Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МАТБМА7ИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (специальнне разделц) ББК 22.19 Е91 УДК 517 ггцлнзантыг кафедра высшей математики Московского знергетического института (зав. кафедрой — проф. С. И. Йоко. гинее); В. д. треногин — д-р фнз.-мат. наук (Московский институт стали и сплавов). Ефимов А. В и др Е 91 Математический анализ (специальные разделы), Ч. 1!. Применение некоторых методов математического и функционального анализа: Учеб. пособие для втузов.— М.: Высш. школа, 1980.— 295 сч ил, В перл 75 коп. В васабни рассматриваются основы аеиторного анализа, варианиониого исчисления, злементы Фунвнионального анализа с применением а решению уравнены» Фредгольма н основные численные методы. Предназначается для студентов втузов, 20203 — 436 ББК 2216 , Е - 34 — 80 1702030000 001(01) — 80 617,2 43 издательство «высшая школа>, 1мз ПРЕДИСЛОВИЕ Особенностью настоящего пособия является включение в него основных понятий функционального анализа, отсутствующих во втузовских учебниках.

Это позволяет изложение приближенных вычислений вести с применением методов функционального анализа, а также знакомит студентов с современными математическими методами решения прикладных задач. В пособии дается применение векторного анализа к изучению свойств различных векторных полей, элементы фуниционального анализа применяются в методах неподвижной точки и при решении уравнений Фредгольма.

В приближенных вычислениях основное внимание уделено численным методам математического анализа, реализуемым на ЭВМ, с приведением соответствующих программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Материалы глав П1, 1Ч, Ч, ЧШ, 1Х могут быть использованы при чтении специальных и факультативных курсов для отдельных специальностей. Как и в первой части пособия, начало доказательства различных утверждений отмечено значком 4, а конец — значком ~. Если место окончания решения примеров недостаточно четко следует из текста, то оно отмечается значком Ф. Нумерация теорем и формул сделана по параграфам.

При ссылках на формулы (теоремы) внутри параграфа указывается только номер формулы, например (5), при ссылках внутри главы — номер параграфа и номер формулы (теоремы), например (2.5), при ссылках на формулу (теорему) другой главы — номер главы, номер параграфа и номер формулы (теоремы), например (П1.2.5).

Во второй части пособия главы 1, П, Ч1 и ЧП написаны В. М. Терпигоревой, главы П!, 1Ч и Ч вЂ” А. В. Ефимовым, главы Ч1П, 1Х и Х вЂ” Ю. Г. Золотаревым. Авторы приносят глубокую благодарность преподавателям кафедры высшей математики МИЭТ за полезные советы при обсуждении книги; профессорам В. А. Треногину, С. И. Похожаеву, доцентам М. Л. Краснову, А. И. Киселеву, А. Л.

Павлову, А. М. Седлецкому за ценные советы и замечания при рецензировании книги, А. И. Селиверстовой за большую помощь в улучшении книги при редактировании, Л. В. Лапенко и С. А. Фоминой за подготовку и оформление рукописи. Авторы ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА $1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА' !. Вектор. функция скалярного аргумента, Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента 1, если каждому значению аргумента 1 из некоторого множества Т ставится в соответствие определенное значение вектора г(1).

Можно рассматривать векторные функции не одного, а нескольких аргументов г (1„1„..., 1„). На такие функции легко переносятся понятия предела, непрерывности, частных производных и другие понятия анализа. В декартовой системе координат задание вектор-функции г(1) эквивалентно заданию трех скалярных функций х (1), у (1), г (1), являющихся ее координатами: г (1) = х (1) 1+ у (1),/+ г (1) Ф.

(1) Пусть вектор-функция г (1) — непрерывна иа отрезке [а, [)[, т. е. непрерывны ее коордннаты х (1), у(1), х(1). Поместим начало всех векторов г= г (1), 1 Р [а, [![, в начало координат. Тогда концы этих векторов опишут непрерывную кривую Т (рис. 1). Эту кривую называют годографом, а вектор-функцию Риа 1 г (1) — ее векторным предспшвлением и записывают Т = (г (1)).

Непрерывно дифференцируемая кривая Т = (г (1)), 1 Е [а, [)[, в каждой точке которой производная г' (1) Ф О, называется гладкой. Лемма. В каждой точке гладкой кривой Т = (г (1)) существует касательная, и производная г'(1) направлена по этой касательной в сторону возрастания параметра 1. М Вектор /!гlа1 направлен по секущей МьМ кривой Т = (г(1)). По условию, существует 1пп — = г' (1) Ф О, поэтому г' (1) направлена по ь а! касательной к годографу. Векторы Ьг и — лежат на одном и том же Ьг Ы луче МьМ.

Если а1) О, то векторы Ьг и Ьг/а1 направлены в сторону возрастания параметра 1 (рис. 2, а). Если а1( О, то вектор аг направ- й К Некоторые лонлтнв векторного анализа 5 лен в сторону убывания параметра /, а вектор ЛГ/И снова направлен в сторону возрастания параметра г (рис. 2, б). > Единичный вектор тв = тв (/) = Г' (/)/~ Г' (/)! (2) также направлен по касательной в сторону возрастания параметра 2. В каждой точке гладкой кривой у существует касательная, на которой можно выбрать два направления: тв (/) и — гв (/). Любая непрерывная й/ 0 й) Рис. 2 на кривой у единичная касательная называется ориентацией этой кривой, а кривая, у которой фиксирована ориентация, называется ориентированной.

