Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теорема 2. Если последовательность (А„) вполне непрерывных на ограниченном множестве М операторов сходится равномерно на М коператоруА„т.е. Лт'е)О нУ = У (е)такое,что ~1 А„х — А„х 11 ( ( а для всех х ЕМ, если только п ) У (е), то Ао вполне непрерывен на М. Необходимо доказать, что оператор Ао непрерывен на М и что А,(М) = У есть компактное множество. Пусть (х ) с: М, х х, ЕМ; тогда можно записать неравенство (Ао х — Ао.хо((~(Аох — А„х (+(Апх — А„хо(-(а +1! 4пхо — Аохо! Первое и третье слагаемое в правой части меньше е!3 при и ) У (е) в силу равловтернойосходимостн последовсаельности (А„), а второе сла- й 2, Непрерывныа и вполне непрерывные операторы 117 гаемое меньше в/3 пРи лг те (е) в силУ непРеРывности опеРатоРов А„.
Таким образом, прн т ) т, (е) имеем оценку 1Ае х„— Ао хо)(а а это означает, что оператор А, непрерывен на М. Локажем теперь компактность множества й1 = Ае(М). По чпловию, множество М ограничено. Пусть е ) О. Выберем числе ве = л, (е) так, чтобы выполнялось неравенство [[А„х — Аех[[«е 'с'х Е М, (2) что возможно в силу равномерной сходимости последовательности (А„). Положим Уе = А„„(М) и покажем, что конечная в-сеть в й1е является конечной е-сетью в И.
В самом деле, путь р с У и х с М вЂ” олин из прообразов элемента у, т. е. р = Аех. Полагая уе = А„,х, уе Е й[, из уоловия (2) выводим неравенство (3) ) р — ре)=[[Аех — А„х)(а. Как область значений оператора А„, множество У являетея компактным, поэтому из неравенства (3) заключаем, что конечная в-сеть в Уа будет конечной е-сетью и для множества У. Итак, множество й[ компактно Ь 3. Палная непрерывность оператора Фредгольма. В качестве примере на применение теоремы 2 рассмотрни о и е р а т о р Ф р е д г о л ь и а н докажем, что он вполне непрерывен Пусть функция К (й а) кналратнчно суммируема в квадрате а ~'„Гг а ч, Ь.
н. е, Вз =) ) [ К (г, а) [' дтз < ио. ии В пространстве Ва [а, Ь) рассмотрим оператор Т Тф, преастааимый в авве Тф=Г1 К (г, а) ф (а1 Па, ф Е 1и [а, Ь[, (51 и Определенный по втой формуле оператор Тф будем называть ляилижиппа Фп Э- вольна с ядром К (й а) Понажем прежде всего, что Тф и Вз [а, Ь[, т. е, что онеразор ч~рнагольма отображает пространство Ве [а, Ь) в себя. ~Иа условия (4) следует, что интегралы ь ) [ К (г.
а) [з т и )" [ К (К аз [з да и Г конечны,' первый для почти всех а, а второй — аля почти всех й Очевидно вледуюшее неравенство; 1 1 [ К (Г, а) ф (а) [ < — [ К (1, а) [з -[- — [ р (а) [а, <<8 <Ч. Вполне иелрерылиые опеРатоРы а линейных иормир. лростраистлах в котором стояшне спРава функцнн ннтегрвруемы по з на отрезке [а, Ь]; поэтому выражение (5) определено почти для всех < 6 [а, Ь) Кроме тогть прнменяя неравенство Коши — Буняковского (см неравенство (<<! !.7)), имеем оценку Ь Ь ь [Тф]х ю / [К(<,5) ] дз/]ф(з)[хбз=]ф]з~ ]К(<, е)]хбз, а а л <6) Используя условне (4), нз неравенства (6) убевтдаемся. в внтегрнруемостн ! Ттр]х, а это означает, что Тф 6 Бх [о, ] Проинтегрировав неравенство <бй убеждаемся в том, что Ц Тфц ( В ] 1р ц ]М Велвчвна зпр Ц Ттр Ц называется нормой оперогпоро Т н обозначается !тетей! Ц Т Ц О ясно, что Ц Т Ц< ( В. Теорема 3.
Оператор Фргдгольма <6) вполне непрерыагп. 4ПУсть [фл (!)]„, ! — полнаЯ оРтоноРмнРованваЯ в пРостРанстне Бз [а, Ь] система фуннцвй. Тогда система провзведенвй <фл (<)фт (з) ! полна в пространстве Лз([а, Ь] Х [о, Ь]), а поэтому ядро оператора Фредгольма К (<, з) можно представить в виде ряда (7) сходяшегося по норме пространства Бх ([о, Ь] Х [и, Ь]) к функцнн К (! з) Это означает, что если К„(<, з) -,", плт фл <!) фт (з). Ь< - <, Л.
