Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Уравнение неразрывности. В качестве применения теории век. торного поля в физике дадим вывод одного из уравнений движения жидкости (газа) — уравнения и е р а з р ы в иост и. Движение газа будем рассматривать как движение сжимаемой жидкости, плотность которой р = р (М, 1) является функцией точки М н времени й 5. Вывод некоторык уравнений мвтемвтииеской физики 75 д Движение жидкости может быть охарактеризовано заданием поля скоростей тт = тт(М, ~). При любом движении жидкости функции тт и р будут связаны между собой уравнением, которое называется уравнением неразрывности.
При выводе этого уравнения используется метод, при котором двумя различными способами подсчитывается изменение массы жидкое~и, находящейся внутри произвольно взятой поверхности Х, ограничивающей область Й. Количество жидкости, находящейся в данном объеме а данный момент времени, вычисляется с помощью тройного интеграла Щ р(М, 1) Ж.
За время Лл количество жидкости Я в лв изменится на величину лз-вттло о(л=Ят~и,~тллл, ())л~и „„ ГО ати<М,Д Подсчитаем теперь изменение количества жидкости в том же объеме за тот же промежуток времени другим способом. Полученное при этом изменение количества жидкости в объеме л) может произойти только за счет того, что какое-то количество жидкости прошло через поверхность Х, ограничивающую этот объем. Количество жидкости, пришедшей в Й через поверхность Е в единицу времени, равно потоку поля ро, который выражается интегралом Интеграл взят со знаком в — «(знак» вЂ” »здесь указывает, «то жттк ость втекает). За время М через поверхность Е пройдет количество жттдьости, вычисляемое по формуле Л() $ р,в,лет(пЛт Применяя формулу Остроградского — Гаусса, можно записать, что ЛЯ = — $ рву лв г(оЛГ = Я 6~у(ртт) г(тбй (2) Приравнивая полученные выражения (1) и (2) для ЛЩ получаем равенство лл (Р 1)л и л.
справедливое для любой области лл при малых Лт'. тз силу произвольности области ь) подынтегральное выражение должно быть тождествен- тб и. Специальные виды векторных полей ото и есть искомое уравнение неразрывности. Уравнению (3) можно придать другой внд, часто употребляемый в приложениях. Введем понятие полной производной. Изучая изменение функции р (М, !) за некоторый промежуток временк Лй можно поступить двояким способом, а именно можно рассматривать изменение р в данном месте нли же рассматривать его для данной частицы. Изменение р в данном месте характеризуется частной или локальной производной — — (гп др .
Р(М, г+М> — р(М, !) (4) д! аг- о М прн вычислении которой радиус-вектор точки М рассматривается как постоянный. Пусть частица М движется со скоростью и и за время Л! переместится в точку М'. Изменение р для данной частицы за время Л! характеризуется полной, нлн индивидуальной, или субстациоиальной производной др р(м, (+ л!! — Р(м, !) — = )пп (5) 6! ма л! Считая М = М (!), можно найти полную производную по формуле бр др 65 др + г 6! 65 6! д! где — является производной по длине дуги кривой.
Как известно, производная др д5 65!6! представляет собой величину скорости в точке М, помону получаем: др др 6Р др — = — + — о= — +а!ад р зчи, 6! д! 65 д! нли др др — — +и йгадр. 6! 61 Преобразуем уравнение неразрывности (3). Имеем 6(ч (Рпэ=Ч(рп! =Чрп+РЧп=е Я!ад Р+Р д(ч и, (б) поэтому уравнение (3) принимает вид др — +п.йгад р+р гйч в=о. д! Используя равенство (6), получаем уравнение неразрывности в другой форме! — +р д(ч я=о.
др (7) М Рассмотрим частный случай несжимаемой, но, может быть,' неоднородной жидкости. В атом случае плотность каждой частицы жидкости остается неизменной и, следовательно, по самому определению полной производной; др)6! = О. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид гйч я=о. (8) но равно нулю, которое а пределе при !!(-лО иреврнц(иеген в равенство — +г)!Ч(ртг) =О. др (3) д! й 5. Вывод некоторых уравнений математической физики 77 Таким образом, в случае иесжимаемой жидкости вектор скорости является со.
леиоидальиым вектором. Если при этом поле скорости потенциально, т. е. е = = агап/, то уравнение иеразрывиости (6) преврапгается в уравнение Лапласа аг' = О Итак, потенциал скорости в потенциальном движении иесжимасмой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. 2. Уравнение теплопроводности. Будем считать, что тепловое состояние некоторого тела известно, если для каждой точки М тела известна его температура Т = Т (М, () в любой момент времени г'. Для вывода уравнения теплопроводности рассмотрим внутри тела произвольный объем ьа, ограниченный поверхностью Х, и подсчитаем двумя способами изменение количества тепла, заключенного в объеме (а. Считая среду изотропной, обозначим через р = р (М) плотность тела, через с = с (М) — его теплоемкость, а через )г = (г (М) — козффициет теплопроводности.
В случае неоднородного тела величины р, с и Й являются функциями точки М, а для однородного тела величины р, с н (г постоянны. Через (г (М, г) обозначим интенсивность источников тепла в точке М в момент времени 7. Подсчитаем баланс тепла в объеме ьа за промежуток времени (г', 7+ Ы). Согласно закону Фурье, через поверхность Х в объем Й за время Л( поступает количество тепла, пропорциональное потоку температуры Т через поверхность Х, т, е. Ят='(и й — г(оЛ| = $(гягаг(Т п'г(абт.
