Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 5
Текст из файла (страница 5)
)2). зз ь эзчмьвум зектчрз Аналойично определяется область, простая относительно оси Ох. Область О, ограниченная кусочно-гладким контуром у, называется простой, если ее можно разбить на конечное число областей, простых относительно обеих координатных осей. Теорема 1. 'Если область Π— простая, а векторная функция Р = 4 = Р„(х, у) 1+ Р„(х, у)1 непрерывна вместе с частными производными дР„/ду, дР„/дх в замкнутой области О = О+ у, то имеет месив формула Грина Ц( — в — — ") бхбу=~р„бх+Р„бу.
(13) о т+ 1 4 Докажем предварительно теорему для области О, простой одновременно относительно обеих осей Ох и Оу (рис. 12). Рассматривая О как область, простую относительно оси Оу, т. е. О = О„, сведем двойной интеграл )~ — бхбу к повторному; гсвг ву о ь чч.> ь ь ~~ ~" бхбу= ~бх ) —" бу= ~Р„(х, ф(х))бх — ~Р„(х, ~р(х))ах. о а чсо о А ,е (14) ь Определенный интеграл ) Р„(х, ~р (х) ) бх можно заменить криво.
а линейным интегралом по кривой МКФ, т. е. ь ) Р„(х, ~р(х)) бх= )' Р„(х, у)бх — ) Р„(х, у)бх. мкн нкм ь Аналогично, интеграл 1 Р„(х, ~р (х)) бх можно заменить криволиа иейным интегралом по кривой АВС, т. е. ь Р„(х, ~р (х)) бх = ) Р„(х, у) бх. лвс На отрезках МА и СУ имеем бх = О, позтому равны нулю н интегралы ) Р бх, (Р„бх.
Тогда равенство (14) можно записать следующим об- МА С'Н 1 †" бх бу — 1 Р„бх' — 1 Р, бх — ~ Р„.бх — ~Р,бх — ~ Р,,бх, 0 —" Ф ое т АО сн нм МА й 3. Работа векторного лола ЗЗ Рассматривая область 0 как область, простую относительно оси Ох, т. е. считая 0 = 0„, такимн же рассуждениями> как и в алучае 0 = = Ор, получаем формулу Π— «бх >)у $Р« г)у, Складывая два последних равенства, находим формулу Грина (13) для рассматриваемого случая.
Теперь легко доказать теорему для у к в, общего случая. Пусть 0= () О>, где ! 1 О>, ! = 1, 2, ..., и — области, простые относительно координатных осей. Ради простоты рассмотрим случай, когда 6 = Юг = 6, () О, (рис. 13). Границей области 6, в «! является контур Т! = АВСА, а области 0« — контур уа = АС1)А. Для каждой из областей 6, и О, справедлива формула Грина, поэтому можно записать, что ) ) ~ —" — — ) пхну+0( —" — — ) бхду= У Р„ох+ +Раду+~Р,дх+Ррбу. (15) Так как О = О, () О, то в силу аддитивности двойного интеграла левая часть равенства (15) есть двойной интеграл по облаатн О, т. е.
Ш вЂ” ' — ')'х'у+ 0(- — )"'у- С, а, ~~( зР« зр„) о Каждый из контурных интегралов в равенстве (15) перепишем в таком виде: 1Р бх+ Ряду= ) Р дх+Р„г)у+ 1Р„бх+Ррбу, 7> Ааа СА гу Ркбх+ Рр г)у > тРк бх+Рр >(у + 1Рк т)х+Рр ду 24 1. Элементы векторного анализа Из равенства ~ Р„г(к+ Рзг]у = — )Р с]х+ Риг(у заключаем, что СА Аб сумма контурных интегралов есть интеграл по границе у области б, т.е.
