Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Векторный потенциал Ладим критерий соленоидальности поля Р (М), используя понятие векторного потенциала. Венторное поле И (М) называется векторным потенциалом поля Р(М), ссли поле Р (М) представимо в виде ротора поля Иг (М), т. е. если Р(М)= го1 Иг(М). еу !!. Специальные виды векторных полей Теорема 1 Для того чаюбы неирерыена дифференцируемое лоле Р(М) была ~оленоидальнылц необходима и достаточно, чтобы оно имело векторный летел. циал )У (М). достаточность этого условия сразу же вытекает из соотношения д!ч Р=йч (го1 (У) =Ч (Ч Х ЧУ)=(Ч Х Ч) В'=О, а необходимость будет следствием разрешимости системы днфференпиальных уравнений дйгг ойгэ д(Р дйг, дйг д(Р х ду дг ' дг дх ' дх ду У— г— при условии йчР=О. Не останавливаясь на доказательстве разрешимости этой системы в общем случае, ограничимся рассмотрением конкретного примера.
П р и м е р 1', Показать что если в — постоянный вектор, то вектор. ное поле Р (М) = г (в Х г) соленоидально. Найти один из векторных потенциалов этого поля. Используя свойства оператора Ч, имеем йчР=Ч (г(в Х г))=(Чг) (в Х г)+гЧ (в Хг). (6) Покажем, что каждое слагаемое в представлении (6) равно нулю.
Имеем Чг = угад г = г!г, п первое слагаемое равно нулю, как смешанное произведение с одинаковыми множителями: Чгвг =(! !г) гвг =О. По свойству Ж оператора Ч(сч 66 гл. !), второе слагаемое представим з виде суммы гЧ (вХ г)= — гв (Ч х г'+гг (Ч х в), каждое нз слагаемых в которой равно нулю, вбо Ч Х г = го( г = О и Ч Х Х в = О (в — постоянный вектор) Таким образом, йч Р = О и поле Р соленондально Найдем теперь одни из векторных потенциалов этого поля. Если ось Ог направим по направлению вектора в, то поле Р запишется следующим образом: г' й Р=г О О в =гв( — у(+еле) а тогда система (6) относительно искомого вектора )г перепишется в виде д)Р, дйгз д(У. дйг, д)уз дйг — — — з= — гву, — — — гвх, — — — =О ду дг ' дг дх ' дх ду Векторный потенциал )Ч определяется с точностью до угад ~, поэтому мож.
но считать, что )рз = О, а тогда нз третьего уравнения имеем равенство д(!'н/ду = О, т е. йгя =чу (х, г). Из первого уравнения системы д)рг/ду = = — гву находим ) ГЗССЕСЕ 1 Е!Ь.Н вЂ” — ЕЕ1Ь.Е. 3 Функции йг„и йгг должны удовлетворять второму уравиенню системы, поэта му„ найди частные производные: д)Р, д! дйг дч — = — вхг + — и дх д дг дг ' й 3. Лвпявсово векторное воле Еа видим, что функции ф (х, г) н Г (х, г) должны удовлетворять условию дфгдг— — д))дх = О. Полггзя, в частности, ф (х, г) = ) (х, г) = О, находим один из векторных потенциалов: ю цг= — — гг Ф= — — гз ю ° 3 3 5 3. ЛАПЛАСОВО ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 1.
Дифференциальные операции второго порядка. Операции нахожде- ния градиента, ротора, дивергенции могут быть названы дифференци- альными операциями первого порядка. Рассмотрим теперь основные дифференциальные операции второго порядка. Операции ягаб ), го1 гч суть векторы, поэтому к ним можно применять операции на- хождения дивергенции и ротора, к с))ч Р' можно применить только одну операцию нахождения градиента. Таким образом, получаем пять операций второго порядка, имеющих вид й ч ага б Г =.
Ч (Ч)), го( егас) Г = Ч х (Ч)), г))ч го( Р'= Ч . (Ч х Р), го1 го( гю = Ч )( (Ч )с гю); (агат) с$~чР'=Ч(,Ч Г). (1) Две из этих операций, вторая и третья, равны нулю, сбо Ч (Ч У. Р') = О как смешанное произведение векторов, у которого два сомножителя одинаковы, а Ч х (Ч)) = О как векторное произве- дение с одинаковыми сомножителями. Применяя равенство амЬма= = Ь (ас) — (аЬ) с для двойного векторного произведения к век- торам Ч и зч, получаем Чх(ЧхГ~=Ч (Ч Г) — (Ч Ч)Г.
(2) Из этого выражения заключаем, что две последние операции в (1) связаны между собой соотношением (2). Скалярный квадрат вектора иабла, т. е. выражение д . д . д тг дг дз дз Ч Ч= Ч' =( — з+ —,)+ — Ф~ = + — +— ( дх ду дг ~ дх' дуз дгз называют оператором Лапласа или лапласианом и обозначают через ст, Этот оператор, как и оператор Ч, получил довольно широкое рас- пространение.
Символический оператор Лапласа может быть применен как к ска- лярной функции ) (М), так и к векторной Г (М). Под этим примене- нием будем понимать равенства гт) =Ч (Ч))= + +— (3) дхз дуз дгз б~ = (ТР х 1+ (угу.) + гзг г Ь. П. Специальные аиды еекториьж полей Среди дифференциальных операций второго порядка наибольшее распространение получила первая, которая с помощью оператора Лапласа записывается следующим образом: с()ч ягаб 7' = гзу и также называется лапласианом. Чтобы найти выражение лапласиана а произвольной криволинейной системе координат, воспользуемся еыражениямн йгад г' и снч гт а этой системе. В формулу (1,5.7) вместо вектора и подставим дгад /, определяемый равенством (1.2,й), и получим выражение лапласиана а криволинейной ортогональной системе координат: В частности, для цилиндрической системы координат будем иметь аыраже- нне )! ! д) дз) а| = — — ~р — )+ — — + —, р др ~ др ) рз дфз дзз (5) а для сферической — выражение д ! д) 1 ! да) ! д 7 д) ~ Л) =- — — ( гз ~+ + .
