Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Положим х — 1=ге!пйсозйь у+2=гяпО иптр, г — 2=гсозО, тогда дэ = гз Мп О дгдйд тр. Подставив эти выражения в интеграл, получим гл л и 12 П= — ЗЯ гт з!п О дгдО 8~у=3 ~ бтрах!п Одй~гт бг= — п<<тзь и Ъ о о 4.' Вычнслнть поток вектора Р = г через замкнутую поверхность. Так как Шчг = 3, то по формуле (6) получаем, что П=<(() тпа ба =3 Щ де=ЗУ(()). 1 ( д(ус Н, Н,) д<рз Н, Н,) д(рзНтНз)) д(в Р— Н, Н; Нз дд' доз дез Используя формулы (1.16) и (!.!8), из (7) находим выражение дивергенцни е цилиндрической системе координат: д(рро) ! др„др, д!ч Р=-— + — + р др р дтр дг Таким образом, поток радиус-вектора г через замкнутую поверхность Х равен утроенному объему тела, заключенного внутри этой поверхности.
5. Вычисление дивергенции в ортогональной криволинейной системе коор" динат. Можно показать, что дивергенцин векторного поля Р = стет + гзез + + узе„ заданного в криволинейной системе координат, вычисляется по формуле й 6. Ротор векторного лола 35 и в сферической системе координат: д(гз Р ) 1 д(з!пйРа) ! дРз гпч Р= — г +— + —. ' ° (9) гз дг тяп 8 дб гз!па дгр П р и и е р ы. 5'. Вычислить дивергенцию поля Р = рзр в цилиндрической системе коорлинат Векторное поле Р запишем в виде Р=рз е, тогда по формуле (8) находим а' 1 д!ч Р= — (рз)' =4рз=4 (ха+уз). р б' Вычислить днвергеацню поля Р= г!г' в сферической системе координат 1 Учитывая, что Р = -з е„, и используя формулу (9), имеем г Этот же результат можно получить н по формуле (6).
й 6. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ !. Циркуляция векторного поля. Особый интерес представляет работа векторного поля Р' по замкнутой кривой у. В этом случае работу векторного поля гт называют циркуляцией вектора Р вдоль кривой у н обозначают С=ф Р' г(Р. Выясним физический смысл циркуляции Будем интерпретировать поле Р, как поле скоростей о=н (М) текущей жидкости Поместим в зто поле колесико Рис. !7 Рис. !8 с лопастями, расположенными по окружности т етого колеса (рис. 1,) Частицы жидкости, действуя на зти лопасти, будуч создавать вращательные моменты, суммарное действие которых приведет колесико во вращение вокруг своей оси Вращательное действие поля скоростей жидкости будет в каждой точке М 2' 38 1.
Элементы векторного анализа (рнс. 18) характеризоваться проекцией вектора н (М) на касательную т' к окружностн т, т. е. скалярным пронзведеннем н чэ. Суммирование вращательных действнй жидкости по всему контуру колесика приводит к понятию цнркуляцнн (1) вектора г' = и. Прн этом абсолютная велнчнна.цнркуляцнн будет определять угловую скорость вращения колесика, а знак цнркуляцнн покажет, в какую сторону вращзется колесико относительно выбранного на нем направлення.
Используя термннологню поля скоростей текущей жидкости, говорят, что циркуляция произвольного поля гт (М) определяет его «вращательную способносты вокруг данного направления н характеризует завнхренность поля в этом направлении. Под знаком интеграла в формуле (1) стоит скалярное произведение, поэтому циркуляция зависит не только от абсолютных величии векторов, но н от углов между векторным полем н касательными к кривой у.
Чем меньше этот угол, тем циркуляция больше, а значит, больше н завнхренность поля в этом направлена н. П р н м е р 1'. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля г = — уз!+ х/ вдоль кривой х = 3 сов й у = юп! с обходом по часовой стрелке Данная кривая является эллипсом Обход кривой совершается по часовой стрелке, поэтому Г меняется от 2 н до О. Следовательно, циркуляция вычисляется следующим образом: С=фу дг=ф уз бх+хбу=~ ( — Зз|пз г+3 соз'г) М= т т 2Л о 3 à — ) (1 — соз 2!) он=- — Зл. 2 зл 2.
Понятие ротора. С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью, является р о т о р. Рассмотрим сначала плоское векторное поле гг н какой-либо контур у, окружающий выбранную точку М,. Величину площади области, заключенной внутри у, обозначим через 5. Тогда отношение (2) дает среднюю плотность циркуляции вектора Г на пло!цадке Я. Плотность циркуляции в точке М, характеризуется пределом выражения (2) при условии стягивания контура у в точку М„тогда площадь 5, охватываемая контуром у, стремится к нулю. Таким образом, если предел Нгп — уГ й' 1 г мч 5 )З-о) существует, то он дает величину завихренности поля в точке М,, Если векторное поле гг — пространственное, то можно говорить о завихренности поля в каком-либо направлении и.