~рхбх+Рабу+ ~Ряби+Рабу= ~ Ряби+Рабу= тг т$ АВСПА Таким образом убеждаемся в справедливости формулы (13) в случае, а когда С = б, () бз. Справедливость формулы Грина в случае б = () Гг! ! ! проверяется аналогично. з Формула Грина верна йв более общих предположениях. Отметим зто в следующих замечаниях. Э а и е ч а н н я. 1. Формула (13] остается ~ерной, если функции Рх (л, у) и Ра (я, у) непрерывны в замкнутой области 6. а их производные дР„/ду, дРз~др непрерывны в открытой области и существует интеграл О1 д д ) /, Р Гг Р 2.
Формула Грина верна в для много/+ связной области С, граница которой состоят Гз из кусочно-гладкик контуров (рис. 14) Рис. /4 йля того чтобы теорему Грина распространить на многосвязную область, зту область следует превратить в одвосвязнувЬ что достигается следующим приемом. Пусть Г, -внешний контур, а Г! 1 1; 2; .. ! х, — внутренние контуры.
Проведем дополнительные линии т!; соединяющие внутренние контуры Г! и внешний контур Гь+, тогда область о становится одно. связной. ))Ая полученной области с непрерывным кусочно-гладким контуром г Г + () Г! + 0 т!'+ () т! ! ! ! 1 можно записать формулу Грина. Учитывая, что интегралы по кривым т! и 'Т! взаимно уничтожатся, получаем формулу Грина (16] иля многосвязной областн! ШЫ-Ф Г/ ВРи дРх 1 Г 3 11 —" — — ") бхбр-ур.б +Рабу+ ~ $Р.~ +Рябу (16) о (гв ! ! гГ $4.
ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1. Поверхностные интегралы второго рода. Введем понятие поверхностных интегралов второго рода и помощью определенного в анализе поверхностного интеграла первого рода Ц / (М) г)а, где Х вЂ” гладкан й 4. Потея яекторного поля 25 поверхность, в каждой точке которой определена непрерывная функция 1(М). Пусть Х вЂ” гладкая ориентированная поверхность, ориентация ко. торой определяется единичной нормалью «', и Г(М) — векторная функция, определенная и непрерывная на Е.
Поверхностный интеграл первого рода в случае, когда 1 Г «', есть скалярное произведение вектора Г на единичный вектор нормали «', т. е. интеграл будем называть поверхностныи интегралом второго рода от вектора Р' по поверхности Х. Иногда вместо выражения (1) используется другое обозначение поверхностного интеграла второго рода. Обозначим через до вектор, длина которого численно равна площади злемеита до, а направление совпадает с единичной нормалью «'. Тогда 'выражение (1).принимает внд Поверхность Е, на которой выбрана единичная нормаль «', обозначим Х+, а поверхность Е, на которой выбрана нормаль — «', обозначим через Е- («е и †«е — две ориентации поверхности Х).
Если поменять' ориентацию поверхности, то поверхностный интеграл изменит свой знак, т. е. гг Г,«Я 1о ГГ Г,«едо Запишем интеграл (1) в развернутом виде для декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов Г=*Р„1+Р„Д+Ряй и «е =еаза(+созЯ+соз рФ выражается равенством Г «е = Р„соз а+ Р„соз))+ Р, соз Т, и интеграл (1) принимает вид ЦГ «'до Ц~(Ресоза+Р„соз()+Ртсозу)до. (2) Величины до соз а, до соз(), до созу представляют собой проекции элемента поверхности до соответственно на координатные плоскости уОг; хОг; хОу, т. е.
до соз а = дудг, досоз р = дхдг, досоз т = дхду. Эт Ь Элементы векторного ананнва Равенство (2) перепишем в виде Ц~ Р, бу бг+ Рв дх дг+ Р, дх ду = Я (Р„соз а+Р, соз р+Р, соз у) бо. (3) Из равенства (3) следует, что поверхностный интеграл второго рода (1) можно вычислять с помощью проектирования на координатные плоскости или с помощью поверхностного интеграла первого рода, стоящего в правой части равенства (3). 2. Понятие потока н его вычисление. Ввести понятие потока векторного поля удобно с рассмотрения частного случая.
