Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задание же векторного поля характеризуется заданием векторной функции г' (М) г" (г). Некоторыми примерами скалярных полей являются поле температур, освещенности, плотности электрических зарядов, плотности массы. Так, если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие ее температуру Т (М), то она образует поле температур внутри нагретого тела; какой-либо источник света создает скалярное поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке; каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды, можно поставить в соответствие плотность электрических зарядов р (М) и получить скалярное поле плотности электрических зарядов; непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М ставится в соответствие плотность массы р (М) в этой точке.
Примерами векторных полей могут служить поле скоростей движущейся жидкости, гравитационное, электростатическое поля. Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей е некоторой скоростью, вообще говоря, различной в различных точках, каждой точке М можно поставить в соответствие вектор скорости зг= зГ (М), то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости; если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку М, действует гравитационная сила г'(М), образующая поле сил тяготения или гравитационное поле; электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определенной силой Г(М) на единичный электрический заряд, помещенный в точку М.
Эти силы образуют векторное поле, называемое электростатическим полем. Скалярное или векторное поле называется стационарным, если рассматриваемая величина зависит только от положения точки в пространстве, но не зависит от времени. Если же рассматриваемая величина зависит также и от времени, то поле называется нестационарнылг. Например, рассмотренные выше поля распределения температуры и скоростей жидкости могут быть как стационарными, так и нестацио.
парными. ' 2. Линии и поверхности уровня. Для наглядности представления скалярного поля используется его графическое' изображение. Поверхностью уровня скалярною поля / (М) называется геометричеекое место точек М, в которых поле г (М) имеет заданное значение в.
Неетационарное поле следует рассматривать в определенный момент времени. Рассмотрим какую-нибудь систему координат, в которой уравнение поверхности уровня имеет вид 5 2. Скалярное поле (я Поверхности уровня, отвечающие различным с, заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверхности г" (М) = с, и г (М) = сз, с, Ф с„не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня е отметкой на них соответствующих значений с равносильно заданию самого поля 1 (М). Взаимное расположение поверхностей уровня дает наглядное представление о соответствующем скалярном поле.
Места сближения поверхностей указывают на быстрое изменение функции ) (М); медленному изменению функции Г (М) соответствуют места разряжения поверхностей. П р н м е р 1'. Потенцяал электростатического поля образует скалярное поле. Нзйтн его поверхности уровня. данное скалярное поле удобно рассматривать в сферической системе воор.
дннат. Оно характернзуется сналярной функцией еlг, где е — велнчяна заряда, яомевхен ного в начале координат, г — расстояняе от начала яоордннат до рассматряваемой точки Поверхностямя уровня являются сферы г = с. На каждой сфере цотенцнал будет обратно лролорцнонален рзднусу сферы. Если скалярное поле определено в плоской области, то вместо поверхностей уровня рассматривают линии уровня.
С помощью линий уровня обычно изображают распределение температур (изотермы), распределение давлений (изобары), рельеф местности на топографичесних картах (горизонтали). 3. Производная по направлению. Поверхности уровня позволяют судить о скорости изменения скалярного поля г (М) по тому или иному направлению только качественно. Количественную характеристику скорости изменения поля у (М) дает производная по направлению. Напомним это понятие.
Пусть в области ьу определено скалярное поле у (М). Рассмотрим точку М Е ь2 и какое-либо фиксированное направление, определяемое единичным вектором аз. Черезточку М проведем прямую а, параллельную вектору в', возьмем на ней точку М, и составим отношение у ~мы — риП мм, Если существует предел этого отношения, когда точка М,, двигаясь по прямой в, приближается к М, то он называется производной скаляриого поля у (М) в точке М по направлению в и обозначается —. Таким обраб( ба' зом, получаем определение производной по направлению, Мх-ь М по прямой ап б),, г <МП вЂ” У <М) бз м, м ММс Такое определение производной не связано с выбором какой-либо системы координат.
Производная 4Яа характеризует скорость измене- 14 Ь Элементы векторного анализа ия поля ~(М) в направлении в. В декартовой системе координат рбв вычисляется по формуле — — сове«+ — сов р+ — сов у, д( д( Ж д/ (2) дз дх ду дг где а, й, у — углы, образуемые вектором в с осями координат, 4. Градиент. Важной характеристикой скалярного поли является градиент, позволяющий аналитически описать зто поле. Понятие гра- диента было введено в курсе анализа. В декартовой системе коорди- нат градиент скалярного поля ~ (М) определяется по формуле дгаб г' = — г + —,/+ — й.
д/ дт' дт (3) дх ду дг Это определение верно только для декартовой системы координат. От- метим некоторые свойства градиента, которые были доказаны в курсе анализа. а) Производная по любому направлению в равна скалярному произве- дению градиента на единичный вектор этого направления, т. е. — ~=цгада' в« =(йгаб7~сов(в, афтаб(). (4) йз Используя зто свойство, можно дать определение градиента, не за. висящее от системы координат. Градиентом скалярного поля 1 (М) в точке М называется вектор, проекпия которого на направление и равна производной поля Г по этому направлению, т.