Проведем через й 6. Ротор векторного поня З7 Рис. 20 Рис. 19 величине площади Я этой области, когда размеры площади стремятся к нулю, а сама область стягивается в точку М„т. е. 1 Пр„го1 Р = (го1 Р)п = ! пп — у Е дп, т мт ГЗ-О1 (4) где у — контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору и, 5 — площадь области, ограниченной этим контуром. Данное определение ротора не зависит от выбора системы координат.
3. Вычисление ротора в декартовой системе координат. Найдем формулу вычисления ротора вектора в декартовой системе координат. Теорема 1. Если в некоторой области 0 задана непрерывно дифференцируемое векторное поле Р = Р„г + РвГ+ Р, й, то в козодой точке М Р 1в существует го1 Р; вычисляемый по формуле ( дгт дрв ) г ( дР др ) ° ( дгв др» ) ь 4 Вычислим, например, проекцию ротора на ось Ог. Пусть у— контур, лежащий в плоскости хОу, и 5 — площадь ограниченной им области О (рис. 20).
Используя формулу Грина из $ 3, можем записать, что $Р,йЕ= 1~1Р дХ+Рвду — ~Я( — — д )д ду т в о рассматриваемую точку М, плоскость и перпендикулярно выбранному направлению и и рассмотрим в ней какой-либо контур у, охватывающий точку М, (рис. 19). Тогда, найдя предел (3), получим завихренность поля в направлении и. Предел (3) лежит в основе определения ротора векторного поля Е.
Роторам векторного поля Р в точке М„ обозначаемым го1 )о или сцг! Р, называется вектор, проекция которого на каждое направление и равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру у плоской области О, перпендикулярной этому направлению, к 38 (. Элементы векторного анализа Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, находим р'.((е ( д~в (М ) д~ (М ) ) я дх ду здесь М, — некоторая точка области 6. Подставляя этот интеграл в (4), получаем выражение для проекции го( гг на ось Ог: р) ( ( дув(Мт) дух(Мт) ) дуту(М) дух(М) м, и'( дх ду / дх ду (т»п Таким же образом находим проекции ротора на оси Ок и Оу: (го( гг)„=— ду, (М) ду~ (М) ду дг (го( гг) = дУ" (М~ — дУ* (М) дг дх 4. Оператор Гамильтона. В различных применениях основных операций векторного анализа (градиента, дивергенции, ротора) весьма удобен символический оператор Гамильтона.
Оператором Гамильтона р, называемым также олерапшрогг набла (название буквы ту), называется символический вектор д д . д Ч = — 1+ —.г+ — й, дх ' ду дг проекции которого на координатные оси есть символы частного диф- ференцирования по соответствующим переменным, т. е. д д д 7= — Ч = — 7=в х д ч д 1 Сам вектор тт не имеет реального значения, но он приобретает смысл в комбинации со скалярными или векторными функциями. Так, основные понятия теории поля агат( г, (((у гг и го( г.
могут быть выражены с помощью оператора т(г. С этой целью определим «произведение» оператора р на скалярную функцию Г (х, у, г) как произведение соответствующих проекций р„, ттв и т(т, на эту функцию, причем под «произведениями» р„Г, тув)' и р,Г будем понимать взятие соответствующих частных производных от функции Г' (х, у, г), т. е. д( д( дх ду дг ,Следовательно, произведение (;тг определяет вектор ц дт' г+ д( гг+ дт' Ф дх ду дг 40 1. Элементы векторного анализа Свойства à — Ж выражают определенные свойства введенных выше дифференциальных операторов йгаг( (, г)(ч Г и го1 Г.
Эти свойства можно записать и в таком виде: Гм ргаг)(г!)«).=)ганга!) ! +~зйгаг(~г! Д!. г))ч ЦГ) =~с(!ЧГ+Г дгаг))'; Е,. го ЩГ) = ) го1 Г+ (ага!( Д х Р;. Ж,. г(!ч(ГгхГз)=Г, го1 Г,— Г, го1 Г,. П р н м е р ы. 2'. Найти ротор поля скоростей твердого гела; врашаюшегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью ы = сох! + + о»нГ'+ ы»Ф Как нзвестно, скорость твердого тела определяется по формуле г' Ф Ф=юХг= «ох ыз «о, =-(гыд — Уе»,) г+(хю» — гыз)/+(Уы„— хшч)й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