(М О вЂ” ~. (5) г' дг ~ дг ~ гзз!пзО даат г'Мпе дО (, да ! для плоского скалярного поля наиболее употребительными являются декартоеа и полярная системы коордиаат. В декартовой системе координат лапласиан записывается а виде де) оз) д) + (7) дхз дуз а а полярной системе координат — н анде ! д / д) ! ! д~~ М= р + р др ~ др) рз доз (8) ь г" = ! игаб тр. Для дивергенции этого поля имеем выражение г)!и го= Ч.(гчф) = Ц.згф+ уча ф = Игаг) ) афтаб ф+ ) гтф,' а скалярное произведение запишем в виде ! огас) ф.ззе дф би 2.
Формулы Грина. Рассмотрим применение формулы Остроградского — Гаусса к специальному виду векторного поля, образованного с помощью двух скалярных функций ) и зр, й 3. Паплвсово векторное поле б) Формула Остроградского — Гаусса (1.4,7) тогда принимает вид (ф 1 — с)О = ~~~(йгас)( атас) ф+ГЛф) с)о. х (9) Формулу (9) принято называть первой формулой Грина. Если поменять местами функции ( и ф, то получается равенство $ т) — с)о =Д~(йгнс)~ ягас(тр+ фЬ|) сЬ, Е Я вьсчитая которое из (9), получаем вторую форд)уху Грина: $ (~ — ,"' — ) — ")й = Я(~дф — фйай' Е и Полагая в п лу Грина: олагая в первой формуле Грина (9) ) = ф, найдем третью форму.
(10) — с)о = Я ((ясас(()з+ ГЛ() с(о. У 1 Р„ду+ Р„ДХ О( — + ) йхду. ременных: полагая здесь Р= ) кгзд ф найдем первую формулу Грина для случая двух пе- )' —" с(1 = О (йгас) ) Кгзс) ф+ (Лф) йт. (12) Вторая н третья формулы Грина получаются тан же, как н в случае трех переменных, н имеют соответственно внд ф(( —,"" — ф — '," ) п( = 'Ц ()дф — фд)) б.. 7 с — О бг 1 — В(- ( Г) ((Кгвб 1)з+ (Л)) бо. вп т г, (13) (14) паковый внд. Твкнм образом, формулы Грина в случае двух н трех переменных имеют одн- Фо м р улы Грина нмеют место н для случая двух переменных. П усть т — язв н рмаль в пронэвольной точке гладкого контура т. Обознвчнм через а угол между осью Ох н касательной т.
Тогда еднннчный вектор касательно представим в виде т" = соз а(+ з)п а/, в единичный векто р нормали— )п сс — соз а). Прнменяя формулу Грина (1.3Л4) к интегралу ф Р меод получаем равенства 7 З2 П. Специальные виды векторныв полей 3. Гармонические функции. Векторное поле )о называется лапласовым, если оно одновременно потенциальное и соленоидальное. Из потенциальности лапласова поля Р следует существование потенциала ) такого, что Р = йгаб ).
Из соленоидальности лапласова поля имеем д(ч Р = О, поэтому д)ч йгаб 1" = сч" = О. В отличие от произвольного векторного поля Р, определяемого тремя скалярными функциями, лапласово векторное поле определяется одной скалярной функцией — потенциалом ), который является решением уравнения сч" = О, (15) ' называемого уравнением Лапласа. Функция 1, облада!ощая непрерывными частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа (15), называется гармонической. Примером гармонической функции в п р о с т р а н с т в е является функция ) = 1гг, определенная всюду, кроме г = О.
В самом деле, воспользовавшись выражением лапласиана (6) в сферической системе координат, получим равенства ! в — т) Ы (г = — — 1 г' — ~ = — — .= О. ! в г 1 в( — !) гт ог ~, ог гт ег Гармонической функцией н а п л о с к о с т и будет функция ! 1 = 1п-. Действительно, применяя формулу (8), получаем равенства Примером лапласова векторного поля является гравитапион. ное поле Р = — — г. Ранее было показано, что это поле — потенци- твт альное и потенциал 1 равен Ттгг. Но функция 1/г — гармоническая, поэтому гравитационное поле лапласово всюду, кроме точки г = О. Для лапласова поля )о, заданного в односвязиой области, как это следует из определения и теоремы 1.4, одновременно выполняются ра.
венства д(ч Р=О, го1 Р=О. '1, 4. Интегральное представление функции. Выведем формулу, выражающую значение функции 1(Р) в произвольной точке Р ~ ьг с помощью тройного и поверхностных интегралов, называемую инптегральньгм представлением функции. й Теорема 1. Если функция г' (М) непрерывна вместе с частными про- изводными до второго порядка включительно в конечной пространствен- 64 11. Специальные виды векторных полей Перейдем в последнем равенстве к пределу при в-и О. Здесь поверхностные интегРалы независат от в, выРажение 4лв) — )и — 0 пРи е- О !61 т (щз): ! и можно показать, что несобственный интеграл Щ- Л)с(о существует о г гг! и является пределом интеграла )))- Лгс(о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
