Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это означает, что для решения интегрального уравнения (7) применим принцип сжатых отображений. й 5 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ' 1. Определение. Хорошо известно, что из всякого ограниченного бесконечного множества точек числовой прямой можно выделить по крайней мере одну сходящуюся последовзтельность.
Нз важность этого утверждения для строгого обоснования математического анзлизаобратил внимание еще более 100 лет тому назад чешский математик Боль« цзно, з более точная формулировка этого утверждения была предложена Вейерштрассом. Идея выделения сходящейся последовательности нз множеств в других метрических пространствах использовалась нами, например, в предыдущем параграфе при доказательстве ауществовзния решения системы и линейных уравнений и при доказательптве существования решения интегрального уравнения. Здесь ставится вопрос о выделении тех множеств в метрическом пространстве, для которых имеет место аналог теоремы Больцано — Вейерштрзсса.
Условие ограниченности множества оказывается уже не достаточным для этого. Покажем это нз примере. П р и и е р. Показать, что ив ограниченного в прострвистве )в мноягевтвв векторов е" '=(1, О, ..., О, ...), е'з' (О, 1, О, ..., О, ...), ... е(л)~ы(О, ..., О, 1, О, ".), нельзя выделить сходящейся подпоследоввтельиости. й 5. Компактные множества !07 Множество ограничено, так как р (е<~>, 8) =~7тт ~п г гз! 8)з 1 при любом й 1, 2, н ч=! Ко для любых Ф чь т имсеи равенства р(е! !, е!ж!)= 1 ~я~~ (е!е! — е!ж')к =)гз, ч 1 в зто означает, что из бесконечной последовательности (еы!) нельзя выделить сходки!ейся подпоследовательности.
Множества метрического пространства, для которых имеет место аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, получили название к о ми а к т н ы х м н о ж е с т в. Приведем их определение. Множество К метрического пространства Х называется компактным в Х нли просто компактом, если из любой бесконечной последовательности (х„) с: К можно выделить подпоследовательность (х„ь), сходящуюся к некоторому пределу х, Е Х Множество К метрического пространства Х называется кохспактным в себе, если из любой бесконечной последовательности (х„) ~ К можно выделить подпоследовательность (х„), сходящу!ося к элементу х, из того же множества К. Метрическое пространство Х называется компактным, если нз любой бесконечной последовательности (х„) с: Х можно выделить подпоследовательность (х, ), сходящуюся к элементу х, ~ Х.
Как установлено в примере, множество векторов (е!з' = (О, ..., О, 1, О, ...)), лежащее в замкнутом единичном шаре 5 (О, !) пространства Р, не является компактным. Однако замкнутый единичный шар в и- мерном евклидовом пространстве Е„, т. е. множество векторов х (х„.. к ...,х ), координаты которых удовлетворяют условию ~~!хь ( 1, явля-. Ф=! ется компактным в себе. Это следует из того, что по каждой координате х, справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса.
Хотя условие ограниченности множества К и не является достаточным для компактности этого множества, тем не менее оно является необходимым. Этот факт является следствием следующей теоремы. Теорема 1. Компактное множество К метрического пространства Х, можно погрузить в шар о (а, г), а с Х, конечного радиуса г ) О. 4 Предположим, что утверждение неверно. Это значит, что существуют последовательность (х„) ~ К и точка а Е Х такие, что Р (а, х„) = г„— 1, где г„- оо. Можно считать, что гк+! — ! ) г„, иначе выбрали бы подпоследовательиость последовательности (г„). Пусть х„и х — точки нашей последовательности.
Тогда справедливы соотношеяия р(а, х„)=г„— 1 > г„, и р(а, х )=-г — 1) г ~за ИЬ Некоторые понятия функционального анализа Применяя неравенство треугольника, имеем оценку р(а, х„)(р(а, х„)+р(хкп х„). (1) Если и ) т, то р (а, х„) = г„— 1) г„+, а г„, поэтому из опенки (1) получим неравенство г„, ( г — 1+ р(хти х„), т. е. р(хги х ) ~ 1, Отсюда следует, что из последовательности (хл) нельзя вьщелить сходящуюся подпоследовательность. Таким образом, пришли к противоречию с предположением о компактности К.
Следовательно, множество К можно погрузить в шар 8 (а, г) радиуса г ) О. 2. Теорема Хаусдорфа. Условие ограниченности множества К метрического пространства Х, является только необходимым условием компактности, но не достаточным, поэтому естественна постановка задачи о получении критерия компактности множества К. Наиболее общим таким критерием является критерий Хаусдорфа, для формулировки которого введем следующее определение. Множество А, А с: К с: Х„называется е-сетью, е ) О, для множества К, если для любого элемента х с К найдется элемент у с А такой, что р (х, у) ( а. Теорегла 2 (Хаусдорф).
Для компактности лтножесптва К в иивтрическом пространстве Х необходимо, а в случае полнопты Х и достаточно, чтобы для любого е ~ О в множестве К суи(ествовала конечная е-сепгь для К. ~Н е о б х од и м о с т ь. Пусть К компактно, а при некотором е) О конечной е-сети не существует. Выберем х, с К, тогда нхз с К такое, что р (х„х,) ) а (иначе х, было бы конечной а-сетью, состоящей из одного элемента). Пусть определены элементы х„х„..., х„такие, что р (х;, х„) ) е для всех (мь я, 1, й = 1, 2, ..., и.
