Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО 1 1. Основные задачи. Как самостоятельная математическая дисциплина функциональный анализ возник в начале ХХ в. Тем не менее, развиваясь исключительно быстрыми темпами, к настоящему времени функциональный анализ превратился в весьма обширную область математики, имеющую многочисленные приложения как в целом ряд" чисто математических разделов, так и в так называемой прикладной математике. Функциональный анализ сложился в результате обобщения различных понятий и методов, использовавшихся в существовавших ранее математических дисциплинах. Это обобщение строилось за счет перехода на более высокую ступень математической абстракции, что весьма характерно для методов современной математики.
Рассмо. трение различных математических, физических и технических задач с более общей, абстрактной точки зрения довольно часто позволяет лучше выявить их основные закономерности, лучше вскрыть то общее, что присуще задачам, сходным по методам их решения, но различным по своему конкретному содержанию. В настоящее время трудно представить себе решение сколь-нибудь серьезного вопроса из области дифференциальных уравнений математической физики, приближенных вычислений и ряда других направлений без применения методов функционального анализа. Рассматриваемые при этом вопросы относятся как бы к различным математическим задачам, имеющим определенное содержание, однако если отвлечься от их конкретного содержания, то с помощью математической абстракции эти вопросы объединяются в одну-две математические задачи.
В самом деле,Гпусть Х вЂ” некоторое множество элементов х (элементом может быть число, функция, вектор, матрица и т. и) и Т вЂ” некоторое отображение множества Х в себя, т. е. Тх Е Х. Тогда уравнение 'тх =Е, где Š— нулевой элемент множества Х, означает, что ищется элемент х, Е Х, который преобразованием Т переводится в нулевой эле- а К Постановка задач. Неравенства Геквдера и Минковского 81 мент. К такой задаче сводится, например, решение системы линейных уравнений ;~~ а;в хв = Гн 1 = 1, 2, ..., и. 11=1 Действительно, полагая Тх = Ах — г, где (2) а11 атз - а1 х, агт ам -. аз» хт гз , х= А= хк Гк а„т акз., а„к решение системы (2) сведем к отысканию элемента х, такого, что Тха = О, где О = (О, О, ..., 0)г, Аналогично, к решению уравнения Тх =Лх, (3) где Л вЂ” вещественное число, т.
е. к отысканию элемента х, который преобразованием Т переводится в коллинеарный ему элемент, приво- дит, например, задача об отыскании решения системы линейных диф. ференциальных уравнений — = ~~ авеу„1=1, 2, ..., и, вш мч ш т=! или задача об отыскании собственных значений краевой задачи Штурма — Лиувилля. Относительно уравнений (1) и (3) можно рассматривать целый ряд задач, однако основными из них являются: 1. Задача о сушрствовании решения. П. Задача о единственности решения.
1П. Задача о выборе метода точного или приближенного решения. 1'т'. Задача об устойчивости решения. '4. Задача об оценке погрешности при приближенном решении. При этом ясно, что решение задач 11 — ЛГ имеет смысл только при положительном решении задачи о существовании решения. Ясно также, что метод решения какой-либо из этих задач в общем случае позволяет применять его для целого ряда конкретных случаев.
Как отмечалось выше, элементы множеств Х, )г, ... могут иметь различную природу. Мы будем рассматривать абстрактные математические множества, например: Е1 — множество всех вещественных чисел; (а, Ы вЂ” множество вещественных чисел й удовлетворяющих уело. вию а (1( о; множество квадратных матриц и-го порядка; множество линейно независимых решений однородного линейного дифференцналь.
ного уравнения л-го порядка; множество состояний какой-либо кибернетической системы'и т. п. Как и на множествах вещественных чисел, Зх ПЬ Некоторые понятия Функционального анализа па произвольных множествах вводится понятие функциональной зависимости, Пусть Х и У вЂ” два множества. Говорим, что иа множестве Х задан оператор / со значениями в У, если каждому элементу х Е Х ставится в соответствие по определенному закону единственный элемент у р у'.
Будем это соответствие обозначать через у = 1 (х) или у = /х. Будем также говорить, что имеем отображение ~ множества Х в множество )', т. е, )Х ~ У. Отображения могут быть самыми разнообразными, например: а) зеркальное отображение точек пространства относительно плоскости, б) проекция точек пространства на некоторую плоскость или на прямую; в) коиформное отображение области 0 комплексной плоскости на область 6; г) отображение множества интегрируемых о квадратом иа (а, Ь) функций в множество последовательностей коэффициентов разложения этих функций по ортонормированной нэ )а, О) системе и др. Если )' = Е,, г. е. множество Х отображается е множество Е, действительных чисел, то оператор г' называется функционалом.
Другими словами, функционалом, заданным на множестве Х, называется отображение множества Х в множество Е, действительныз чисел. Изучение свойств функций вещественной переменной существенно опирается иа понятие предела з множестве вещественных чисел Поэтому вполне естественна постановка задачи о введении понятия предела и в рассматриваемые множества. Это приводит к новому понятию пространства, под которым подразумевается некоторое множество с введенным в него понятием предела.
