Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Лемма 2. Пусть Т вЂ” вполне непрерывный оператор, отображаю- и(ий Н в Н, а (да)а в — бесконечная ортонорлгированная система векторов в Н. Если справедливы равенства Тдх=,>, й„д„й=1,2,..., т-в то выполняется соотношение 1! ш рдь = О. а-~ г й 2. Самосопрвжеииые операторы и ип свойства 141 4 Если и) т, то выводим неравенство Предполагая, что Иш рдд чь О. выделяем подпоследовательнод-+ сть номеров !!п1), для которой выполняется соотношение ! р„„(.=: "1 "1 ) б ) О. Это означает, что )! Тяп ТК» !! )бз при пд ) и т. е. из бесконечной подпоследовательности (Тя„„) нельзя выделить сходящейся подпоследовательности, что противоречит полной непрерывности оператора Т. Полученное противоречие доказывает лемму.
~ Теорема 6. Всякий вполне непрерывный оператор Т: (Н вЂ” и Н) при любом )с ) О в круге )Х ! - Н молсет иметь только конечное число хароктеристических чисел. 4 Предположим, что при )Х! ()1 имеется бесконечное число характеристических чисел й„..., Х„, ..., ! Х„! ( 14. Им соответствует бесконечная система собственных векторов (~р,), т. е. имеем равенства Чв — Х„Ттрт = О, ч = 1, 2, Ортогонализируя векторы ' (Ч~,), получаем ортонормированную систему й =<"п%. уз = ам % + азз трз (12) уд =адт ~р, + ... +ада Ч д, Рассматривая соотношения д Тйд ма У ад Ттр = лз т ! и учитывая обратимость системы (12), найдем представление: д-1 д — 1 яд — "пд Тйд — — ~~ а~ ~1 — )ц, = ~В '1 —;), '()дт Ч.
= —,'~~ Ьт йт. т 1 т ! ! Туп — Тйт))з=!)Раппов+- +()и. м+зйм+т+Фп.м — бм.тп)опт+" + +(Рп,а — () в)уа!)з=)Р. п!'+- +)Р . +т!'+Р...— Р.. !'+ +- +)Рп в — Рмта!'~)()п,п!' 14в М. Самесепрвнтенные операторы в тнпьбертовем вространстве Отсюда видим, что значение Тиь имеет вид где в силу леммы 2 — — т- О при й — сп. Но это противоречит тому, что ! )Ла! ()т-)р й 3. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 1. Разложение значений оператора в ряд. При решении операторных уравнений в гнльбертовых пространствах довольно часто используется метод разложения значений оператора в ряд по собственным векторам этого оператора. Это разложение характеризуется следующей теоремой.
Теорема (Гильберт, Шмидт). Пусть Т вЂ” вполне непрерывный самссопряженный оператор, отображающий Н в Н. Тогда для любого Ь с Н ваапор т' = Т)т с Н можаи бьопь представлен в виде ряда по собственным векторам оператора Т, сходящегося к Г по метрике Н, т. е. гели 1ф„)„! — ортонормированная система собственныл векторов оператора Т, то 1*= Т)т = ~ с„ф„1в метрике Н), где са= — (ь,фа), й=1,2, 1 М Пусть ф„..., ф„, ... — ортонормированная система собственных векторов оператора Т, соответствующих последовательности (Л„) ха.
рактеристических чисел этого оператора, расположенных в порядке возрастания модулей )Л,) ()Ла)(... »()Л„)(... Вектору йсН поставим в соответствие ряд по системе 1ф„), т. е. тт )1;Р й„ф„, гДе й„= 16, !Р„). п ! тт Применяя неравенство Бесселя, заключаем, что ряд Х ~ й„)в схо- с ! дитси. Составим также ряд для вектора Г = Т1п Г- ЧТ', Г„фен ГдЕ Г„= К фв„.. в ! й 3. Теорема Гипьберта — Шмидта и ее применение 143 Принимая во внимание самосопряженность оператора Т и равенст- во <р„— Л Тф„= О, найдем коэффициенты („: 1„(тй, р„)=(й, Тф„)=Ы. ! р„1— Следовательно, ряд для вектора ~ = тл принимает вид ОО О ! Ч)т~ ап и~~ (а фп! «! Лп а Пусть ми (Ь, !ра) Л а — частные суммы ряда для Г = ТИ.
Введем оператор Т!и!(т = (' — 5„6 = ТИ вЂ” З„т! и докажем, что характеристические числа оператора Т("! и соответствующие им собственные векторы содержатся среди тех характеристических чисел и собственных векторов оператора Т, номера которых больше и.
Действительно, если <ра — рТ!">фе = О, то, подставляя сюда значение оператора Т!">, получаем равенство ф — матф — ~ " ф„=о. ь а ~~ (фь Ч!и) (!! а ! л„ Умножая это равенство скалярно на !р! при любом 1 < а и учитывая самосопряженность оператора Т, приходим к выражению и (ф*, ф,) — р(тф', р,)+р,у; — ",'") (ф„ф,) =о, Ла нэ которого в силу ортонормальности системы (ф„) имеем соотношение (ч', р!) — р(ф', Тч!)+ — "(р,ф,) =О. Учитывая равенство — "(фа, р,) =р(р*, тф,), Л! получаем, что (тра, !р!) = О для всех ( ~ а. Принимая ао внимание эти равенства, из(1) выводим соотношение ф*- ртф' -о.
Отсюда заключаем, что и есть характеристичеекое число оператора Т, а фа — соответствующий этому числу собственный вектор, ортого- >44 М. Сампсепрятяенные оператеры в тнпьбертовем пространстве Лв Если же последовательность («>в) бесконечна, то в силу теоремы 2.6 Иш Л» = со. Покажем, что Л„+, — наименьшее по модулю характеристическое число оператора Т< ">. Справедливы равенства <!>и+> Лп+> Т< > <»и+> = <»и+> Лпь> ТЧ>п+> ! и +Ля+> 7 «'в чп+> Лп+> Т<<>п+< =О 'кя <тв Фп+» в=> > а так как, по условию, !Л, ! ~ ! Л, ! ~ ... в= ! Л„! ( ..., то отсюда и следует, что Л„ь > — наименьшее по модулю характеристическое число оператора Т'">.
Применяя неравенство (2.11), получаем оценку !!Т<п>!! (!!!Л+>!. Таким образом, для любого й Р Н справедливо неравенство !!Т й|!~!!Т< >!! !!й|1~ ' !!й|!, ! Лп+<! из которого следует соотношение И<и !! Т<"' й !! ( !! й !! И <и — = О, !Л +>! а это и означает, что !! Тй — Б„й!!-ь О при п-ь оо. 9» 2. Решение симметричных интегральных уравнений. Применим доказанную теорему Гильберта — Шмидта к решению следуюшей задачи.
Найти решение <р (х) Е 1.в (а, (>) симмео>ричесхого интегрального уравнен ил Фредгольма <р (х) — Л ( К (х, е) <р (в) бз =1(х), а (2) нальиый первым и векторам системы (<!>в), т. е. номер вектора <рв в этой системе больше и. Предположим теперь, что последовательность (<рв) состоит из конечного числа векторов <р„<рв, ..., <р . Тогда самосопряженный оператор Т< "> при и о> не имеет собственных векторов, ортогоиальных всем векторам этой системы, т. е. не имеет ни одного ненулевого характеристического числа. Это означает, что Т<п>й = О для любого й Р Н и любого и ) т, вектор 1 = Тй представим конечным «полиномом» по системе <р„<р„..., <р й 3.
Теорема Гильберта — Шмидта и ее примеиеиие 145 нреднолагал известными систему характеристических чисел Х„Лтл ь ..., Х„, ... опера!пора Ттр = ~ К (х, з) тр(в)<Ь и систему его собственных л функций <р, (х), ...,!р„(х), ... Рассмотрим отдельно случай правильного Х и случай, когда Х— характеристическое число. Пусть Х вЂ” правильное число. Ищем решение !р (х) Р (,а (а, Ь). Применяя теорему Гильберта — Шмидта, можно записать равенство ь л К (х, в) !р (в) оз = ~ — '" ' трл (х). Хл л л=! Подставив это выражение в уравнение (2), получим вырзжение О1 !р(х) — Х ч)' — '" <рл(х)=Т(х). Хл л ! (3) Умножая равенство (3) скалярно на !р .(х), приходим к соотношениям (тр,!р„,) — — (!р,тр„)((р„,!р ) (7,!р ), т=1,2,..., Хм а так как Л вЂ” правильное число, то отсюда нахойим коэффициенты (тр, р„) = с„: (4) с Хтл(1, ем) Хм Тм Хм Х Хм Подставив эти коэффициенты в соотношение (3), получим искомое решение: тр (х) = Л ~~~~ )л <р„(х) +1(х).