Так как конечное число точек не является е-сетью, то д хл ьз с К такое, что р (хм х...): е для всех т = 1, 2, ..., и. Продолжая последовательно выбор элементов хл+„х„+„..., получим бесконечную поаледовательность х„х„..., х„, ..., такую, что р (х;, х„) ) е для всех 1 чь й, 1, й = 1, 2, ... Но это означает, что из этой последовательности (х„) нельзя выделить сходящейся подпоследовательности, что противоречит предположению компактности К. Итак, конечная е-сеть в К существует. До с т а то ч н о с т ь. Пусть Х вЂ” полное пространство и для любого е ) О в К существует конечная е-сеть. Выберем последовательность (е„), 1пп е„О, и для каждого вл построим конечную ив -сеть: для е, (х)", хэ", ...,х)т') =Ам для ез (х)", х)", ..., х)",) =.Аа, для е, (хаят, хтл>, ..., хат "~1= А„ й 5.
Компактные множества !09 Пусть  — любое бесконечное подмножество из К. Около каждой нз точек множества А, = (х,"') опишем замкнутые шары радиуса е,. Каждая точка из В попадает в один из этих шаров, поэтому выберем тот шар В (х,",', е,), который содержит бесконечную часть из В. Обозначим эту часть через В, и опишем замкнутые шары около 'каждой из точек множества А, = (х,"') радиуса е,. Выбираем тот шар В(х,",', е,), который содержит бесконечное подмножество В, ~ В,. Продолжая этот процесс, найдем последовательность замкнутых шаров З(х,",', е,), л(хч,", е,), ..., В(хч"', е„), ... и бесконечную последовательность бесконечных множеств В->Вт ->Вз ->...'->Ви ->,.
Выберем точки т)( с Вы ()( ~ т)р Получим последовательность точек т)„т)з, ..., т)„, ..., которая сходйтся в себе, ибо при и) т точки т)„ и г) принадлежат шару В(х,' >, е ), а потому р (т)„, т)„) < е Из полноты Х следует, что пт)в = Игп т)„, т)а Е Х. Таким образом, н-ччч в бесконечном множестве В построена последовательность (т)„), сходящаяся к т), с Х, т. е. множество К компактно в Х. 3.
Теорема Арцела Установим, ритерий компактности множеств в прост. ранстве С (а, Ь!. Введем предварительно следующие определения. Семейство функций Ф = (х (Г)) с- С [а, Ь! называется равиоограничгнным; если существует такое М > О, что для всех функций этого семейства Ф имеет место неравенство [х (()! < М Семейство функций Ф ~ С [а, Ь! называется рагногтгпеныо нгпргрыгным; если Уа > 0 з 6 = 6 (е) > 0 такоц что Ы(о (, В [и, Ь), УдовлетвоРЯющих Условию [(г — (г! < 6, и длЯ любой фУнкции х (() В Ф выполнЯетсЯ неРавенство ! х ((т) — х ((а) ! < в. Теорема 3 (Арцела). >Тля того чтобы множество К(: С[а, Ь! было компактным в С [а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы множггтго К было рагноограчичгннмм и рагностгпгнно нгнргрьггным. ~Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть множество К компактно. Тогда в силу теоремы ! в пространстве С [а, Ь! существует шар 8 (В, )с) такой, что К ~ 5 (В, )г). Вто означает, что для любой функции х (г) ~ к имеют песта неравенства )г < х (() <+)(, т. е. (х (()! < )ч. Следовательно, множество К равноограннчено.
Лалее; пусть в > 0 произвольно. Выберем в К конечную е-сет>а у, (()! Уг ((), ..., ут (О. Зто конечное множество функций равностепенно непрерывно, а потому существует 6 = 6 (а) > 0 такое, что для всех ( = ), 2, ..., т и всех ть (гЕ [а, Ь); УдовлетвоРЯющих неРавенствУ [(, — (г! < 6, спРаведливы неравенства [У((тт) — Ш(гв) ! < в, ( (, 2, ..., т. Волн теперь х (Π— произвольная функция из К; то найдется (г такое; что р (х Уг ) с в. Таким образом, ! х(гт) — х(г ) ! < ! х (г ) — У (( ) )+! У( (( — У( Пз) [-[-) У>о ((з) — «((г) [ < Зв и Равностепенная непрерывность доказана. й 5. Компактные множестве 111 с>оратно> если блнзкн образы, т. е. ч з то прв любом ч = О, 1! ...; и имеем неравенства (6) Но тогда прн »6 Ьч нз соотношеняй (3), [4) н (6) вытекает оценка (!) х>з> (!)[,ц ~к»> (!) к>» ~ т )[ [ ~х»» ( ~ ) х>з( ~ )$* + ~ х»э' — '»1 — х»э > (!) ~ < Ж, которая означает, что (7) рс(х'»', х„'г') ( Зе ° Таким образом, соответствие к„(!) ++ г„непрерывно; т.
е. близость точен хл (!) н кл (б в метрике С [О, 1[ влечет блнвость нк образов гп н г„в метрике »»»г> »»»э> Еь»' н обратно. Множество М = (х„(!)) ограничено в пространстве С [О, 1[, поэтому множество обРазов М (гну огРаннчено в пРостРанстве Епы н в силУ теоРемы Больцано — Вейерштрасса компактно в Еп». ," По теореме Хаусдорфа, для данного в ~ 0 в множестве М сушествует конечная з.сеть(г„„г„„..; г„» >) Пусть хпл (!), к„(!), ..., х„„> (!) — нк прообразы в М, Из непрерывностн соответствия М++ М, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
