Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(9? (х1,Г) (21;1) ° х! г ° х!.! Правая часть этого неравенства есть член сходящегося числового ряда, следовательно, ряд ~ (иаоа! сходится. Поэтому, суммируя З-1 неравенства (9) по )) от 1 до оо, получаем неравенство Гельдера для сумм (8). $» Если в (8) положить р = д 2. то получится неравенство « « «» 1кз еа ! <~)г ~~11 )нар ~ ! оа !' З 1 а-1 а-1 (18) называемое неравенством Коши. Применяя неравенство (4), найдем опенку ! сз ! Х,?;Г ьа ПЬ Нвкоторыв лонлтик функционального анализа 4. г(еравенства Минковского для интегралов и сумм.
Устанавливаемые в следующих теоремах неравенства находят большое применение как в функциональном анализе, так и в теории ортогональных рядов и в ряде других областей математики. Теорема 3. Пусть заданные на (а, о) функции х (8) и у (1) таковы, что существуют и конечны интегралы ~! х(1),аду (оо, ~(у(т) )л пг <во, р р!. (1 !) Тогда функция (х (8) + у (8))Р также интегрируелга и справедливо неравенство Минковского с ь уь , ггр Г!Р ) ) х (1) + у (1) ~Р й) ( ~~ ( х (г) (Р Й) + ~ ( у (1) )л й а И в <1 Применяя неравенство (5), получаем опенку (х(г)+у(1) (л (2Р((х(г)(л+(у(1) 1Р), пз которой и следует конечность интеграла ~ ) х (1) + у (г) )л пг ( оо.
и Оценим этот интеграл, представив его предварительно в виде ~ ) Х (1) + у (1) (Р й = ~ ) Х (1) + у ( т) )л — ' ( Х (1) + у (Г) )й~ ь ь (~)х(1)+у(1)) — '(х(1)~бт+~(х(у)+у(1))л — )у(()~а (12) Ввода обозначение д = — и замечая, что РР— 1 (л-ыл ь = 1 ) х (1) -,'- у (г) 1л д( ( а й !. Постановка задач. Неравенства Гальдера и Минковского 87 применим к правой части неравенства (12) неравенство Гельдера (6), Тогда получим оценку ь ,ь х!/и ь т! т/е ~~х(!)+ у(!)(пй -((1х(!))пд/~ ~)х(!)+!/(!)1<и "ай + а а а /ь т, т/и /ь д !/! +~~~у(Г)( д/~ Ях(1)+р(!)) -' д/) а а /ь !/а/ ь и!/и ь т! т/и! =~~~х(!)+ у(/))пй ~ ~)х(/)1пд!~ + ~!у(1)(пй~ а а а ь Разделим обе части этого неравенства на множитель () (х (!) -~ а +у(!)) "й) /а и учтем, что 1 — — = —; в результате получим нера! ! ! в Р Венство ь т,!/и ль Х !/и /ь чт ! /и $)х(1) + р(1)) й ( ~)х(Г))~й + $)у(1)) й а а а Теорема 4.
О!/сть иоследоьательности (и») и (о») таков»!, что О От ряды ~а )и»)п и ~ 1о»1п, р ) 1, сходятся. Тогда ряд ~л~~ '1и» + о»!и а=! »=! »=! ти»зке сходится и ич!еет игс/по неравенство Минковского для рядов 4 Из неравенства (5) следует оценка ! и„+ о!, )~ е 2п (( и» (и 1 ) о» 1п) из которой и вытекает сходимость ряда ~„(и» + о») Как я при до» ! казательстве теоремы 3, оценим этот ряд, используя неравенство Гельдера для сумм: ', ', ) и» + с» (и ( ч,', ) и„+ о» (и — ' ) и» !+ ь ! »=! + '„ ) и» + о» ! — ' ) о» ! ( ь=! » !/а .~ ~~ ) )п) ~ ~ч~!и»+о»1! — ' ) + »-! ь=! 1и. Некоторые лонятия функционального анализа Х<!р °,» ', 1Ы +( ~чз~ (оь!е~ ( ~ч'„(па+аз(<Р-11а! гт»=1 <Ь=< -(х1ъ» г) "((х ~ »)"'»( х1"1)""! Разделив тепеРь обе части етого неРавенства на (~~Р„(и„+ оа(Р)<га, Ь=1 получим неравенство (!3). в й Х МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !.
Метрика и предел в метрическом пространстве. В математическом анализе мы уже встречались с различными видами сходимости, определяемыми различными понятиями предела. Напомним из них, ' к примеру, следующие: а) в множестве действительных чисел Е, (или в множестве комплексных чисел К) предел последовательности (х„), т. е.
х = (пп х„, ознал чает, что х е - О а й< = й< (е) такое, что (хл — х!(е Ь'и~А<(е); б) в множестве непрерывных на отрезке (а, (т! функций равномерная сходимость последовательности функций (Т„(х)) к функции Т" (х) означает, что Хг е ) О Н 1<г' = У (е) такое, что <пах ! Т*„(х) — 1*(х) ! ( е, 'с и ) тьг (е); аз зкь в) в множестве интегрируемых с квадратом на !а, Ы функций сходимость в среднем последовательности ()„(х)) к функции /(х) означает сходимость к нулю последовательности интегралов ь )л»»~(Т„(х) — Т(х))'<(х; г) в множестве й-мерных векторов сходимость последовательности секторов (х<"1 = (х<,"1,,хз<"')) к вектору а = (а„..., аз) можетозпачать либо малость величин ~' (х<"1 — а,)' (е о' и~ й<(е), т=< либо малость величин <пах ! х<" 1 — а, ! ( е '<я и ) У (е).
1~»<к й Х Метрические пространстве ав Замечая, что непрерывная на!а, Ы функция интегрируема с квадратом на этом отрезке, из примеров б), в) и г) заключаем, что «близость» даже одних и тех же элементов множества может рассматриваться в различных смыслах в зависимости от выбранной меры «близости» между элементами, которую называют расстоянием между элементами.
Если же в множество введено понятие расстояния между его элементами, то в этом множестве можно ввести понятие предела и превратить это множество в пространство. Дадим в связи с этим следующие определенияя. Множество Х называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное неотрицательное число рх (х, у), удовлетворяющее условиям; 1) р„(х, у) = О тогда и только тогда, когда х = у; 2) р„(х, у) = р„(у, х) (аксиома симметрии); 3) для любых элементов х, у и г из множества Х имеет место соотношение р„(х, г) ( р» (х, у) + р» (у, г) (аксиома треугольника).
Величину р„(х, д) называют расстоянием или метрикой пространстеа Х, а условия 1), 2) и 3) — аксиомами метрики. Метрическое пространство, полученное из множества Х путем введения в него метрики р» (х, у), будем обозначать через Х, а в случае, когда это ие будет вызывать недоразумений, — просто через Х. При исследовании конкретных метрических пространств вместо р„(х, у) также будем. писать р (х, у).
С помощью метрики в метрическом пространстве. Хь можно ввести и понятие предела. Элемент х Е Хя называется пределом последовательности (х„) се: Х , если р (х„, х) - О при и — оо, Сходящиеся последовательности метрического пространства обладают свойствами сходящихся последовательностей вещественных чисел.
Приведем для примера доказательство следующего свойства. Теорема 1. Сходяи(аяся последовательность (х„) я«три«вского пространства Хо яв может иметь двух пределов. ~Предположим, что (ип х„= х н Игл х„= у, т. е, р (х„, х) ь б н р (х„, у) -ь 0 я ььь я сь прн и — со. Тогда по аксиоме треугольника справедливо неравенство р(х, у) «,.р(х, х„)+р(х„, у).
Но правая часть »того неравенства в силу предположения длн доствточно больтнх и может быть сделана сколь угодно малой. Зто означает, что р (х, у) = О. Тогда по первой вксноме метрики вяключпем, что х = у.)ь Приведем еще определение необходимого в дальнейшем понятия г-окрестности: г-окрестностью точки а, а Е Х, обозначаемой через Я (а, г), называется шар с центром в точке а радиуса г, т.