П7 сл Применяя формулу Остроградского — Гаусса, можно записать, что Ят = Ц ~' Ь у (й ьтаг( Т) г(обб Кроме того, ив счет тепловых источников, находящихся в самом объеме ьа, ва промеж) гок Ы образуется количество тепла Ят = Я ) г (М, г) г(пбг. Количество тепла Яз, необходимое для изменения температуры тела объема ьа на величину ЬТ = Т (М, 7+ Ь() — 1 (М, г) ж —, б(, Т выражается с помощью интеграла (3з = Я ср — дпИ.
Применяя условие теплового баланса ((а = Яг + Я„получаем ра- венство Д( г((у ()г ягаг) Т)+)ь — ср — ) бпгьг = О. дт т дг 7' 7З и. Специепьиые виды ееиториых полей Так как это равенство имеет место дли произвольного объема ьв, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю, т. е. ср — = Фч (й ягаб Т)+ /,. дТ (9) д! Уравнение (9) называется уравнением теплопроводиаста. В случае однородного тела величиныс, р н Й постоянны, поэтому, вводя обозначения а' = й/ср и / = /,/ср, уравнение теплопроводности запишем в виде дТ /д/ = а'Ь Т + /. (1О) Для полного описания теплового состояния тела необходимо кроме уравнения (9) или (1О) задать начальное распределение температуры и условия на границе — краевые задачи для этих уравнений.
Краевые задачи лля уравнения теплопроводности ставятся сле- дующим образом. Найти решение уравнения (9) или (10), удовлетво. ряющее начальному условию Т (М, О) = 9 (М) и одному из граничных условий: !) на границе Х поддерживается заданное распределение темдт пературы ТВ = а (Ф); 2) на границе Х задан поток тепла — и — 1 дп1г =- 11 (Л'); 3) на границе Х происходит теплообмеи по закону Ньютона ~/ " +~„(Т вЂ” Т,))~ =0, где Х вЂ” коэффициент геплообмена, ҄— температура окружающей среды.
В зависимости от граничных условий соответствующие задачи на. зывают краевыми залачами первого, второго и третьего рода, 3 а м е ч а н и е. Уравнение (8) было получено для пространст- венной области. Оно останется справедливым и для плоской облас- ти, и для стержня. В случае декартовой системы координат уравпеиие (8) для пространственного случая имеет вид д1 . г д'Т д'7' РТ вЂ” =а'~ — + + — )+/(х, у, г, 1). д! ~ дх' дуь дг' Для плоской области получаем двумерное уравнение геплопроводио- сти, которое записывается в виде — =а'~ + ' )+/(х, у, 1), дТ г дьТ ьеТ дг ~ дхь ду~ а одномерное уравнение теплопроволности — в виде дТ дь7 — =а' — +/(х, 7).
д1 дх' Если функция температуры Т не зависит от времени, то говорят о стационарной задаче теплопроводности. Именно стационарный процеьс й 5. Вывод некоторыт уравнений мвтеметыческой физики 7'! харвктеризуется функцией Т = Т (М), зависящей только от положения точки и не зависящей от времени, поэтому дт(д( = О. Стационзрное распределение темперзтурь! внутри однородного тела описывается уравнением Пуассона ЛТ = тр (М), где ф (М) = — г' (М)lа».
Если источники тепла отсутствуют, то уравнение Пуассона преврзщветгя в уравнение Лапласа оТ= О. Для стзционзрных процессов начальные условия, естественно, отсутствуют. Для полного описзния процесса видаются только граничные условия. Краевые задзчи первого и второго рода превращаются в звдзчи Дирихле и Неймана. П р в и е р !'. Определить стационарное рзспределение температуры внутри сферического слон а < г < Ь, если сфера г=а поддерживается при темпе.
рзтуре Т„з сфера г Ь вЂ” прн темперзтуре Т» Задачу удобнее решать в сферической систе»те координат. Из сообрвженнй симметрии следует, что температура Т = Т (г) зависит только от радиуса г н не ззвиснт от переменных 0 и тр. Ствциоизрное распределение температуры удовлетворяет урнвнению Лапласа Дт = В Для функции Т (г) лзплвсизн в сферн. ческой системе координат принимает вид ! ' т' пт'т дт — — ! гт — )! . кт 'т, тзг ) Тзним чбряномт прнхознм к урзвненню нз котоРого нзхохнм Т = стттт+ ер. ПостоЯнные с, и с, опРеделЯем из гРаничных условий Т, =- ст!а+ с„Т» = срЬ+ сз. Решив »ту систему, нейдем аь ьт — ат, е = 'Т вЂ” Т»! и с»= Ь вЂ” а Ь вЂ” а Следовзтельио,' искомое решение имеет вид ьт,— ат Т аЬ (Т,— Тзз Ь вЂ” а Г Ь вЂ” а Текин образом; в рвссмзтриввемом примере темперзтурв ня квждой сфере рвдиусз г постоянная, и при переходе от одной сферы к другой мениетсн по гиперболическому никону, НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 5 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