Вообще понятие пространства в науке может иметь различный смысл. Так, в философии простраисн во — это одна из форм существования материи, в геометрии под пространством понимается пространство трех измерений Ез с определенной системой аксиом. Геометрия занимается изучением пространственных форм — в этом ее главное содержание. В приложениях довольно часто приходится иметь дело с переменными, число которых и больше грех. Так, к координатам точек добавляются время, скорость, ускорение и целый ряд других переменных величин. Это привело к необходимости абстрактного обобщения трехмерного пространства Ез на и-мерные и бесконечномерные и к изучению свойстн таких пространств.
Для их введения и исследования докажем ряд неравенств, играющих большую роль во многих приложениях. 2 Вспомогательные нерааенсгаа Предварительно устаноннм дне леммы. ! ! Лемма П Пусть имеем и > О о > О р > ! и д сопрлтгиь с р, т. е — + — = Р 9 = П тогда <4) й 1. Постановив задач. Эчеравенсгва Гельдерн н Минковского 83 ейрассмотрим функцию и х" прв а > О.
1вк как и монотонно возрастает, го существует обратная функция х =* у '". Нэ осях Ох н Ор возьмем точки х = и !/а и р = и н рассмотрим площади 6! и Зе (рис 36), Ясно, что сумма площадей 5! и 5е не меньше плошади прямоугольника АиОи, равной ии. Но о!Га+! ,! а,|, гга 1/а+1 ии+ ! В,=) ха эх=в ,) а+1 иоахиму оолучаем неравенство ии+! е!/ал! а+1+ 1/а-(-1н и к и и рис.
66 1 ! = р и — + ! = д, приходим к неравенству (4) наметим; а в (4! имеет место только в том случае, когда о = ив Полагая здесь а+ что знак равенства = и»-' Лемме 2 При любых значениях и и Ь имеет место нераеенслыо !и+Ы (2»((а!е+!Ь!"), рм 1, чаде(!стннтее!ьно, если |а| < | Ь (, то имеем |а+ Ь! < 2 | Ь|, т. е. ! а+ э !» ( 2» ! Ь !» ( 2» (! а |»-|-! Ь !»1. Аналогично, при |а1 > |Ь! получаем неравенство |а+ Ь! < 2 |а|, откуда следует.
что !а+Ь!» < 2»|а|» (2»(! а !»-|-! Ь !»1, т. е. неравенство (5] выполинется при любых а и Ь.+ 3, Неравенства Гельдера для интегралов и сумм. Рассматриваемые и приложениях функции имеют, как правило, не более конечного или счетного числа точек разрыва и интегрируемы в смысле введенного а курсе математического анализа интеграла Римана. Поэтому мы ие будем останавливаться на введении более общих понятий мерь; и интеграла Лебега и все рассматриваемые интегралы будем понима!и Зь И1.
Некоторые понятия функционального анализе в смысле Римана. Однако проводимые в дальнейшем для интегралов выкладки будут справедливы и для общего интеграла Лебега. 1' ) Теорема !. Пусть числа р и д удовлетворяют условию - + - = 1 Р ч и определенные но !а, Ы функции х (т) и у (1) таковы, что сущеспвуют и отличны от нуля интегралы ~ ! х (т) !» дт и ~ ! у (1) !» дг', ь ,,ь ты» ь 1И ~(х(г)у(т) ! бг(( ~/х(т)!»дг) $(у(г)! дг . (6) а И И ~ Введем обозначения !хм) ! ! у(1) ! и= и о=— ь 1Ы» ь т, ые ) )хыт) !»в1 () (у! Птот я ~а Применяя неравенство (4), получаем соотношение ! х(П у(ь) ! Ь т1)» тз 1 ыь )! )!' ) ~1)у( !' ) я я < )х(1)!» + !у(1)!» ь ь Р) )х(ц!»щ д~ )у!т)!" Ш я В силу условия теоремы правая часть интегрнруема на !а, о), иозъяеу ннтегрируема н левая и мы получаем оценку ь )г! х(1) ууд ! ог Я *-и'"Г'(."-'-Г' ) !х (!) !» вь ь + Р) ! х (1) !»ВЬ а ь ! )у(1)!»лг ! 1 =* — + =1.
д) ! у (ь)!ьш л Тогда произведение ! х (г) у (1) ! также интегрируемо на (а, Ы и имеет место неравенство Гельдера ф 1. Постановка задач. Неравенства Гельдера н Минковского 85 Отсюда и вытекает неравенство Гельдера (6). ~ Если р = «) 2, то из неравенства (6) можно вывести доказанное в! части (8 3 гл. Н!!) керавенскгво Коши — Буняковского, называемое также керазенсвмом Шкарин ь / з 3 ( ! з (1) З (!) ! «)1 < ~/ ( ! к (1) !! 81 ( ! у(1) !з Е!. а а а 1 Теон ыя 2. Пусть — + — = 1 и последовательности (ид) и (оа) 1 р о таксе., чаю ряды Ю «О ~ (ид(з и У ?оа (е Ф-1 Е 1 «Ю сх "т тся. Тогда ряд ~~о„! и„о„! также сходится и имеет место нера»=1 внмш«.ео Гельдера ~~ (и„!«а)(~ ~ )из(р~ ~ з; (оз?ч! Ф 1 з-! й 1 4 Положим, что Х,! !' )ка са! )кз (з !оа)е 11р 1)в ~ „ + „ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