Для гладкой кривой существуют две ориентации, одну из них, определяемую равенством (2), называют положительной, а вторую — отрицательной. Ориентированную кривую у с начальной точкой А и конечной В принято обозначать А В. Если точку В взять за начальную, а точку А — за конечную, то говорят о кривой ВА. Кривые АВ и ВА имеют противоположные ориентации. Кусочно-гладкой кривой называется непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых.

Кривая у = (Г (/)), / Е (ст, ()) называется замкнутой, если начальная и конечная точки совпадают, т. е. Г(а) = Г (р). Если существует два различных значения параметра ст ~ 1„ /,/в Е (ст, р), такие, что Г (/,) = Г (/в), то соответствУющаЯ точка кРивой называетсЯ точкой самопересечения. Замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, будем называть контуром. Выясним геометрический смысл модуля дифференциала ! дГ). Производную вектор-функции (!) представим в виде г' (/) = х' (/) /+ у' (/),/+ г' (/) й, а дифференциал ее — в виде йà — Г (/) бт =х (т) д/с+ у (/) д/У+ г (/) д/и= дхг+ду/+дай.

Отсюда для модуля дифференциала получаем выражение !йГ! =~Г'(/) б/) = )' х" + у" + г" ~б/~, 6 Ь Элементы векторного оттелеве правая часть которого есть дифференциал пг длины дуги кривой. Таким образом, модуль дифференциала 1 бг ~ вектор-функции г (г) ра- вен дифференциалу длины дуги годографа, т. е.

! бг ~ = Й. Найдем направляющие косинусы единичного вектора г', определен- ного равенством (2), которое запишем в виде х'в+у'/+г'а охг+Ву/+оге, у"„, в+, г+, в ти Кроме того, единичный вектор имеет представление т'=гсозгг+,г*соз р+йсозу, где гг, р, у — углы вектора г' соответственно с осями Ох, Оу и Ог. Из сравнения двух представлений для т' получаем формулы направляю- щих косинусов единичного вектора касательной: соз и= х' )' х'г+у' +г' Йх ти совр= )'х в+у *+гтв ву й г' вг сову=†)/ 2+ г(мг тн 2. Некоторые сведения о поверхностях.

Понятие поверхности, ин- туитивно достаточно ясное, можно определить с различной степенью общности. Будем рассматривать поверхность как образ замкнутой плоской области О при непрерывном отображении. Такое отображение можно задать различными способами. В анализе чаще всего приходится рассматривать поверхности, задаваемые в явном виде г=г(х, у), где ) (х, у) — функция, непрерывная в некоторой замкнутой ограничен- ной области О. Более общим заданием поверхности является парамет- рическое: х =х(и, о), у =у(и, о), х =х(и, о), (4) где данные функции х (и, о), у (и, о), г (и, о) — непрерывные в замкну- той ограниченной плоской области О.

Три скалярных равенства (4) можно заменить одним векторным: г = г (и, о) = х (и, о) г + у (и, о),7+ г (и, о) й. (5) Поверхность, заданная в векторном виде (5), называется гладкой, если вектор-функция г = г (и, о) непрерывно дифференцируема в замк- нутой области О и для каждой точки поверхности векторное произве- дение г„' Х г,' Ф О. 5 !. Некоторые «онкгнв векторного вне««за 1 Рассмотрим понятие ориентации поверхности. Пусть поверхность Е имеет векторное представление г = г (и, о). Фиксируем одну из переменных, например и = о„тогда вектор-функция г = г (и, о,) будет задавать кривую ум лежащую на поверхности Е. Вектор-функция г = =г(а„о) определяет кривую уз также лежащую иа поверхности.

Эти две кривые у, и у, проходят через точку М = г (и„о,) поверхности Е (рис. 3). Векторы г,' = г„' (и„и) и г,' = г,' (иег оо) будут соответственно касательными к кривым у, и ув в точке М, Следовательно, векторы г„' и г,' лежат в касательной плоскости к поверхности Е, а вектор гу = г,' х г,' направлен по нормали к поверхности Е в точке М. Через и' обозначим единичный вектор этой нормали. гв'Хгв' г' нв ао(и о) = ° (б) О ~г„'хг,') - гч Гй В каждой точке гладкой поверхности Е ! существует нормаль, на которой можно выбрать два направления; ив и — и' (рис. 3). Любая непрерывная на поверхности Е единичная нормаль называется ориентаг(ией этой поверхности, з поверхность, у которой фиксирована ориентация.

называется ориентированной Для гладкой поверхности существуют две ориентации, одну нз которых, определяемую равенством (б), называют положительной, а вторую ( — не)— отр и нательной. 3 а и е ч а н я е. Если отказаться оз требования гладкостя, то не есе поверхности могут быть ориентируемы. Примером токой ооаерхности является лист Мебиуса Его можно получить так: возьмем прямоугольную полоску АВСО, перекрутим ее вокруг оси симметрии М Н один раз и склеим ребро Авг с ребром ВС.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги