Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Наконец, нз соотншпення (т) следует, что р(а~~), а)с= зпр~ ил!~~ — ал~ < в для д» да(а)„ л 1йп а! ! = а с с, * рх (х!' хт) рт (у! ут) Множество М называется ллоглным в множестве О, если его замыкание М содержит б, т. е. М =э 6. что и доказывает полноту пространства с. ®. Пространства (и (а, Ь) и (и, р» 1, также являются полными; однако мы не будел1 останавливаться на доказательстве этого факта 3.
Замечание о пополнении метрических пространств. Полнота вещественной прямой играет большую роль а математическом анализе. При этом множество вещественных чисел является пополнением множества рациональных чисел, причем таким, что расстояния между элементами при пополнении сохраняются. Поэтому становится естественной постановка задачи об аналогичном пополнении и неполных метрических пространств Зля более точной формулировки этой задачи введем следующие опрелеления Метрические пространства Х и У называются изометрическими, если между ними можно установить взаимно-однозначное соогнетствне такое, что расстояние междУ пРообРазами х, и хт в Х Равно Расстоинию мсждУ обРазами У, и у, в )', т.
е. 10х (П. Некоторые понятия функционального анализа Множество М всюду плотно е пространстве Х, если М = Х. Имеет место следуюпгее утвержденне, которое мы праведен без доказательства. Пусть Хз — неполное лгетрическое пространство. Тогда суи(естеует полное метрическое пространства Х пгакое, что е нем содержится надпространство Хо всюду плотное е Х и изаметричное прпстранспму Хч Пространспмо Х чазыеается пополнением пространства Х,. П р н м е р 4'. Показать, что пространство Р заданных на ! — 1, 1! алгебранл ,ческнх полнномов (р (х) = 2,' аьх") с метрикой е=о р(р, у)= гпах )р(х) — у(х)1 -1Кх<1 пе является полным.
Рассмотрим последовательность полнномов и жч хз р (х) я —,я=01, я ь= в Предел этой последовательностн, функция е', не принадлежит Р. Из теоремы Вейерштрасса следует, что пространство Р всюду плотно в пространстве непрерывных функцнй С [ — 1, 1), а это н означает, что пространство С ! — 1, Ц можно рассматривать как пополнение пространства Р. й 4. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 1.
Теорема об операторе сжатия. В математическом анализе, в линейной алгебре и в целом ряде других разделов довольно часто используется метод последовательных приближений. Он широко применяется при доказательстве теорем существования решений дифференциальных и интегральных уравнений и для получения приближенных решений различных уравнений. Обобщение этого метода на случай операторных уравнений в полных метрических пространствах было предложено С. Банахом. Это обобщение носит название принципа сжатых отображений, к доказательству которого мы и приступим. Теорема 1. Пусте в полном метрическом пространстве Хр дан оператор А, отображающий Х в Х, причем так, что чггх и.ус Х р (Ах, Ау) < ар (х, у), (1) где 0 а ( 1 и а не зависит от х и у.
Тогда суи(еглпвует одна и только одна точка хо с Х такая, что Ахэ = хо. (2). При этом для итерационного процесса х„+д = Ах„, п = 1, 2, ..., взятого начиная с элемента х с Х, имеет место следующая оценка для и-го приближения: р(х„, ха) ~ — р(х, Ах), 1 — а й 4. Принцип сжатых отображений и ете применение 103 Точка хо Е Е, удовлетворяющая условию (2), называется неподвижной точкой оператора А, ~ Пусть х с Х. Образуем последовательность х, =Ах, х, =Ах„..., х+, =Ахен ... и покажем, что она сходится в себе. Используя условие (1), имеем не- равенства р (х,, х ) = р (Ах, Ах ) < ар (х, х ) = ар (х, Ах), Р(х„х,) =Р(Ах,, Ах,) <ар(х„хо) <ахр(х, Ах), р(хл, хл+,) <ал р(х, Ах), Из этих неравенств следуют оценки Р(хлю хп+р) < Р (Хл Хл+!) + Р (Хп+ь хо+о) + '' + Р (Хпар-ь Хп+р) пп <--(ал 1 оп+! 1 1 ал+л 1)р(х .4х)= ап оп+ р р(х, Ах) < — р(х, Ах) — «О при л-о- оо, (4) 1 — а 1 — тп причем в случае Ах = х в соотношении (4) имеет место знак равенства.
По условию, Х полно, поэтому существует элемент х, Е Х такой, что 1пп хп = х,. п пп Вычислим значение Ах . Имеем неравенства р(хо* Ахо)<р(х,, хл)+Р(хл, Ах,)=р(х„хл)+Р(Ахл н Ах,)< <р(х„, хп)+сор(хл „х,)<е для всех п)п, (е). Но левая часть, т. е. Р (хо, Ах,), не зависит от п, а потому р (х„Ах,) = О и из свойства метрики заключаем, что Ах, = х,. Предположим теперь, что существуег такой элемент у, с Х, уочь хо, для которого Ау, = у,; тогда р (хо, уо) = Р (А хо, Ауо) < (ао (хо, уо). Но так как а < 1, то последнее неравенство имеет место только при р (х„у,) = О, а отсюда следует равенство х, = у„т. е. неподвижная точка оператора А единственна.
Перепишем неравенство (4) в виде р(хл, хл+„)< —" р(х, Ах) ! — а и, устремляя р к бесконечности, находим оценку р(хп,хо)< —" р(х, Ах), ! — а 104 Н1. Некоторыв понятия функционального анализа а это есть формула (3) для оценки погрешности. Оценка зависит от выбора исходного эдеме!/та х с Х. ~ 2, Применение к решению уравнений. Принцип сжатых отображений нахолит большое применение при построении итерационных процессов для решения функциональных в дифференциальных уравнений Рассмотрим несколько примеров П р и м е р ы 1' Найти решение уравнения /(х) = х; если /(х) — днфференцируемая функцня при х Е [а, Ь[ н отображаетотрезок [а, Ь) в отрезок [а, Ь).
Если ! /' (х)! < а < 1, то / — оператор сжатия Это следует из неравенства !/(х') — /(х')1=1 1'(х)[!х' — х'! 4 а! х' †'!. По теореме 1, существует единственное решение уравнения / (х) = х, которое можно найти методом итераций Этот итерационный процесс представлен на рис. 37. Для произвольного злемвнта х находим / (х) н нз точки (х, /(х)) проводим прямую у = /(х) до пере. 0 а д «т«« сеченая с прямой у = х. Получаем точку х, = / (х).
Лалее, берем хз=/(х,), хз = / (хт) Рис. 87 н т. д, В пределе получаем точку х„такую,' что / (х„) = хз 2'. Найти условия, прн которых применим принцип сжатых отобрзженнй аля решенин системы л лннейных алгебраических уравнений Ах = Ь, где х! ь, А ....,х= .з,Ь= л и Рассмотрнм оператор ((х = ( — А + 1)х+ Ь = Сх+ Ь, где 1 — единичная матрица. Тогда решение системы (5) есть неподвижная точка оператора (7, отображающего л-мерные векторы в л-мерные векторы.
Рассмотрим сначала л-мерные векторы в пространстве Ел с метрикой и р(х, у) ~л (х„у„)з.. т=! Найдем условия, прн которых У является оператором сжатия, Пркменля к внутренней сумме неравенство Коши, получаем оценку л 1 и л / и л С ~// ~~', ~ ~ЧР~ сй! ~~ («1 — «1)'~ =Р(х',,х")1/ Ч~', Ч~', с4« а=! 1-! г,! а 11 ! 5 4. Принцип сжатых отображений и его применение !05 вэ которой следует, что еслв (-яя! врп ЬФ) ° чо система (5) нчеет единственное решению ком>рос можно определять метекам последовательных прнблн>кеннй.
Заметим, что если число уравненяй ш свстемы (5) меньше чнсла веяавееемып в (аь) = 0 лля Ф = ш+ 1; ...; н), то сь) 1 нрн й ~ ш+ 1! ...! я, а неаммр а > 1 в прннцнп сжатых отображеняй непряменям. Если рассматривать множество я-первых векторов ° нроотранстве Не е мвэрикой р,(х. р) шах (хэ — уэ1, ! чэ<е ео аля образов элементов т' я хх получим соотношенне н р, ях', с>х") = шах ~ ~я~ сь)(хà — х)) < Гкьжн[Г л н шах ~~ [сь)! шэх [хГ- х" [=рз(х',х') шах ~ [еду[ ° >ПЬ~Н Г > !КГПН Г~ЗМн Г яэ которого следует, что еслн н ат шах ч ', [сэ)1< 1, !~а~э) то для решения снстемы (5) прнмеявм принцип сжатых отображеннй.
Прннцнп сжатых отображений можно прнменнть н в том случае, ногда эвмянутый шар 3 (а, г) полного метрического пространства Х отображается опервтером ! в себя, т. е. когда АЮ с= о. П р я м е р 3'. Пусть рункцня К (з, й х(0) яепрерывна прв а < з с Ь! а < Г < Ь я такова, что удовлетворяет условию Лппшнца по аргументу х; т. е.
для любых непрерывных на [а, Ь[ функцнй хт (0 н хэ (Г) выполвяетса неравен. ство [К(з г хт(г) К(з, Г, хг(т)! ~М[хт(Г) х'(О! (5) где константа М не эаввснт от з в Г. Показать; что для решення ннтегральноге рравнення Ь х(з) к) К(з, Г, х(ГЛМ (у) а нэ подмножестве непрерывных на [а, Ь) функцнй я(Г)! рдовлетворяюавх уо возню [х(Г)1 < Н, прн ! Г ! Н 15! с — ш)п ~ —, (6) Ь вЂ” а (т М ' шах[К(з, Г,х)1 врнменям прннцнп сжатых отображений. Пусть Зн — замкнутый шэр в С [а, Ь); т. е. множество функцвй аа С [п( Ь1 тэквх, что [х (Г)! ~ Н, н пусть ь (Гх= л) К (з, с, х (Г)) Ф.
е Пс. Некоторые понятия функционального анализа Тогда справедливо нерзвенство )ь сии-свисс(су. *сй ° / с~~ -ска.н*снсса — н. а В силу ограничении (8) ия величину (д( получаем отсюда опенку ( Ух( < ос из которой звключзем, что оператор У отобрзжвет множество Зм в себя. двлее, используя условие (6), выводим соотношение ь ) Ух — Ух ~ < ) )с () (К (з, С, х) — К (з, С, х) ) бг < а ь ь (()с(М )гс(х(С) — х (С) ~бС <(ь(М ) спзх ~ х (С) — «(С) ( с)С, а "„а<с<в которое ззпишем в виде !У вЂ” Ух! <(л)мпс(х, х)сь — )< Р(х, х), где в силу условия (8) для величины а справедлива оценка сс=))с)М(Ь вЂ” а) < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
