Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому работа А равна разности потенциалов в конечной и начальной точках: А = ) о1'=1(М) ((Мв) ° м,м Из этого равенства видно, что работа зависит не от формы пути, а толь. ко от положения начальной и конечной точек. Интеграл, независящий 1М~ от формы пути, принято записывать в виде ~ Р де. 1М,1 Из сравнения двух выражений работы А получаем аля потенциала ( с точностью до константы ( (М,) формулу (2).
Ь Задача об отыскании потенциала ((М) векторного поля Р (М) тесно связана с задачей восстановления функций трех переменных по ее полному дифференциалу. Теорема 3. () усть функции Р (М), (;1 (М), (г (М) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в области ьа. Для того чтобы ьыразкение Р (М) дх + 9 (М) ду +, Р (М) дг (3) являлось полным дифференциалом некоторой функции хр (М), необходилю и достаточно, чтобы векторное поле (4) Ф (М) = Р(М) (+ (1(М)(+ Я (М) аг было потенциальным. 4 Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть (3) есть полный дифференциал функции хр (М), т.
е. йр = Рбх+ ф1у + йдх. Зто означает, что Р = дхр(дх, 9 = дхр(ду и (г = дхр(дг, поэтому ягад р= — (+ — ~+ ~ й=Р(+Щ+К(е=Ф. <~% ар дх ду дх Следовательно, поле Ф потенциально. Д о с т в т о ч н о с т ь. Пусть определенное по (4) векторное поле Ф (М) потенциально, т. е. существует скалярная функция 1р (М) такая, что йг ад 1Р = Ф (М) = Р (М) (+ 9 М) 3 + (с (М) й.
Отсюда в силу определения градиента имеем равенп1вь Р = д1р(дх, Д = д1р(ду, й = д1р(дг. 5 !. Г)отенцнальное векторное поле (7 А э)о и означает, что бч) = — ~ бх + — ~ ((у + — ~ бг = Р((х + Я()у + (т((г, дх ду дт т. е, выражение (3) есть полнь(й дифференциал. Ге Из теорем 2 и 3 сразу вытекает способ восстановления функции )р (х, у, г) по ее полному дифференциалу Рбх + 9бу + )гбг. Для определения (р достаточно применить формулу (2), т.
е. с точностью до произвольного постоянного вычислить криволинейный интеграл) (*. в. в] (р(х, у, г) = ~ Рбх+Я((у+(с((г+с. в„в,) Заметим также, что если известно, что выражение Рбх+ Яу+ + И((г является полным дифференциалом функции Ч) (х, у, г), то для вычисления криволинейного интеграла (ю у, т) Рдх + Яду+ л(((г (вн д„, ть) имеет место аналог формулы Ньютона — Ле))бнипа) (.т, р, т) Р((х+(г((у+(Ыг=ц)(х, у, г) — (р(х„, (7в.
г,). Ган М ть) 2. Условия потенциальности поля, Естественно возникает вопрос об условиях, при которых данное векторное поле Р (М) будет петен. циальным. Ответ дается теоремой 4. Предварительно докажем лемму. Лемма. Для того чтобы работа не зависела от формы нута, необходимо и достаточно, чтобь) циркуляция по любому замкнутому контуру раднялась нулю. 4 Н е о б х о д и м о с т ь. ГГусть работа не зависит от формы пути. В области 0 возьмем произвольный замкнутый контур Г, который можно рассматривать как объединение кривых у)' н уэ, соединяюших точ.
ки М и й(, т. е. Г = уГ () уэ (рис. 26). По условию, работа не зависит от формы пути, т. е. поэтому для циркуляции имеем представление ~ Р.бг = ~ Р бг — ') Р ((к=О. г т+ т; Таким образом, циркуляция по произвольному контуру равна нулю. ЛЗ Н. Специальные виды венторных полей Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть у 1' бг = О, где à — произвольный г контур в области й. Рассмотрим два произвольных пути, соединяющих точки М и Ф (рис. 26). Объединение кривых у; О у, образует замкнутый контур Г, поэтому (у Е ()г = О.
