Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 2
Текст из файла (страница 2)
как зто показано на рис. 4. Рис. 4 Под кусочно-гладкой поверхностью будем понимать непрерывную поверхность, составленную нз конечного числа гладких поверхностей. Найдем налравляюи4ие косинусы единичной нормали гзв, определяемой равенством (6), когда поверхность задана в явном виде г = 1 (х, у). Из векторного представления этой поверхности (л, у) = хй+ у/+ ~ (х, у) гз !. Элементы векторного анализа находим производные: г.'=!+7.'л, гэ=3+Г,уэ, составляем векторное произведение; )й 1О7„ О)У„' г хг„= = — 1' ~ — Ю+)й и вычисляем его модуль: (г,' х г.э'1 =)г 1+ у; + уз. Подставив выражения для г,' х г„' и ~г,' х г„'( в равенство (6), получим — (' ( — )„'7+в уэз )г 1+1,"+)„" Учитывая представление единичного вектора пз — з соз се+.у соз р+ )в сок 'у, для направляющих косинусов окончательно имеем: — -)з' сова=,",; соз13= = У'1+1,"+) ' = Р'1+1г+1; ' 1 соз Т = ' ° (7) )г )+);э+ („'э 3.
Криволинейные координаты. Наряду с декартовой системой координат в векторном анализе широкое применение находят так назы~аемые крнеолиней. ные координаты. Примерами криволинейных координат являются цилиндрические и сферические координаты, которые уже встречались в курсе анализа Положение точки пространства в каждой системе координат задается тройкой чисел (цх, цэ, цэ), причем между тройками чисел (ц', цз, цэ) н точкамн М пространства должно быть установлено взаимно-однозначное соответствие Произвольную систему координат (цх, цз, цз) называют крпволонейной системой коордияаш.
Так кзк каждой точке М пространства можно поставить в соответствие ее декартовы иоординаты (х, у, х) а криволинейные координаты (цх, цз, цз), то это означает, что между переменными х, у, х в цх,цз, цз сушествует функпноиальная зависимость х х (ц', цз, цз), р у (цг, цэ, цз), з з (ц', цз, цэ), (8) причем система (8) должна быть однозначно разрешима в области изменения тройки чисел цх, ц', ц'. Радиус-вектор г (М) точки М через криволинейные координаты цх, цзг цэ эапншется в виде г(М)к н(ц~, цз, цэ) х(ц~, цэ, ца) )+у(ц~, цз, цэ)/+з(цг, цэ, цэ) й.
(9) Для криволинейной системы координат введем понятие координатных поверхностей н коордкнатных линий. Множество точек М (ц', ц', ц') пространства; для котовых фиксирована одна нз координат, называется «оордннатной поэерхнасшью. Множество точек М (ц', цз, цз), у которых фиксированы аве координаты, называется координашной линией.
Очевидно, координатные линии являются пересечением координатных поверхностей. Векторные уравнения координатных линий получаются нз равен- 6 1. Неко»орые яоня»ия векторного анализа 9 ства (9), в котором фиксированы две переменные. Координатную линию, на которой меняется координата д», будем обозначать через а», ч = 1, 2, 3. В каждой точке этой линии будем предполагать существование касательной; векторное уравнение которой имеет внд дг дх ду дг ч ч(+ ».У+ чй ч 1,2,3. (10) ДС» Дач дйч Да» Для краткости будем пользоваться обозначением дг/дд» = г . Векторы г; ч 1, 2, 3, называют координатными осями. Совокупность векторов гг; гэ, гз образует координатный базис. Иго называют локальным (мт стным) базисом. Коренное отличие произвольной криволинейной системы координат от декартовой заключатся атом, что базисные векторы гн ги гэ для криволинейной »нл Рис. 6 сястемы координат раэличыы в рававчных точках пространства, т.
е. при переходе от одной точны (Мг) к другой (Мэ) локальный базис (гм гв г~) меняется как по величине, так и по направлению (рыс. 6). Для декартовой системы координат базисные векторы (6,Г', й) одни и те же во всех точках пространства (рнс. 6). Рис. б Система координат вазываетсы артоэональной криволинейной системой координат, если в любой точие пространства ноординатные линии пересекаются под прямым углом. Тзк кэк ортогональыость координатных линый означает ортого- 10 (. Энемеиты ивкчвривно эивлмза вальность ионрдмнатвык осей, та маобхадвмым и поставочным условием лла ортогоыальности криволинейной системы соорамиат является равенства нулю скв.
