Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ного радиуса г = 1 единичная нормаль представима в виде г но = — л!+ д/+ зй. г Находим скалярное чроизведенне Р мо = хг+ у — хз = у Лля вычисления потока П = ) ) у4о удобно перейти к сферической системе координат. г На сфере единичного радиуса имеем соотношения у з!п Э з!п у в бо з!и Одэбоь позтому и/2 и/о П=~ Мнут ~ Мп Вбэ= — ". 2 о о 3. Формула Остроградского — Гаусса. В доказанной (см.
5 3) формуле Грина установлена связь между криволинейным интегралом по контуру и двойным интегралом по области„ограниченной этим контуром. Оказывается, что существует аналогичная связь между поверх- ностным интегралом по замкнутой поверхс ности и тройным интегралом по области. ограниченной этой поверхностью. Для где Г выявления этой связи условимся в сле- уо дующей терминологии. я Мы не будем останавливаться на определении замкнутой поверхности в виду его сложности, а ограничимся интуитивным ее у, г г~гдИ понятием, Под замкнутой поверхностью у будем понимать поверхность, являющуюся з„ границей некоторого ограниченного прок странственного тела.
Можно показать, что всякая кусочно-гладкая замкнутая поверхность является ориентируемой. Прн этом одна из ориентаций состоит из единичных нормалей, направленных от поверхности внутрь области ' й, так называемых внутренних нормалей, а другая — из единичных нормалей, направленных от поверхности наружу области ь), так называемых внешних нормалей. Пространственную область й будем называть простой относительно оси Ог, если ее проекция О„„на плоскость хОу является квадрируемой областью, а граница состоит из поверхностей г = г, (х, у) и г = г, (х, у) и части цилиндра. основанием которого является область 6 „. При этом считаем, что функции г, (х, у) и гз(х, у) непрерывны и удовлетворяют неравенству г, (х, у) < г, (х, у) на 6,„(рнс. 16).
Области, простые относительно координатных осей Ок й Оу, определяются также: рассматриваются уравнения поверхности х = х (у, г) и у = у (х, г) и соответственно основания цилиндра 6„, и О„„лежащие в плоскостях уОг и кОг. й 4. Поток векторного поля 29 Область й называется простой, если ее можно разбить на конечное число областей, простых относительно координатных осей Ох, Оу и Ог одновременно. Теорема 1.
Если вектор-функция Р= Р„1 + Р„,/ + Р,й вмеспм о «асп(ными производными дР„/дх, дР„/ду, дР,/дг непрерывна в замыкании простой области й, то имеет место формула Остроградского— Гаусса Я ( —" + —" + — *) йо = $ Р„йу йг+ Ре йх йг + Р, йх йу, (7) где поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности Х. 4 Докажем формулу (7) для области, являющейся простой относительно осн Ог (рис. 16).
Граница Х этой области состоит из трех гладких ориентируемых поверхностей: ~ = ~т+ ~т+ ~вг где Е„Ея — поверхности, определяемые в области О „соответственно уравнениям г = г, (х, у) и г = гв (х, у), а Մ— цйлиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ог. Положительной ориентацией поверхности Х( и Ев являются их внешние стороны Е+ и лз. и Преобразуем тройной интеграл по области 11 от функции дР,/дг к двойному интегралу по проекции О„„: Вг» г»» (» к) я, »»тгт*= [[[ [ — гг»*)т,тгб,к»г (».
И ) [Р, (х, у, гя (х, у)) — Р, (х, у, г, (х, у))[ йх йу.' окв Двойные интегралы выразим через поверхностные по Х(+ и л'з, учитывая ориентацию этих поверхностей: Ц Р,(х,у, г,(х,у))йхйу= ЦР,йхйу, Ь„„ х+ ') Р,(х,у,г,(х, у)) йхйу= — ЦР,йхйу; кв хт тогда тройной интеграл будет представлен в виде суммы поверхностных интегралов: ~ ~ дР, „ОР хй„+ДР и г+ г+ й 5. Дивергенчиь 31 ф 5. ДИВЕРГЕНЦИЯ 1.
Понятие дивергенция. Вновь рассмотрим поток поля скоростей жидкости. Если векторы ег и л' образуют острый угол, то величина чг и' положительна, а если е и л' образуют тупой угол, то величина ег.пО отрицательна. Поэтому поток Я, определяемый поформуле (4) $ 4, вообще говоря, представляет собой избыток жидкости, протекаквцей в сторону положительной нормали л', а не абсолютное количество жидкости, прошедшее через поверхность Х независимо от направления течения.
Величину потока О( поля через замкнутую поверхность Х можно рассматривать как разность между количеством жидкости, поступающей в область й и вытекающей из нее. Если поток положителен, то это означает, что вытекает жидкости больше, чем втекает, и, наоборот, если поток (с отрицателен, то жидкости втекает больше, чем вытекает. Равенство нуля потока Я может означать лиоо отсутствие источников и стоков, либо, по крайней мере, наличие такого распределения источников и стоков, что их общая мощность равна нулю. Величина потока вектора через замкнутую поверхность является глобальной характеристикой поля в области 11 и очень приблизительно позволяет судить о наличии истоков и стоков в области й.
В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения источников и стоков. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке). Дадим определение дивергенции в точке. Фиксированную точку МО векторного поля окружим произвольной замкнутой гладкой поверхностью Х, которая ограничивает область 1)О. Среднее значение потока есть отношение потока вектора Г через поверхность Х к величине объема о = о (РО), заключенного внутри Х: 1 йР.л б. (1) О (ИО) Звз При гидродинамической интерпретации потока вектора величина (1) называется средней мощностью источников и стоков, приходящейся на единицу объема. Предел отношения (1) и есть плогпносгпь потока в точке.
