае поля скоростей станионарного потока жидкостей векторная трубка — это та часть пространства, которую заполняет при своем перемещении некоторый фиксированный объем жидкости. Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интенсивности векторной трубки. Если соленоидальное поле Г определено в односвязной области ьа, гпо интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки. Выберем произвольно два поперечных сечения трубки: Я, и Яа (рис. 31). Найдем поток через замкнутую поверхность, состоящую из 5Г, 5; и час~и поверхности Х векторной трубки между 5, и Яо.По свойству А, поток вектора Г через эту поверхность равен нулю: й 2.
Соленолдзльное векторное лоле ЗЗ Е и'с(о = )) й и" с(о + Ц р и'до + )) Р' подо=О. х+зГ +ззз 3 зэ Боковая поверхность Х образована векторными линиями поля )и, поэтому нормаль к поверхности Х будет нормалью и к вектору Р, а тогда поток через боковую поверхность равен нулю, т. е. ДР' 'ба=О, Направления нормали к 5, н 5; противоположные. Перенося интеграл по 5, влево н меняя в этом интеграле направление и на противоф Рис. 31 Рис. 82 положное (тогда потоки через 5; и 5; будут вычислены водном на- правлении), получаем равенство ') ) ~' нз бо ) ) Р.пе з(о которое означает, что поток вектора е через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.
зь Если соленоидальное поле Р рассматривать как поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии источников и стоков, то свойство В означает, что количество жидкости, протекающее за единину времени через сечение векторной трубки, одно и то же длн всех сечений этой трубки Г. 8 соленоидальном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля; они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля) 4 Действительно, пусть трубка заканчивается в точке М (рис.
32). По свойству В, интенсивность трубки всюду постоянна, хотя поперечное сечение в точке М равно нулю. Поэтому в точке М вектор е (М) должен принимать бесконечно большое значение, что невозможно, так бб П. Специальные виды векторных полей как, по предположению, вектор Р (М) непрерывен в каждой точке. Если предположить, что трубка заканчивается в поле конечным сечением 5, то в точках этого сечения поле также будет разрывным, а этого быть не может. Ь 2. Поле нсточннков н стоков В предыдущем параграфе (прнмер 3) показано, что векторное поле, задаваемое выражением Р= г = ег, э=сапа(, 9 ч гз гв (3) потенцнальяо во всех точках, кроме начала координат. Векторное поле (3) на- зывается полем точечного источника (а > 0) или стока (а < 0), а величина д— интенеиеноетью источника.
Рис. 83 ! / б(ч Р = — ( гв — ) =О. Таким образом, поле точечного нсточннка соленондально во всех точках; кроме начала координат, где векторное поле не определено Если 3 — произвольная поверхность, не содержащая внутри себя начало координат, то по свойству А поток вектора (3) через эту поверхность равен нулю. Если же Š— поверхность, содержащая внутри себя начало координат, то поток, вообще говоря, отличен от нуля. Вычислим поток векторного поля (3) через сферу 3 раднуса )г с центром в начале коордннат. На этой сфере имеем ) г(=В. Р= — г, мв= —, Р ив=в э г д Вз ' р ' . )(а Ладим хэрактернстнку этого поля.
Векторными линиями полл служат прямые, проходящие через источник нлн сток, причем аелнчнна вектора изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния точки до нсгочннка нлн стока. Общая характер векторных линий показан на рнс. 33: а — для случая нсточннка, б — для стока. Поле (3) может быть граантацнонным полем, образованным массой т = Ч)т, а электростатнческнм полем, образованным зарядом д. Найдем днвергенцню поля (3). Ее удобно вычислять в сферической системе координат. Воспользовавшись формулой (Е 3.9), получим й 2.
Солвноидвпьное векторное поле 67 Следовательно, поток принимает значение Р ме ба= — (~) бп=4л4. $ — $— 9 )1* ())) Отсюда видим, что поток не зависит от радиуса сферы 5, он одинанов через любую сферу, охватывающую начало координат. Поле одного точечного источника (стока) легко обобщается на поле й точечных источников. Пусть внутри сферы 5 находятся Ф источников с интенсивно. ь 4!(г — г!) стями йь 1 = 1, 2, ...; Ф. Поток векторного поля Р' =,г, , где г! — ра!г — г!)з дн»с.векторы источников, через поверхность 5 равен сумме потоков точечных источнинов, т.
е. з П=ПР.аэбп=чп У 4!. й 1= ! Величина потока 5 останется прежней, если вместо сферы 5 взять любую другую замкнутую гладкую ориентированную поверхность 2, охватывающую один раз начало координат. Ладим физическую трактовнч полученного результата Рассмотрим, в част. ности, электростатическое поле. Предположим, что в объеме.(), ограниченном поверхностью 2, находятся заряды с объемной плотностью р (М) С помощью предельного перехода в равенстве (4) можно показать, что поток электростатического поля Р, создаваемого некоторым распределением зарядов, через поверхность Х равен объемному заряду в(), умноженному на 4 н, т. е.
$Р пэба=4пЩрбУ. Разделив обе части получсниого равенства на объем У и переходя к пределу, получим Р и" бо ф Нт )"),")' ° =4п !!ш = 4пр(М) х м !У-~0! !У О! или б!ч Р=4пр(М). (6) Векторный потенциал ИГ(М) определяется с точностью до градиента произвольного скалярного поля г (М). В самом деле, если го1 Иг (М) =Р (М) и ! (М)— произвольное скалярное поле, то, используя соотношение (1.6.6), имеем го1(И'(Л4)+Игал )(М)) =го! )У(Л4)+го! Игаб ) (М) =Р(М).
Последнее равенство выражает теорему Гаусса в электростатике: дивергенция электростатического поля, создаваемого неноторым распределением зарядов, равна объемной плотности р (М) зарядов, умноженной на 4 и. Если рассматривать гравитационное поле, то равенство (6) означает, что дивергенция гравитационного поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна объемной плотности р (М), умноженной на 4 и. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
