Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Векторные линии. Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии. Векторной или силовой линией поля Р(М) называется кривая, у которой касательная т в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рис. 9). г-л г/и) Например, в рассмотренном выше И РГЛ поле скоростей стационарного потока И! жидкости (см.
(2.!)) векторные линии— это траектории движения частиц жидкости. Как всякая кривая, векторная ли- ния может быть охарактеризована своим Рвс. 9 уравнением г(Г), которое зависит от вы- бранной системы координат. Выведем дифференпиальное уравнение для векторной линии в декартовой системе координат. Ради удобства обозначим проекции вектора Р на координатные осн Ох, Оу и Ог соответственно й 3. Работа векторного поля !У условия коллинеарности векторов получаем дифференннальное уравнение векторных линий в декартовой системе координат! дх бу бг "х Рэ Рэ Лля определення векторных линий надо решить систему анфференцнальных уравненнй (1) Будем считать, что проекции Р Рэ, Р, непрерывны н обладают непрерывными частнымн пронзводнымн. Иэ теоремй существования н едннственности решения системы днфференцнальных уравненнй известно, что если вектор Р (М) в точке М отличен от нуля, то через эту точку проходит едннственная векторная линна, являющаяся решением уравнения (1).
Есле Р (М) = О, то все знаменателя в уравнения (1) обращаются в ноль я через эту точку М может проходить х кзк бесчисленное множество векторных ли. ннй, так н нк одной 'Г ,«,у,« Если поле Р Р'е, +Рте, + Раса рас- б! р сматрнеается е крнволинейной системе коор- Г дннат д", т = 1, 2, 3, то векторные линии находятся нз условии коллннеарностн векторов Р и дг = Н,бчгег + Нэбг/эеэ + Нэбзэей 0 У з это прнводнт в системе двфференцнальнык уравнений Н,бя' /!,бсэ Набов Рис. 10 (2) /о Р' - Рэ В частности, в цнлнндрвческих координатах уравненве (2) запишется в анде '!Р Р~~т Р Р э в Рэ а в сферическях — в ваде бг лЮ с з!и ейр (4) П р н м е р 1'.
Определить векторные ливии напряженности магнитного поля, образованного электрическим током, текущим с силой / по бесконечно длинному прямолинейному проводу. Найдем предварительно вектор Н напряженности магнитного поля. Ось Ох направим по проволу, в пусть ток течет в положнтельном направления осв Ог. Элемент провода М по закону Бно — Севера создает в точке М (х, у, з) напряженность 1 бН вЂ”, (б!Ем«,), где г! РМ/ гт * )РМ! — длина вектора гг, Р (0,0, /) — точка элемента провода М (рнс. 10) Интегрируя вдоль осн Ог, наййем напряженность магнитного полн в точке М! ОО Н-Н(М) 1 ~ —, М. 1' йХгг гх Ф\ 18 1.
Элементы векторного анализа Рл =,) )„)-ь ) — з)., т) ~ Рт) = ) . ляя, кроме того, векторное пронзведенне )(у й йХг)= О О 1 =у(+х! х у г — !) , н подставляя зтн выражения под знак интеграла в равенство (б), получаем л) Н=! — у)+ х! — б!. ~)/(хз + уз+(г — !)')з 60 Последннй интеграл вычисляется с помощью замены ! — г ')/хл+ уз (йа! которая приводит его к виду п(2 ! ( — у!+ х!) )".
2! Н= соз ада = — ( — у(+ х!). хз+ уз „1 х'+ у' -я!2 Для получения уравнения силовых лнннй надо рещнть систему днфферен. цнальных уравнений (1), которая в данном случае прнннмаег внд бх ду бг — 2(у((хе+уз) 2!х((ха+уз) о ' 2! нлн после сокращення на множитель —. хз+ уз бх ду бг — у х О Отсюда получаем систему уравнений хбх + уду = О, дг О,' решая которую найдем семейство уравнений векторных линий напряженноств магнитного поля хе + у' = яз, г = с. Постоянные с н Я определяются яз условия прохождения векторной лнннн че- рез определенную точку М, (х)ь уз, г,) Через любую точку, не лежащую на осн Ог, проходит единственная векторная лнння, представляющая собой окруж- ность, лежащую в плоскости, параллельной плоскостн хОу 2.
Криволинейные интегралы второго рода. Введем понятие криво- линейного интеграла второго рода с помощью определенного в анали- зе криволинейного интеграла первого рода ) ! (М) ()(, где у — гладкая кривая, в каждой точке которой определена непрерывная скалярная функция ! (М). Пусть у — гладкая ориентированная кривая, т' = = т' (М) — единичный вектор касательной к ней в точке М и Р (М)— векторная функция, определенная и непрерывная на у, Криволинейный интеграл первого рода в случае, когда ! = го.те, есть скалярное произведение вектора Г на единичный вектор каса- тельной т', т, е. интеграл (6) 5 3. Роботе векторного поля будем называть криволиыгйиылт интггралолг впюрвго рода от вектора Рпо кривой у, Используя соотношение теб1 = бг, криволинейный интеграл второго рода запишем в другой форме: ) Р.б~ ) Р,теб( (7) Криволинейные интегралы второго рода можно определить н для кусочноглвдкнх кривых Если à — кусочна-гладкая кривая, т е прекстввимв квк обък единение конечного числа гладких кривых т», »=1, 2; ..., л, Г = 0 ть то по » ! определению полагаем ') Р В = ~и~ ) Р бг.