Если существует предел отношения (1), когда поверхность Х стя. гивается в точку М„причем этот предел не зависит от вида поверхности Х, то будем его называть дивергенг(ией поля Г в точке М, и записывать так: Р пООО б(ч гг(М,) =- 1!п1 (2) ме О (оО1 гг~ 01 символ В -г- М, означает, что гюверхность Х стягивается в точку М„ 32 1. Элементы еенторного енелнге при этом, конечно, объем о -н О. Такое определение дивергенция не зависит от выбора системы координат. 2. Вычисление дивергеиции в декартовой системе координат. Найдем выражение дивергенции в декартовой системе координат.
Теорема 1. Вали в области ьг определено векторное поле Р = Р„/+ +Р ~+ Р,Ф, непрерывное вместпе с частными производными дР„/дх, дР„/ду, дР,/де, пто в любой точке М (х, у, г) втой области суще. ствует дивергенция б(» Р (М) и имеет меана формула дР„(м) + дРг (М) + дР,(м) (3) дх ду дг ~ Применяя формулу Остроградского — Гаусса (4.7), можно записать равенство „., ф( гг. „а~, „аР,)~ ~а где йо~ й и Ее — поверхность, ограничивающая область И„по теореме о среднем далее имеем: ( дРх(Мг) + дРг (Мг) + дРг(мг) ) дк ду дг Подставив полученное выражение в (2) и учитывая непрерывность частных производных, убеждаемся в справедливости равенства (3): Р„(м,) аР„(мд аР, (м,) ) х, и ~ дк ау дг (лю', н) дРл (Мо) аРд (М) дРг (М) дк ду дг 3.
Свойства дивергенции. Отметим некоторые простейшие свойства днвергенцни. а) Из линейности частных производных следует свойство линейности дивергенции: й(»(с,Р,+сгР) с,б(»Р,+с,й»Р„с„с,— сопз1. б) Пусть / / (М) — скалярная функция, а Р' = Р (М) — векторная функция. Тогда дивергенция произведения /Р представима в виде суммьа й)»(/Р)=/М»Р+Р цгай/.
(4) В самом леле, справедливо равенство б(»(/Р)= " + + =/М»Р+(Є— + а(/Р„) а(/Р ) а (/Р,) . г а/ дк ду дг дх +Є— +Р, д/ д/ т ду дг й 5 Дивергенция 33 Но выражение в скобках есть скалярное произведение г огай 1. и В частности, если г = гз — постоянный вектор, то йч а = О и формула (4) принимает внд йч(1а) =а йгаг(1, а сели )' = с = сонь(, то огай с = О и формула (4) принимает вид йч(сг") = сйч г'.
П р н ы е р ы. 1'. Лля поля, определяемого выражением )с =1(г) ° г, которое принято называть центрально-симметрическим, найти д(уР. Используя формулу (4), запишем днвергенцию в виде йч г = йч(1(г) г) =1(г)йчг+ г йгаг)1(г). Упростим полученное выражение. Применяя формулу (3), подсчитаем диверген- цию радиус-вектора: й ч г = й ч (х1+ У1+ зй) = 3. По гвормуле (2.9) имеем, что г асад)(г)=Г (г) — ° Подставив значения сНУ г н ягад 1 (г) в выражение гдт г', получим формУлу для вычисления дивергенции центрально-симметрического поля: й У (1 (г) г) = 31 (г) -)- г)' (г) . (5) '2'.
Тело нрашается вокруг оси Ох против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ы = ый. Найти дивергенцию вектора скорости е Скорость е есть векторное произведение ы Х г, вычисляя которое получим а1а О О ю =. — оэа)) чь ых1. е=ыхг= хуа Паа формуле (3) найдем, что где е = еду ( — юу) + ых1) = О. 4. Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме. Дадим векторную интерпретацию формуле Остроградского — Гаусса (4.7), используя понятие дивергенции и потока.
Поверхностный интеграл второго рода в формуле (4.7) представляет собой поток, т. е. ф гх с)У од+ ге бх О2+г г)к с(У = $ г по йо Используя формулу с()чг = ' + — "+ — ', дасх дг"к дда дх до дг тройной интеграл в формуле (7) 3 4 перепишем в виде 2 зан 1б1б !. Элементы векторного анализе поэтому формулу Остроградского — Гаусса можно записать в векторной форме: $)' ае ба= Я б!У) г(п. (б) Эта запись означает, что поток вектора го через внешнюю сторону замкнутой поверхности Х равен интегралу от дивергенции поля )о, взятому по области ьг, ограниченной этой поверхностью г .
Формула Остроградского — Гаусса в форме (б) не зависит ог выбора системы координат. Ее можно применять для вычисления потока через замкнутую поверхность. П р и и е р ы. 3'. Вычислить поток вектора Р = (х — 1)' 1+ (у+ 2)з,/+ + (г — 2)' й через внешнюю сторону сферы (х — 1]' + (у+ 2)з + <г — 2)з= )72 Применяя формулу (6), вычисление искомого потока сводим к тройному интегралу: (1 = $ Г'гзе до = Я<йч <(х 1)з< ! (уз 2)зу )(г 2)за) бо =3 Щ ((х — ! )з+(у+2)а+<г — 2)') до. Вычисление последнего интеграла удобно вести в сферической системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