парных произвенанийт дг дг г г,= — ° — О, в+з, и, з=!„.2,3, ч'ч дч' )ч или в развернутом виде дх дх дд Зр дз дг — — + — — * — — =0 т~ з. дв"' дс' дсч дсч дрч дсч Прымером ортогональвых .криволинейных систем координат .являются пи. лнидрические и сферические координаты. Введем в каждой точке М ортонормированный базис, состоащии из грел единичных векторов: е,=гд~г,), ее=ге(1гз), е, гз)1гз!.
Хотя этот базис е„.е„еч меняется от точки л точке но направлению; это не мешает любой вектор г (М), заданный в првнввольной точке, записать в визе линейной комбииацыи векторов ед ез, ез.' уг(М)=Г(е', дз, сз)=Рет+рзеч+рз ез, где гч = гч(чт; сз, рз) — проекция вектора гни координатную ось г .
длины )г,х базисных векторов г; ч = 1, 2, 3; обычно называют комрфициентили Лама и обозначают через Н„= Нч (д'; сэ, оз). Таким образом, коэффициенты Ламэ находятся по формулам Коэффициеиты Лемэ играют фундаментальную роль прн вычислениях в криволинейных системах координат. Через коэффициенты Лама выражаются элементы длины, плошади и объема; найдем нх. Дифференциал дуги б! совпадает о алиной дифференциала радиус-вектора )дг), поэтому элемеыты длин координатных линий в криволинейной системе координат выражаются через коэффициенты Ламэ следующим эбразом: (12) б( )бг )=Н боч, ч 1, 2,3.
Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный параллелепипещ образован* ный координатными поверхностями (рис. 7) Ребрами»того параллелепипеда служатотрезки координатныхливий, имеющиедлииы Ж„Нчбрч, ч 1; 2; 3. Для площадей граней этого параллелепипеда можно записать 'равенства бачч Нч Нч бр'бо', ччвз, ч, з-1, 2,3. (13) Точяо так же получается выражение через коэффициенты Лама н для объема бесконечно малаге лараллвлепвпеда: д =баб)зд)з-Н,НеНзде ддзбЮ. й Х Свеввэмюо поле 11 формулы (12), (13), (14) позволяют крнзолвнейвую енетему коорцвнвт р", т = 1, 2 3, е дзвном нрострэвстве Я трзктоввэь квв декнртаву сцстемт кпор. дннзт д", ч = 1, 2, 3, но уже з другом прострзнстве Й. Прн этожбескемечно ме.
лыа крнволнжгйкйй цзрэллелепнпед со сторонзмн 6!$; 61$; 6($ можно рлсеметрввать кек образ прямоугольного пзрзллелепнпедк со сгаронвмн 6ег, 6$$, 66$. В дзльнейшем нзм понадобятся коэффнцненты Лвмэ для цилиндрической всфервческой систем коордвнвт. Цнлнндрячеснцч кеордннзты р, ф н г (р > О, О <Ч (2 и; — со < г ( оэ) св»зоны с деквртовымн ко. орлннзтзмн л, р н г формулами л=рсоз~р, р =ни»ЧЬ г=г (15) Коэффнцненты Лемэ для цнлвпдрнчесной спстемы ноорлввзт имеют знвченпэ Но=)г' созе гр+$!пг о = 1, (!6) Н, '~Грез!пзф+рзсоззгр=р, Н,=1. Между сфервческнмв коордвнлтзвн. г; В н <р (г > О, О ц„е < и, О ( ф ( 2 и)» деквртовымн г, р н г существует зевкснмостгы л=гсозф $1»(Ь р $$1п951вйд (! г) г = г еоз О.
Коэффициенты Лзмэ для сферической системы ноордннзт нмеют следующие знз. чення: Н„)/созэ ~рзцээз+мпзф $!пз В+огиз 6=1„ Но = ~IГ со$$ ф со$$6+Гз $!и ф созз О,+гз $!Пз О =г „(16) Н = р'гезвг грзщ$6-(-гз соззоз!пз 6=сын 6. Ф й 2. СКАЛЯРНОЕ ДОЛЕ, 1. Понятие скалярного н векторного полей. Понятие полн лежит в оонове многия представлений современной физики. ч. физической точки зрения полем называется некоторая чаеть нространстнв, в которой происходит какое-либо интересующее нас физическое явление, Отвлекаясь от физического смысла поля, мы изучим так называемую мвтематичеокув теорикэ ноля.
Будем говорить, что в области ьг задано лсыи, если каждой точке втой области соответствует определеингэе значение некоторой величины — числовой или векторной. Если в каждой точке раесматрмваемой области ь) заданная золнчинв принимает числовые значения, то поле называется скалярным, а если в каждой точке облаети зг задан вектор, то поле называется векторным. Задание скалярного поля озна. чает, что в каждой точке лт р' ((г, имеющей радиус-вектор г = 12 Ь Элементы аенторного анализа = г(М), определена скалярная функция Г (М) ) (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
