Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 13
Текст из файла (страница 13)
очах ( а, (Л() — а, (гч') (( е. нее Функция 1 = 1, — 1, удовлетворяет уравнению Ллн лга Л1 = О и гРаничномУ Условию 1(е = а, (Л() — сс, (Лг). Но д, м всех точек И Е ьв спрнведлнво неравенство гп(п 1(Л() (1(М) ( шах 1(Л(), нее нсе нз которого следует неравенство для модуля функции 1 (М) (1(Л() , '= шах (1(Л()(= птах)а, (Л() — аз(Л()(( е. не е нее Таким образом, для теМ Е ье решения 1, (М) и 1, (М) отличаются друг от друга на величину, ие превосходящую по модулю е, т. е.
(1, (М)— — 1в (М)1( ' Доказанное свойство непрерывной зависимости решения задачи Дирихле от граничных условий очень важно при решении физических задач, так как небольшие пзьлеиения в граничных условиях могут внести только небольшие изменения в региеиие задачи. Теорема 2. Решение 1 (М) задачи Неймана, если оно сргиествует, единственно с точностью до лроизвольной лостояиной.
чвПусть в области (е существуют два решения задачи Неймана: 1г и 1з. Тогда фунниия 1 = Л вЂ” 1з удовлетворяет уравнению Лапласа й1 = О и нулевому говничному условию — ~ = О, Применяя третью формулу Грина, получим равен- 61 ди е ство О (кга6 Дч 6о = Я 1 — бо = О, -юЙ— гг 61 Здесь (йга61)з > О, а Я (йгад 1)з до=о, ) й 4. Задачи Дирихле и Неймана 62 что возможно лншь в случае, когда нгв((1 О. По свойству граднента Г 4 2 гл.! заключаем, что г — с совы, т. е. (з = й + с.
2. Решение задачи Дирихле методом функции Грина. Формула (3.16) неудобна тем, что требует одновременного знания функции Г(У) и ее нормальной производной дГ)дп на границе Е. Следовательно, в таком виде она не может быть использована для решения задачи Дирихле или задачи Неймана. Преобразуем формулу (3.16). Вторую формулу Грина (3.10), считая функцию ф (Р, М) = Ф (Р, М) гармонической, представим в виде О = — ~ — $ у — до + $ Ф вЂ” до — Я ФЛГдо) Е Е а и сложим с формулой (3.16): 1(Р) — — — + Ф вЂ” до — ) + Ф)дп 4п (ЭУ(,г 1 йи ЗУ дн(г (5) Если ввести обозначение О(Р, М) = — +Ф= — +Ф(Р, М), тли то предыдущая формула примет вид )(Р) — )) с — х — )) ) — — псих ).
(6) 4н ~ йл йм Формула (6) справедлива для любой гармонической функции Ф (Р, М), Гармоническая функция единственным образом определяется через свои граничные значения. Выберем гармоническую функцию Ф (Р, М) так, чтобы на границе Е выполнялось равенство Ф (Р, М) ~ в = Ф( Р, )"в') = —— ге) „ при'этом на границе введенная функция (5) обращается в ноль, б (Р, М) )в = 6 (Р, )У) = О. (7) Здесь Р— фиксированная точка области ьа, а (ч' — произвольная точка границы Х.
Функция 6 (Р, М), определяемая равенством (5) и обращающаяся в ноль на границе Х, называется функ(4ией Грима задачи Дирихлн. Решение задачи Дирихле методом функции Грина состоит из двух этапов: 1) построение функции Грина (5), что сводится к нахождению гар- монической функции Ф (Р, М) по ее граничным условиям (7); 70 и. Специальные виды векторных полей 2) непосредственное вычисление решения задачи Дирихле по фор- муле Т (Р) = — — !а а (У) — до — — ! О бйбп. 1 гг бб ! г (8) 4л бл х и ~(Р)= — — Йа(йг) ' ' 1 с(о()Ч). 4л 17 дл (9) Функцию Грина (5) называют также 44рнхкигй точечного источника. Так< е название связано с физи~еской интерпретацией функции Грина.