е. Прз игаб г' М) = (дгаб Де = бг'Ив, б) Производная по направлению 4Яв принимает свое наибольшее- значение в направлении игаб г, и наибольшее значение равно модулю градиента, т. е. в) Вектор игаб ( направлен по нормали к поверхноспш уровня в сторону возрастания функции ~ (М). Отсюда непосредственно следует, что если ~(М) =с — поверхность уровня в скалярном поле н и' (М) — единичная нормаль в точке М, то и' = ~ йгзб Ц йгаб ~ ~, знак «~» выбирается в зависимости от ориентации поверхности. г) Если игаб ~ = О в области ьг, то Г нм сопл( в ь«.
5. Градиент а ортогональной криволинейной системе координат, Пользуясь определением градиента, не зависящим от системы координат, можно ноказагм й 2. Скалярное поле !й что градыена е ортогональной криволинейной системе лоорданат вычисляется ио формуле ! д/ 1 д/ 1 д/ йгай /= — — е, + — —, еэ + — — еэ (б) Н1 да' Нз дйэ Нэ даз Коэффицненты Лал1э для цилиндрической системы координат находятся по формулам !1 !6! Подставив вх в (б), получим выражение для градиента в цилйвдрической системе координат: д/ 1 д/ д/ йгад /= — е + — — е + — е,. др а р д(р е дг (у) Используя формулы (18) $ 1, находим выражение для градиента в сферической системе координат: йгаб / = — е, + — — ее+ —. — ет д/ 1 д/ ! д/ (8) дг г да гз1п О д~р Отметим частный случай формулы (8).
Пусть скалярное поле / (гИ) = / (г) опре- У деляется функцией, зависящей только С от модуля г = ( г ) радиус-вектора г. 3 В этом случае получаем следующую удобную формулу для вычисления градиента; Ягас) /(г) = — ег =-/' (г) —, (9) д/ г бг г и П р и м е р ы. 2'. Найти йгаг) гз, где Рка г =)г"х + у'+ д'. По формуле (9) имеем кгаг) г' =Зг' — = Згг=33 х'+у'+дз(х/+у/+гй).
г 3'. Скалярное поле в цилиндрической системе координат задано функцией / = 1/р, где р =)г х'+ у'. Найти дгас)/. Используя формулу (7), получаем йгаа — = — — е' = — =— ! 1, — р х1+р/ . Ф р рэ рз )/1лэ+рэ/з Градиеятзпироко используетсв е различных прикладных вопросах технике! фнзикя В качестве примера на использование градиента в прикладных задачах рассмотрим одну из таких задач. П р н в~ е р 4'.
Вывести закон преломления света нз гравице т раздела лвуя однородных сред 1!усть Х вЂ” коэффициент преломления второй среды относительно первой„ и — угол падения луча, р — угол преломления. Коэффициент преломления второй среды относительно первой показывает, что свет распространяется в первой среде со скоростью в Х раз большей, чем во второй. Йз фиэвки известно, что луч М оН (рис. 8) должен иметь такую форму, чтобы время прохождения светом расстояния МР+ РН было минимальным Введем обозначения векторев МР гт и НР гэ Время прохождения светом расстояния МР+ РН пропорционально выражению) / (Р гт+ Хгз, а поэтому задача свелась к нахождению 16 1.
Элементы векторного анализа минимума функцнн Г' (Р) В точке мяннмума должно выполняться равенство дрдз = О, где з — направленые касательной к т в точке Р. Производную дг/дз находим по формуле (4), н в точке минимума змеем д!/дв=!Егад)(соз(а асад)) О. Это равенство означает, что Егад Г' направлен по нормали и н кривой Т. Левее, тая нах г = гт+ Лгм то г, ктвд )=асад гт+Л ктвд ге= — +Л вЂ”. г! гз г! г, Такам образом, вектор — + Л— г! гз гз гт1г! = АР, Л вЂ” = СР = 0А (рнс. гз синусов имеем направлен по нормалн н и конева тт а).
Из треугольника РАУ но теореме 1 Л нлн — =— з1п й $!и а АР 0А з1п (и — (1) мп а Отсюда получаем равенство з!и а Л Мп Р, выражаюнтее закон преломления света на границе двух сред. 5 3. РАБОТА ВЕКТОРИОГО ПОЛЯ Р„= Р! (х, у, х), Р„= Р' (х, у х), Р, = Рз (х, у! г), тогда вектор- ное поле задается равенством Р = Р„а' + Рв ~+ Р,й. Вектор йг = =г'(Г) дг = дх! + бд/+ дгй направлен по касательной к линии г(г) и по определению векторной линии коллииеарен вектору поля Р. Из 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