По свойству интегралов г имеем равенства Род 2б ~Р бг=О. Из леммы следует, что интеграл ~ Е бг = ) г" бх+г'у бу+ г„бг (5) не зависит от формы кривой ус:й,соединяющей точки М„(х„,у„г„) и М (х, у, г), а зависит только от точек М, и М. Это означает, что если М, — фиксированная точка области й, то интеграл (5) является функцией точки М. Обозначим эту функцию через 1(М) и покажем, что вагаб 1 = г'; тем самым будет доказано, что поле Г потенциально.
Итак, интеграл (5) есть функция ~ (х, у, г), т, е. (л,в, г! Г(Х, у, г) = ) глбХ+гвбу+Г,бг. (л„е„а,! (6) 7 тга тг Отсюда заключаем, что работа не зависит от формы пути, так как ) гл бг = ~ Тг Аг. 4+ чь Теорема 4. Для того чтобы не- .г прерывнов дифференцируемов векторе ног поле Г(М) было потенциальным ! в поверхностно-односвязной области й, необходимо и достаточно„чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы го1 гг (М) = О для всех точек М с: й. Н ео б х од и м о с ть.
Пусть поле г' потенциально, т. е. Г = = дгаб ~ = (уг, Принимая во внимание пример 3' 4 6 гл. 1, убеждаемся в том, что го1 гг = (2 х р( = О, т. е, поле гг — безвихревое Д о ст а то ч н о ст ь. Пусть поле )о (М) — безвихревое, т. е. го1 Г (М) = О гг М ~ й. Так как область й поверхностно-односвязна, то из теоремы Стокса заключаем, что для любого замкнутого контура Г с:.
й й 1, По»енциальнов век»орлов поле 4') Интеграл (6) не зависит от формы пути интегрирования, поэтому раз. ность / (х + Лх, у, г) — / (х, у, г) можно представить в виде )»-)-аю В, ») /(х+Ьх, у, г) — /(х, у, г) = ) )с,с(х+ ги)(у+Р,г(г, )», в. г) где в качестве пути интегрирования взят отрезок, соединяющий точки (х, у, г) н (х + Ь х, у, г), который параллелен оси Ох. Следовательно, 4(у = О и ))г = О и предыдущее равенство принимает вид (х+а», в, г) /'(х+ Лх, у, г) — / (х, У, г) = ) Р„))х = Р„(х+ ОЛх, у, г) Лх, (», г, г) О(0 (1. Последнее равенство мы записали по теореме о среднем.
Учитывая непрерывность Р„, заключаем отсюда, что в точке М существует частная производная д//дх и имеет место равенство д/ . /(х+Лх, у, г' — /(х, у, г) — = Птп х(х, у г)' дх а» с Ьх Таким же методом находим д//ду = г'в и д//дг = гс„а это и означает, что / (х, у, г) — потенциал и его градиент совпадает с полем гю: дгас(/= гс„г+ Рг /+ Р, /г Ь 3 а м е ч а н в е.
Все рассуждення в теореме 4 откосились к случаю, когда область Я была поверхностно-односвязной. Если же Й многосвязна, то условна го) Р = О, вообще говоря, не является достаточным для потенциальности поля »' (М) Необходимые н достаточные условия потенциальности поля устанавлн. ваются следующей теоремой Теорема 5. Необходимым и достаточным условием потенциальности ловя как в одиосвлзной, так и в многосвязной области является равенство нулю цирку. хчции поля ло любому контуру. 4Н е о б х о д н м о с т ь Пусть поле Р потенцнально, тогда по теореме 2 работа нс завяснт от формы пути н по лемме циркуляция рцвна нулю. Л о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть цнркуляцня по любому замкнутому контуру равна нулю, тогда по лемме работа А, представимая в виде ннтеграла, А=~ Р йг ) гмбх+гиду+ггбг т т не зависит от формы пути Теми же рассуждениями, что н в теореме 4, прнходнм к заключению, что поле потенциальное. ~ Если область () многосвязна, то в ней могут существовать контуры, на которые нельзя натянуть поверхность; целиком лежащую в области поля.