л, л~=! — частные суммы ряда (7), то ьь П]К(1, з) — КтчП, з1]хд<дз 0 прв У ла. ах (8) Рассмотрим оператор Тм,. задаваемый в виде ь Тыф ~КВ(! з)ф(з)дз а ТОГДа ДЛЯ ЛЮбсй фУ1КЦВВ Чт 6 ВЗ [П, Ь] ЗНаЧЕНИЕ Тыту ПРЕДСтвннтев В фОР.' ьт ь Т,„ф= ~Ч'„елтфл(<фЬ,< ) Р< )дз л,тл 1 а и Т м ь ьт ,С~~~ 'тлт ~ фт (З) т (З) де ° фл й) ы' ~~',! Ьл фл П) ° а 1 т 1 а а 1 Это означает; что оператор Ты отображает все пространство Цз [тц Ь] в конечно- мерное пространство Так кан в конечномервом пространстве любое огранвченное множество компактно, то заключаем.
что Т отображает ограниченное мно. м й 2. Непрерывные и вполне непрерывные операторы !12 <кестео в компактное. Следовательно, Тн — вполне неиРеРывиыа опеРатоР, Далее, для любой ф с Д']а, Ь] получим оценку ьрь (Тн ф — Тф(ь ) ) (Кн(<, а) — К (<, а)] <Р (а) Ьа] «! к а е ьь ь ьь <Ц]к (<, а) — к<<,.)] а]']ф(а)] баб<-)фри]к„(<, е)-к(<, а)ра<вв. Учитывая условие (8), заключаем отсюда, что справедливо соотноюение Ц Тн ф — Тф] -т О чт ф с Дь ]а, Ь], т е последовательность вполне непрерывных операторов (Тнф) скодится рав.
номерно к оператору Тф. Применяя теорему 2, убеждаемся в том, что Тф— вполне непрерывный оператор ~ 4. Представление вполне непрерывных операторов конечномернымн операторами. Установим связь вполне непрерывных операторов с конечномерными операторами. Теорема 4. Всякий вполне непрерывный на ограниченном множестве Мс: Е оператор А является равномерне<м пределом на М последовательности (А„) непрерывна<я конечномерных операторов (отобраас<яощих М в конечномерное надпространство пространства Е). ~ Оператор А вполне непрерывен, поэтому множество Ф А (М) компактно.
Выберем последовательность положительных чисел (аь), ва -ь О и для каждого кь в множестве й( построим конечную в-сеты <"(ь=(У<<~!тухл'т- У<~!) У,',<о с И й=!.2 " Определим на множестве й< последовательность операторов Рь. шь „<а! (р) „<м Рь(у)= ° У Е й<т п!ь ~ р] !<У) ! ! на — ] у — у< ы ) и ри ]] у — у<а! (( е<п р<" (у) = О прн ]]у — у<а<]]) еь. Ясно, что по крайней мере для одного ( имеем строгое неравенство (а)е!(У) ) О (для любого у с )т( найдется у<,"! такое, что]] у — у<ю ]] (в„). Таи как все )ь< т!(У) непрерывны на Ф, то оператор Рь (у) также непрерывен на Ф (~ р<<ь'(у) ) О для всех ус Л').
<=! )хв !)г. Вполне непрерывные операторы в линейных нормир. пространствах Далее, справедливо неравенство жа ~; р(а)(у) у)а) !у — Р (у)1- у — ' жа ~ р)" (у) ! ! 'у) и,'" (у)(у — р,'"') ! ! м~ ~г и!" (у)(у р)")(1 д Х р()"(и) мл Х р(!" (у) ! ! Здесь мы приняли во внимание то обстоятельство, что если )(у— — у! 11 ~ е„, то равны нулю соответствующие им функции ра (у), (е) (Ф) т.
е. ))(!")(у) = О. Полагая теперь А„(х) = Ра (Ах), для любого х Е М выводим опенку (! Ах — Ав х)(=)) Ах — Р„(Ах) ))( еа. из которой заключаем, что последовательность конечномерных опе. раторов А„сходится к оператору А. ~ 3 а м е ч а н и е. Множество вначеинй оператора Рв (у) входит в выпуклую оболочку, порождаемую элементами в-сети отим обстоятельством мы воспольэуемся в даляне))юем 5. Компактность области значений последовательности вполнв непрерывных операторов. Докажем еще одно свойство последовательностей вполне непрерывных операторов. Теорема 5.