г ~ т» 3. Работа векторного поля. Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла (6). Если в некоторой области »1 задано непрерывное силовое поле Р (М), то известно, что при перемещении материальной точки вдоль гладкой ориентированной кривой у поле совершит некоторую работу А. Для ее определения разобьем линию у на п дуг точками В = М„М„..., М», М»+ы ..., М„= С(рис. 11). Пусть Є— произвольная точка дуги М»М,+„а те (Р„) — единичный вектор касательной к кривой у в втой точке.
Если Ы» — длина дуги кривой М» М»+ы При помощи соотношений Р= Р,!+ Рв3+ Р, й, бг = дх1 + ду~+ бгж, т'=сова!+сов|/+сов уй равенство (7) запишем в декартовой системе координат~ ) Ркбх+Рвг(у+Р,г(г=) (Р сова+Рвсозр+Р,сову)Й. (Е) Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой, т.
е. ~Р бг = — ~Р бг. (9) АВ ВА 4 Действительно, если те — единичный вектор касательной к кривой АВ, то при изменении ориентации кривой ее единичный вектор будет = — т'. Используя равенство (7), получаем ) Р дг = ) Р.тО б(= — ) Р.те 41 = — ) Р.дг.
° ь.т н ВА ВА АВ Ав зо Ь Элементы аанторното анализа в=м Рис $1 зом, работа А по перемещению материальной точки в непрерывном си- ловом поле выражается криволинейным интегралом второго рода: А= ~Р"сат(1=~)о дг. т т (10) Если кривая у имеет векторное представление г= г (1), 1 р (а,()), то работа А вычисляется по формуле з ~Р бг= ~Р(М(Г)) '(1)бб (1 1) т а Подставляя в зту формулу значение г' (г), получаем формулу вычисления работы в декартовой системе координат: !лт -(Ю ~о,тн,но'ант.иа,ин,*еттнт. +Р,(х(г), у(г), г(г)) г'(г)) бй (12] Если поле à — плоское и кривая у задана в явном виде у = у (х), а ( х,, Ь, то работа (10) вычисляется по формуле ) Г дг = 1 [Р„(х, у(х))+ Р„(х, у(х)) у' (х)) т(х. т а то работу ЬА» на'участке М» М»+, можно приближенно вычислить в помощью скалярного произведения: ЛА» = Г(Р») та(Р») М».
За работу А на всей кривой ВС естественно принять предел А !пп ~к~ Г(Р ).та(Р )Ы» атэз Ы» О» Этот предел при условии его существования представляет собой криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения Р (М)* т' (М), т. е. криволинейный интеграл второго рода (6). Таким обра- й 3. Рвботв векторного поля 2! П р и м е р ы. !'. Вычислить работу силового поля Р = хт'+ у/+ га вдоль первого витка винтовой линии к: соз й р з)п й з = 2 й О Ч, ! ~(2 тт, Применяя формулу ()2), находим! гн А= ~ Р бг=~ ( — созе ге!п з+з!и г соя г — 4! з)п !) ги т е !зп ! !зп )зп )зп — созе ! ~ — — созе г' + 4Г соз ! ~ — 4 з!и ! ! =8п.
з в о 2'. Вычислвть рзботу полн Р гlгз вдоль рздиус-векторв г от точки Мт (г,) до точки Мя (г,). Из равенства г" = гз следует равенство 2гог = 2гбг, понтону имеем гт !. гбг Р бг г( гз,~ гз г )г, гт гз т 3'. Поквзвть; что рзботз поля Р вдоль любой векторной линии етого поля отличив от нуля. Пусть у — векторная линия поля Р. Тогда в каждой точке М крявой у кзсвтельнзя к у нвпрввленз по направлению вектора Р (М).
Отсюдз получаем сквляриое яронзведенне Р тз = )Р! > О, з потому при етом кривзя у может быть ззмкнутой. 4. Формула Грина. В векторном анализе широкое применение находит формула Грина, которая устанавливает связь между работой плоского векторного поля Р по контуру у е двойным интегралом по области б, ограниченной этим контуром. р Введем предварительно понятия по- .
т! К ложительной и отрицательной ориента- у рг» з! ций контура у. Ориентация контура у М называется положительной, если при А Юг С обходе контура у, соответствуюшего б возрастанию параметра, область 6 оста- д 'г(») ется слева (такой обход обычно называ- з» ют обходом контура против часовой стрелки), в противном случае — отриг(а- рис. )2 тзльной.
Положительно ориентированный контур будем обозначать через у+, а отрицательно ориентированный — через у . Эти понятия определены не строго, но они послужат нам для геометрической наглядности рассматриваемых ниже вопросов.. Формулу Грина докажем для простых областей 6. При этом плоская область бз называется «рос«ктм относительно оси Оу, если ее граница состоит из графиков двух непрерывных на [а, Ы функций у = = !р (х), у ф (к), <р (х) ( ф (х), н, может быть, двух отрезков пря- мых к а, д Ь (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