Так, в случае электростатического поля первое слагаемое 11г есть потенциал точечного заряда, в второе слагаемое Ф(Р, М) обозначает потенциал полн зарядов, ипдуцированвых на проводящей поверхности В. Таким образом, построение функции источника сводится к определению индуцированного поля. В случае плоской области О функция Грина имеет внд 1 6(Р, М)= — !п — +Ф (Р, М), гни (101 где Ф (Р, М) — гармоническая функция. Решение задачи Лнрихле задается фор- мулой 46 1 Р~' 1(Р)= — — (~) л !д() — 41 — — ) ~ й!М! 0 (Р, М) бо, 2л 3 бл 2л ),) которая получается из формулы (3.20).
Гармоническая функция Ф (Р, М) в ра- венстве (10) определяется иа граничного условия 1 ! 1 Ф( =Ф (Р, дг! = — 1п — ~ = — !ив т гл ~ ГЛ где Р— рассматриваемая точка, а 1ч — текушая точка границы у. Формула (11) получается таким же образом, как н формула (8), Ее вывод прелоставляем чита. тел ям. 3. Решение задачи Неймана методом функции Грина.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа существует не для всех граничных условий (4), а лишь для тех, которые удовлетворяют равенству $(Ыо = (ф — до =0 б) (12) (см. свойство А гармонических функций 4 3). Отметим, что функция Грина определяется только видом поверхности Х и не связана ни с граничными условиями (3) задачи Дирихле, ни со значением лапласиана гх! в области ь). Поэтому если для данной области ь) построена функция Грина 6 (Р, й4), то она дает решение уравнения Пуассона (1) целому классу задач с произвольными граничными значениями (3) и с произвольной правой частью д.
В частности, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа (2) дается форыулг й 5 4. Задачи Дирихяе и Неймана 71 Для построения функции 1'рина по формуле [6) надо определить грмоническую функцию Ф(Р, М). Заметим, что гармонической функции Ф(Р, М), удовлетворяющей условию (13) не существует, В самом деле, полагая в формуле (3.16) ) (М) = 1, полу таем со- отношение 1 б $ г — бп = — 4п, Х бп 1 дг т. е. для функции — не выполняется условие(!2), а это и означает что несубп шествует гармонической функции Ф (Р, М), для которой выполвашся условие (13), Поэтому вместо условия (13) берем условие 6— дФ г 4п (14) дп и пп х о(Х где 5 (Х) — площадь поверхности Х, В этом случае условие (12) выполнено н можно построи~ь гармоническую функцию Ф (Р, М), удовлетворяющую уело.
вию (14). Функция Грина О (Р, М) строится по формуле (5) н яа границе Е удовлетворяет условию бО! 4я бп (х Б(Х) Из равенства (6) следует, что решение задачи Неймана дается формулой 1 /гг ГРГ ) (Р) = — (Л!() О(Р, М) () (дг) Пп — ) ! дОдо — — ф )бо. 4л 3~~ ) 3(2) У Е Е 1 д(" Интеграл — )у/боестьсреднеезначениенеизвестной функции; хотя само это 5 (Х)е значение н неизвестно, тем не менее оно постоннно. По теореме 2 решение задачи Неймана определяется с точностью до константы, поэтому решение поставленной задачи записывается в виде ! (гг 1Г)- — ~)м) Г(Г.
И Э(И 4 — ))) Г<И>Г(Г. И)и~ Г . НН 4н Решение чадачи Неймана в случае плоской области с! определяется по формуле 1 1 Р ) (Р)= — Су()(~т)О(рг )у) д! — — ~~ д(М) О(Р, М) 4о+е, (16) 2н 3 2п,) и. Специальные виды векториыя полей причем функция Грина С1Р, дт) на контуре т удовлетворяя< условны <)й 2п где й (т) — длина контура т. Вывод формулы (16) аналогичен выводу формулы (13). н его мы предоставляем читателям. 4. Решение задачи Дирихле для шара и круга.
Задача нахождения функции Грина достаточно сложна и требует громоздких выкладок даже для простых областей. Существуют разр< личные методы построения функции Грина. Одним из таких методов является метод симметрии. В качестве примера рассмотрим построение функции Грина для задачи Дирихле в случае шара. Р Найдем функцию Грина (5) задачи Днрихле Ь) = д, Г )я = а (У) в случае, когда область й — шар с центром в точке 0 радиуса й.
Для этого требуется поо строить гармоническую функцию Ф (Р, М) по граничным условиям Х Ф(Р М))х =Ф(Р У) = — — ' ° (17) гмр где точки Р— фиксированная, а У вЂ” произвольная граничная. Пусть точка Р отстоит от центра сферы на расстоянии ОР = р. Обоз. начим через Р' точку, симметричную Р относительно сферы (рис 35). Она лежит на одном радиусе с точкой Р и удовлетворяет условию -ОР ОР' = К'1 так как ОР' =-).ОР, то йОРЯ = И, Х = КЯ)ОРЯ =. — ))я— = тта/рв и ОР =- — ОР.