Пусть последовательность вполне непрерывных на мно. жестов М операторов (А„~„', равномерно сходится на М к оператору А„и пусть Л)„=- А„(М), п = О, !, ..., — области значений опвроторов А„на л)ножестве М. Тогда множество Л) = () Лl„компактно. а=0 ~ По теореме 3, оператор А„вполне непрерывен. Из равномерной сходимости последовательности (А„) к оператору А, следует, чтв чтв ) О йп, = п„(е)такое, что ч)'у Р Л)„, п ) п„существует элемент ив 6 Л)„для которого имеет место равенство 11у — ив(((в, Это вйтекает из того, что если х' — один из прообразов элемента у, у = Ал,х', то в качестве ив можно взять и' = А,х' Е Л)'е или же т кн, лежащие в некоторой окрестности и'. ла Рассмотрим множество К = () Л)„, которое компактно как об и е динение конечного числа компактных множеств.
В множестве Л) шествует конечная е-сеть для К. Покажем, что она является конеч е-сетью и для Л). В самом деле, если у Р К, то доказывать нече Если же у Е Л)„для и ) п„то в множестве Л), выбираем и„такой, Е 3. Теорема Шаудера и ее применение 121 !!у — иа!! ( е.
Здесь и, Е д1а с: К, а потому найдется элемент у, из конечной е-сети в К, для которого )~у, — и„!! ~ а. Тогда для этого элемента у, имеем неравенство !!у — уа(! ( 2е и из наличии конечной е-сети в К убеждаемся в компактности уУ. ~ й 3. ТЕОРЕМА ШАУДЕРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 1. Теорема Шаудера. В 3 4 гл, ! !! был доказан принцип сжатых отображений, в котором устанавливалось существование и единственность неподвижной гочки оператора сжатия А.
Если же не требовать единственности неподвижной точки, то условие сжимаемости оператора А может быть несколько ослаблено. Теорема 1 (Шаудер). Если вполне непрерывный оператор А отоббражает замкнутое вьтуклое множество 5 банахова пространства Х на свою часть, то существует неподвижная точка этого отображения, т. е. такая точка ха Е 5, ипо Аха = х,. ~Согласно теореме 2.4, оператор А представим как равномерный предел на 5 последовательности конечномерных операторов (А„). Так как 5 выпукло, то для любого х Р 5 справедливо включение А„х Е Е 5. Это следует из того, что построенные в теореме 2.4 операторы входят в линейную оболочку элементов соответствующей е-сети, которая выпукла.
Пусть Е„ — конечномерное подпространство, содержащее А„ (5). Рассмотрим множество 5„=(5 П Е„), которое вложено в Е„. Множество 5„— выпуклое вп-мерном подпространстве. Ясно, что А„(5) с с 5, А„(5) с: Е„и, тем более, А„(5и) с 5„. Таким образом, оператор А„отображает выпуклое множество и-мерного подпространстза в себя.
Применим теперь теорему Брауера, доказываемую в топологии: если непрерывный конечномерный оператор ( отобраясает замкнутое выпуклое множество 5 конечномерного пространства в себя, то в 5 существует неподвижная точка оператора По этой теореме, существует точка х„Е 5„такая, что А„х„= х„. Но 5 с= 5, а потому х„является неподвижной точкой оператора А„ и при отображении 5 в себя. Для каждой точки х„справедливо включение х„Е А„(5), а потому и справедливо вложение (х„)с5' О 4„(5)с5, а ! По теореме 2.5, множество 5а компактно. Поэтому из последовательности (х„) выделим сходящуюся последовательность (х„,), предел котоРой ха в силУ замкнУтости 5 также пРинадлежнт 5.
СМ. Вполне непрерывные операторы в линейных иормир. пространствах Оценим норму разности Ах, — хо: ДЛхо — хоЦ(ФАхо — Ах„(+(Ахло — Лат х„„Ц+(А„, х„,— хо~= =))Ахо — Ах, 1+) Лх„,— Ап„х„„)+))х„,— хо(. По заданному з ) О выбираем Асс (е) столь большим, чтобы при л, ) Лсс (е) выполнялись неравенства (хпо — х, ~) ( е/3 и )) Ах, — Ахл о )) ( е)3, первое из которых вытекает из того, что ))ш х„= х„а второе слепо лт дует из непрерывности оператора А. Выберем теперь стсз (е) столь большим, чтобы при и, ) ))с'з (е) для всех х с 5 (в частности, и для х х, ) имело место неравенство ) Ах — Ало х) ( е/3, являющееся следствием равномерной скодимости последовательности (А„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