л=! с„(1 — — ~=(7,тр ), где 1 — — =О. Х Л Хм Эти равенства возможны только в том случае, когда О', тр ) = О. Поэтому для разрешимости уравнения (2) необходимо, чтобы свободный Пусть теперь Л вЂ” характеристическое число, т. е. Л=Л,=Л,+, =...=Х,, д~~р. Тогда из выражений (4) можно определить с только при т -а р, р + 1, ..., у, и, следовательно, имеем с = — ™, если т:~р, р+1, ..., д. Х вЂ” Х Если же номер т таков, что р «т ( д, то равенства (4) принимают вид 140 Ч/.
Сзмосолряженные олероторы в гнльбертоеом лростренстее член /(х) был ортогонален всем собственным функциям, соответствующим данному характеристическому числу Л. Таким образом, в случае, когда / (х) удовлетворяет условиям (), тр„) = О, т = р, р + 1, ..., сг, (6) уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой Л„ гр (х) =/(х)+ ху', —" Чт„(х)+ ')' с(„гр„(х), я ! л я где с(„— произвольные постоянные, а штрих в сумме означает, что пропускаются индексы суммирования л = р, р+!, ..., д. Если же функция / (х) не удовлетворяет условиям (6), а )ь = Хв = ... = Хо, то уравнение (2) решений не имеет.е Проиллюстрируем предыдущие общие рассуждения на примерах. П р и и е р ы. 1'.
Найти решение урзвнения и/2 ф(х) — Л ~ К(х,/) р(/)б/=(, о если /згп «сов/ прн О~к~/~и/2 К(х /)=~~ Мп / сов х прн 0</<к<и/2. Нейдем прежде всего хзрзктернстические числе н собственные функции уравнения и/2 ог(х) — Л ) К(х, /)ф(!) В=О, о которое предстввнм в виде т и/2 ф (х! — Л /Г в!п / соз т е П! б/ — Л ! ми х сов / зг (/) Д/ = О, о т )(вежды дифференцируем зто равенство: т тт/2 гр' (х)+Ля!пх (з1п/ф(1) б!-Л в!пхсозх м(х)-Лсовх ( сов/ м(1) б/ р я +Лз!пхсозхм(х) О, т, е.
з л/2 ф'(х)+Лв!пх) з!п/~р(/)б/ — Лсовк ) соз/ф(1)Ш 01 о т х н/2 е" (х)~-Лсовх(з!п/ф(1) Ф-';Лнпхз1пхм(х)-)-Лз!пх ( ож/гр(1) т(1-)-. +Л соехстмхф(х) О. $ 3. Теорема Гипьберта — Шмидта и ее применение !47 Учитывая представление (8), получаем отсюда уравнение ф" (х)+е(х)+Лф(х) О (9) и граничные условия ф (О) ~р (и/2) О. (10) Таким образом, уравнение (8) свелось к уравнению (9) с граничными условиями (10), т. е.
к задаче Штурма — Лиувилля. Найдем решение чтой задачи. а) Пусть Л+ 1 с О, т. е. Л с — !. Тогда общим решением уравнения (9) будет функция тр(х)=С, е! ' ! '+С е ! ь а граничные условия (!0) приводят к системе уравнений С„+С О, Ст (е~ ь ! !п/з! — т т ь ! !и/з! ) О, ешением которой будут числа С, С О. Это означает, что все значения с — 1 — п р авил ьи ые. б) Пусть Л+! О, т. е.
Л вЂ” 1. Общим решением уравнения ь', б/дет функция ф (х) С,х+ Сз, и из граничных условий (10) снова выводим соотношения Сз 0 и С,(п/2) О, т. е. С, Сз О. Итак, Л вЂ” 1 — правильное значение параметра Л. в) Пусть теперь Л + 1 ~ О, т. е. Л ~ — !. Тогда решение уравнения (9) имеет вид <р (х) = С, соз 1/Л+! х+ С, з! и Т/Л+ 1 х. Принимая во внимание условия (10), получаем отсюда соотношения Ст 0 и <р(п/2) Сз з!п )/Л+1 — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