В этом случае нз условия го) Р = О, вообп)е говоря, не следует, что циркуляция поля по любому контуру равна нулю. Это означает, что могут существовать контуры, яо которым цнркуляцня отлична от нуля $ гч ° бг ~ О, н поле гт не будет патент цнальным. Следующяя пример иллюстрирует вто утверждение. П р н м е р ('. Показать; что напряженность магнитного поля бесконеч. ного прямолинейного проводника не является потенциальным полем. Вычислять циркуляцию по контуру, охватывающему ось Ог. й 1, Потенциальное векторное лоле Гн является полным дифференциалом от потенциала / поля, т.
е. й„т)х+»'эбу+»',т)2 = б('. Поэтому нахождение потенциала / проводится с помощью формулы (2). Практически наиболее удобным путем интегрирования в криволинейном интеграле (2) является ломаная М, К)ч'М, звенья которой параллельны координатным осям (при условии принадлежности этих звеньев области ()) (рис.
27). Таким образом, можем записать, что /(М)= )» б»+ х + ~ Г б + ~ Г.б» + . км ым Интегрируя по прямой МвК, имеем, что бу = с)г = О, поэтому с)» =/с)х н интегрирование по отрезку М„К приводит к интегралу » с(» = ') Р„с(х = ~ »„(х, у,, 2,) с)х. „К хг, к к. Таким же образом сводим интегралы по отрезкам К)т' и )ч'М к опре- деленным интегралам: » Г)» )»я(хт Д, га)т)у, ~ Р'т)»ик )» (Х,Д 2)т(2 ° КК е лат т„ Следовательно, потенциал ) с точностью до пслпоянной определяется равенством г у г /(М) = ~ »л(х Де, ге) с)х+ ~ »г(хт ут гв) с(у+)т»т(х Дт 2)1(2, (о) т„ Ф д о ду дг =г 13х — Зх)+/(Зу — Зу)+ , то) Р(М)— дуг+хе 2у' + Зхг гв + Зху +й (Зг — Зг)=0, П р и и е р ы.
2'. Проверить, что поле тв (3 уг+ хг) т+ (2у" + 3 хг)7+ + (гв+ Зху)й является потенциальным, и найти его потенциал Установим, что иоле беэвихревое Дейстьительно, Лля проиэвольной точил а) имеем 32 11. Специальные виды векторных полей Значит. поле Р потенциально во всем пространстве. Зля вычисления петен. циала / точку Мо примем за начало координат, тогда, применяя формулу (8); получаем к с к 1 ~(я) =) и~( ы~ к ) о эз о( р ' — ы~э -~к)эВ* 3- 3 о о 3'. Пусть Р= — — г — гравитационное поле (поле сил тяготения), которос — гз представляет собой силу притяжения единичной массы, помещенной в точку М; массой т, находящейся в начале координат Сила определена во всех точках, кроме начала координат, н образует векторное поле — поле тяготения точечной массы т.
Показать, что поле Р потенциально во всем пространстве, кроме начала координат, н найти его потенпиал Вычисления удобнее проводить в сферн. ческой системе .координат, векторное поле запишем в ваде ут г ут Р— —, — = — — е ко г Го Рис. 28 Тогда проекции вектора Р на осн координат имеют вид Рг -ут)гх, Ро О; Р =О. е Применяя формулу (!.6.9), находим, что го) Р = О при любом г + О.
Учн. тывая, что все пространство с выколотой точкой является поверхностно-одно- связным, заключаем, что поле Р потенциально в этом пространстне За путь интегрировнння в интеграле (7) целесообраано взять вектор МоМ = г — го (рис. 28). Вычислим подынтегральное выражение в интеграле (7), для чего найдем дифференциал д (г — го) = бг бге, и скалярное произведение: ут ут Р б(г — го)=Р бг= — — е„е,бг= — — бг, Таким образом, потенциал гравитационного полн определяется с точностью ао константы вырвженнем Полученному результату можно дать а электростатическую трактовку. Если в начало координат поместить положительный заряд в, з в точку М вЂ” единичный заряд, то по закону Кулона напряжение электростатического поля е точке М задается равенством Е = (еlэз) г Поле Е является потенциальным во всех точках, кроме начала координат, причем Е может быть записано в виде е Е = — йгаб —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