Пусть чт = о (М)— поле скоростей стационарного потока жидкости и Š— гладкая ориентированная поверхность, ориентация которой определяется единичной иор- У малью па = гав(М). Подсчитаем объем жидкости Я, протекающей за единицу ь времени через поверхность Е. l Разобьем поверхность Е на и чаа стей Е„Е„..., Е,, ..., Е„и под- считаем количество жидкости, проРне. ьз текающей через Ет а единицу времени. Подсчет можно вести следующим образом.
Будем считать, что на Ег скорость потока постоянна и равна значению вектора тг(Мг) в некоторой точке М, с Ег. Тогда количество жидкости, протекающей через площадку Еь равно объему цилиндрического тела, у которого основание Ег, а образующая чь(М,). Объем такого тела приближенно равен объему наклонного цилиндра с образующей чг (М;) и основанием, лежащим в касательной плоскости, проведенной в точке М, (рис.
13), т. е. равен произведению чг (М,) гва (Мг) Лоо где Аа, — площадь элемента поверхности Е ь Суммируя по всем элементам поверхности Е, и переходя к пределу, найдем объем жидкости, проходящей через поверхность Е, в виде поверхностного интеграла второго рода: О= ~~чт гзаба (4) Интеграл (4) называют потоком вектора скорости зт через поверх. ность Е. Понятие потока вводится и для произвольного векторного поля Р' = Г(М).
Пусть Š— гладкая ориентированная поверхность, ориентация которой определяется единичной нормалью па = па(М). Потоком векторного полл Г через поверхность Е называется поверхностный интеграл второго рода П, ГГ Р,жабо й 4. Погон векторного полл 27 Методы вычисления потока П основаны на методах вычисления поверхностных интегралов первого и второго рода и требуют значительных навыков.
Укажем формулу вычисления потока вектора г через поверхность, заданную в неявном виде ф (х, у, г) = О. В этом случае ее можно рассматривать как поверхность уровня ф (М) = с в скалярном поле»р = = »р (х, д, г), нормаль пе к которой направлена по градиенту в сторону возрастания значения с и записывается в виде Пе ~ й бф ) йгзб ф! Из равенства (б) получаем формулу вычисления потока, когда поверхность задана в неявном виде ф (х, у, г) = О: ~~ Е йгзб ф б, причем знак выбирается в зависимости от ориентации поверхности.
П р и и е р ы. !'. Найти поток векторного поля Р хг+ уу' — згй через внешнюю поверхность переболоиде г хг+ у', отсеченного плоскостью г=4. Вычислим градиент скелярного поля ф = хг+ уг — ю йгзб ф 2хФ+2у/ — Ф, он направлен з сторону зозрастзния ф = с. В данном случае нзпрззленне гре. диентя совпадает с напрзелением зиешней нормали, позтому для внешней норма- ли выбираем знак «+ь тогда и»=!У )+2))у — й)Г )' 4хг+гу«+ ! . Подставив это выражение н равенство (5), получаем выражение для иычислеиия патока с помощью позерхностного интеграла: 2х'+ 2у»+ Зг бо. х) )/4х»+4у»+1 Г Используя выражение для злемента поверхности « -У~» Р<-Ч' Ф-У>«- » «*«», вычисление поверхностного интеграла сведем к двойному: П =5 Ц (х»+у') бх бу, (областью интегрирования 0 служт круг хг + уг ( 4).
Вычисление целесообразнее провести н полярной системе координат х = р соз «р, у р шп ~р, бхбу = рдрйр. Падстание зги значения е интеграл,' получим гя г П=5 ) бой(рз бр 40п. о 2'. Найти поток векторного поля гч = гг+ / — хй через енешиюю часть сферы хг+ уз+ гг 1, расположенную н первом онтенте, !. Злемеиты векторного анализа Внешняя нормаль к сфере направлена по радиусу, поэтому на сфере едиинч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