Пусть М вЂ” произвольная точка, лем<ащая ря внутри сферы Х, тогда функция 1/гр и — гармоническая внутри сферы. Функцию Ф (Р, М) будем искать в виде сартр и, где с = сопя(. Подберем с так, чтобы удовлетворить граничным условиям (17): с 1 с 1 — — — —, с(0. гр'и е гр' и рлг Отсюда выводим соотношение гр и = сарры, которое запишем в виде Р УЯ = РРУЯ. Учитывая, что Р'У = ОУ вЂ” ОР', пол)чаев< для скалярного квадрата представление Р'У' =(ОУ вЂ” ОР')Я=ОУЯ вЂ” 20У ОР'+ОР' = = — (К' — 20У ОР+ рв). ря 5 4. Задачи Дириале и Неймана 73 Выражение, стояшее в скобках, есть квадрат длины вектора РМ. Дей- ствительно, РМа =(ОМ вЂ” ОР)' = Я' — 2ОМ.ОР +ра Таким образом, Р'М' =с'РМ' = —., РМ', с~О, и, следовательно, Р я —, я с = — —, ( Р'М ( = — ( РМ (.
Тогда гармоническая функция имеет Р Р и 1 вид Ф (Р, М) = — — —,, подставив эту функцию в формулу (5), Р Р'и найдем функцию Грина: 6(Р, М) = — — —— 1 и 1 '~м Р 'Р и Теперь воспользуемся формулой (8), определяюшей решение задачи Дирихле, Дли этого найдем значение нормальной производной ид .»6 на сфере: — — =агад Π—. л6! Р6! 6М »!и,е аг а и Градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания, для его вычисления воспользуемся формулой (1.2,9) РМ ЛРМ Р»Р и/ »Рм Р РР» м ягабО(Р, М)=-!р ( 1, »Рм Преобразуем это выражение, учитывая, что г~ м = — Ом; тогда я 1 /ра» йгас(6(Р, М) = —, — Р' М вЂ” РМ ) 'Рм ( ма — ОМ вЂ” ОР— ОМ -~-ОР)= ",, ОМ.
»Р»м '! ма ! Я''Р»М )(Р) =:Р Я вЂ” )бо — — Щ( — — — — )д(М) <Ь. Х и ((8) Следовательно, для нормальной производной получаем выражение <16 р' — Яа ! — = ягаг( 6 аа !х = »ч гр' „ Подставив 6 и — ~ в формулу (8), получим решение задачи Дирихле 46 дл!з уравнения Пуассона для шара радиуса Я в интегральной форме; 74 И. Специальные виды векторных полей В частности, для уравнения Лапласа решение представляется по- верхностным интегралом ал)Т )з „з х (19) который называют интегралом Пуассона. Решение задачи Дирихле для уравнений Пуассона и Лапласа в интегральной форме в случае шара дается соответственно формулами (!8) и (19). Интегралы в формулах (!8) и (19), как правило, находятся приближенными методами.
Так же, как и в случае шара, решается задача Дприхле для круга. В качестве упражнения предлагаем читашлям показать, что функция Грива в случае круга имеет вид 1 /)Т 1 ( Р М ) ! и ! | 'Рм Р "Р и) где Р' — точка, симметричная точке Р относительно окрунсности радиуса )Т, а решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона дастся формулов — —,и а(й') ! РР Т ! Г( — Ж вЂ” — Ц Е(М)~!и — — !и — ) оо, (20) 2,),) Из рз )(Р)- 2 )Т 2л)Т В частности, для уравнения Лапласа решение записывается с помощью криво.
линейного интеграла; )сз — рз р а(п) !(Р) (2!! 7м "ч Интеграл (21), так же как и (19), называют интегралом Пуассона. Сведем криволинейный интеграл (21) к определенному. Пусть в полярной оистеме координат Р (р, Т), )У ()Т, ф), тогда г' =.)Тз+рз — 2)(рсоа(д — Т), Ш=ййт и интеграл Пуассона (2!) принимает вид из рз а()Т, ф) и»= 2д,! Яз+ рз -2)ТР соз (~р — Т) йч. о (22) „" 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