е. множество точек х Е Х таких, что р (х, а) ( г. 2. Евклидова пространство. По аналогии с трехмерным пространством Е», где рассматриваются трехмерные векторы х= (х„х„х,), 90 Н!. Некоторые нонятия функционального анализа р(Х, у)лл ~Ч', (Х,— у,)' » ! Выполнение первых двух свойств метрики для этого расстояния очевидно, а третье свойство легко получим, если применим неравенство Минковского для конечных сумм. В самом деле, если г = (г„..., ..., гл), то имеем неравенство л р(х, г)лл 1/ ~ (х„— г„)' = л = 1/ ~~'.~ [(х» — у»)+(у» — г»))я ( » ! л и (1/ ~ч', (х» — у,)' -[-1/ 'с » » ! ,У»») а это и есть неравенство треугольника р (х, г) ( р (х, у) + р (у, г).
Используя метрику (!), в множестве п-мерных векторов пятне предела последовательности (х!а!), полагая, что х введем по= 1!гп х!'1, а-» ЕСЛИ ТОЛЬКО / л 1!и! р(х!'1, х) = !!!п1/ ~', (х!' — х,)я=О. * » ! (2) Из псследнего соотношения следуют неравенства !!п! х!а'=х„т=1, 2, ..., и, а-»ы из которых заключаем, что сходимость последовательности (х!"!) означает также сходимость последовательностей координат (х' '), и=1,2, ...,и.
Таким образом, множество и-мерных векторов с введенным в нем !!онятиями метрики (!) и предела (2) становится метрическим пространством, которое обозначается через Е„и называется и-мерным венпюрпым или и-мерным евклидовым пространством. Сво9сТйа пространства Е„ при и ~ 3 аналогичны свойствам трех::ериого пространства. Остановимся на некоторых из них. введем в рассмотрение множество и-мерных векторов х = (х„ х„..., х,), где х „, » = 1, 2, ..., и, — вещественные числа.
Определимы расстояние между двумя векторами х = (х„..., х„) и у = (у„..., ул) следующим образом: (1) й 2. Метрмческче пространства 9! Векторы х<'>, х<'>, ..., хо">, 1 ( т п, называются линейно независимыми, если равенство ~ а х<'> = 0 возможно только тогда, » > когда а, = 0 для всех е = 1, 2, ..., т (здесь через 0 обозначен нулевой элемент простраиства Е„, т. е. 0 = (О, О, ..., 0)). С лярным произведением векторов х = (х„..., х„) и у = (у„..., ..„у„), обозначаемым через (х, у), называется сумма парных произведений одноименных к<юрдинат, т.
е. в (х, у) = ~ч'„х»у». Любые и линейно независимых векторов пространства Е„образуют базис этого пространства. Базис е">, ..., е< "> называется ортогонильным, если (е<">, е<в>) = 0 при е чь ><. Если же (1 при»=)з, то базис называется ортонормировинным. Теорема 2. С помои<ею любой системы т линейно независимых векторов х<'>, х<", ..., х'"'>, 1 ( т ( и, пространства Е„можно пш строить систему ортонормированных векторов е<'>, ..., е<"'.
< Воспользуемся предложенным Е. Шмидтом еще в 1905 г. оби!им методом ортогонализоции. Ортонормированную систему (е<'>) б)- дем строить последовательно, Прежде всего положим, что е<» = х<»1)/ (х<», х<'>). Выберем теперь не обращающиеся одновременно в ноль постояинь<е а„и а, так, чтобы для вектора е'з' = амь"> + азвх<'> выполнялись соотношения (е<", е<'>) = ам+с< (х<" е<'>) =0 (О) (е">, е<з>) =- а,'<+ а»зз (х<з>, хоп) -1-2ам с<„(х<'>, е< '>) = 1, Возможность выбора одновременно отличных от нуля величин аи и а„в равенстве (3) следует из линейной независимости векторов .':., и е<» =х<»/)Г(х<», х<"). При этом ясно, что азв Ф О.
Далее, выбираем три одновременно не равных нулю постоянных ам, а,„и а, так, чтобы для вектора е<з> аз>е" >+авве<э>+а»зх<з> выполнялись соотношения (е<'>, е<з>) (е<з> е<з>) 0 и (е<з> е<з>) 1 Возможность выбора таких постоянных также следует из линейной независимости векторов х<'>, е<'> и е<'>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
