Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Далее, пусть у (х) — некоторая допустимая кривая в вариационной задаче ((9), (2)), в частности она удовлетворяет граничным условиям у (а) = А, у (Ь) = В. Введем й 3. Вариацконные эадачи с закрепленными концами 168 обозначение й (х) = у(х) — у (х), тогда й (а) =6 (Ь) = О. Найдем приращение фунционала (9): ь Ь! = г(у+й) — ! (у) = ~(р(у'+ й')'+ 9(9+6)'+2(у+й) П г)ха — ~(РУ"-~-9Уэ+2)У)дх=2~(РУ' й'+пУЬ+ Ябх+ + ~ (рй"-( ййэ) дх. а Интегрированием по частям преобразуем интеграл: ь ь ь ру'й'г)х =ру'й~ — Ь ~ (ру')бхаа — Ь ~ (ру')бх — 1 бх ох н подставим его в Ы, тогда гэ) 2~~ду — — (ру')+11Ых+~(рй" + дйэ)дх. Но у есть решение уравнения — (ру') — ду — ( = О, поэтому 6 ах Л! = 1 (рй'ь+ цйэ) 6х. а Так как р ) О, д) О, то гд! ) О.
Из определения минимума функцись нала следует, что у (х) реализует абсолютный минимум функционала (9). ~ Теорему 2 можно использовать в качестве достаточного условия прн исследовании функционала (9) на экстремум — решение уравне. ния Эйлера, удовлетворяющее условию (2), дает минимум функционалу (9). П р и и е р 4'. Исследовать на экстремум функпионал l(у) ) (х'у'+!2у')пх, у(1)=1, у(2)=8.
1 Уравнение Эйлера для данного функционала имеет внд , хэ у" +2ху' — 12у=о. Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных ураянсний наэываются уравнениями Эйлера. Его решение ищем в виде у=ад. Найдем проиэвод. ные у' ахх ', у" Х (д — 1) хх э; подставив их в уравнение Эйлера, получим х" (аэ + а — 12) О. 188 У!. Основы аармацмоммого мсчмслеммя для определенна )г имеем характеристическое уравнение Х» + )ь — 12 = О, корни которого Ь» = 3 и Хз = — 4. Общее решение уравнения Эйлера имеет вид у=с, ха+с, х-а. Из граничных условий и (1) 1, р (2) = 8 для определения постоянных с, н сз получаем систему с,+с»=-!фгбс, +с»!18=8. Отсюда находим с» = 1, с» = О.
Слйковательно, у = хэ есть экстреиаль данного функционала. Лля рассматриваемого примера применима теорема 2 (р (х) = ха ) О, с (х) = 12 > О на (1, 2!), поэтому экстремаль у ха реализует минимум функционала. 3. Вариационная задача для функционала, зависящего от и функций. Задача ставится следующим образом: найти необходимые у вия экстремума для функционала (!О) ь г(у» " у )=) г(х у» уг - у у )дх а зависящего от и функций у„у„..., у„Е Сг»>, удовлетворяющих ничным условиям у,(а)=А,, у»(Ь)=В„»=1, 2, ..., и. гра(11) В рамках необходимых условий ответ дается следующей теремой.
Теорема 3. Если система линейно независимых (Оункций у, (х), у, (х), ..., у„(х), удовлетворяющих условиям (11), дает экстремум функцион лу (10), то она является реп»внаем системы дифференциальных уравнений Эйлера (12) Рэ — — Г,=О, »=1, 2, ..., и. б Вх аг 4 Как показано в (2.6), вариация функционала (10) записывается в виде и 31 = 1 ~ (Рэ,. й, + Р„й:) йх.
а »=1 Все приращения й, (х) независимы, поэтому одно из них, например й„выбираем произвольно с соблюдением граничных условий, а все остальные'будем считать равными нулю, т. е. )т» (х) =...= — й, 1(х) = й„+1 (х) = — ... = !1„(х) О. Из необходимого условия экстремума функционала можем записать,' что ь И=~(Р„,й,+Р„,Ц)д =О.
(13) а О 3. Вариацнонные задачи с заиреппенными нонцами 162 Имеем простейшую вариационную задачу, к ней можно применить теорему 1, согласно которой функция уч (х) должна удовлетворять уравнению Рг, — — Р„= О. Но равенство (12) можно записать для б любого т = 1,2, ...,л, следовательно, одновременно каждая из функ- ций уз (х), рз (х), ..., у„(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (3), т. е. их совокупность является решением системы уравнений Эйлера (12).
Система состоит из и уравнений второго порядка. Ее общее решение содержит 2а произвольных постоянных, которые находятся из гранич- ных условий (10).9» П р и м е р б'. Найти экстремали функционала у (у, г) )т(хр'з+г" +хи' г') дх, удовлетворяюшие граничным условиям у (2) !и 3, у (3) 1п 3, г(2) 1п 2, г (3) = О. Подынтегральная функция не содержит явно у и г, поиому система урав- нений Эйлера имеет вид 2хр'+хг' =сз, 2г'+хр' =с,. Из этой системы находим производные р' и г'.
сз х — 2с,, сз — 2сз и г' х(х — 4) ' х — 4 Интегрируя вту систему с точностью до произвольных постоянных, найдем функции 2сз+с, с, у — 1п ! х — 4 1 — — )п 1 с!+ сз, 2 2 г !сд — 2сз) !п) х — 4 !+се. Произвольные постоянные определяем иэ системы 2сз 1п2+сз — — !из, — сь 1пз+2сз= 1п3, !ст — 2с,) 1п 2+с4 — — !и 2, с,=оз с, 1, аз= О, сз = )п 3, с, О. Таким образом, искомая экстремаль имеет вид 1 9)х — 41 и — )п г =! и ! х — 41.
2 )х) 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Рассмотрим вариационную задачу для функционала ь 1(у) =1Г(х, у, у', у", ..., рыб)с(х, (14) и заданного на множестве функций, принадлежащих пространству С<ь) и удовлетворяющих граничным условиям у(а)=А, уь(а)=Аз, у" (а)=А„..., рьа-!)(а)=Аь з, (15) 1т(О) =аз, р' (О)= ~„ у'(О)= Ею ..., рьь- ! (О) = ~„ ,. !ЕЗ уп Основы евривционного исчисления Будем считать, что функция Р (х, у, г„..., г„) обладает непрерывными частными производными по всем переменным до (й + 1)-го порядка включительно.
Получим необходимое условие существования экстремума функционала (14) в случае закрепленных концов (!5), Теорема 3. Если функция у(х) Е С~»>, удовлетворякхцая гранич. ным условиям (15), дает экстремум функционалу (14), то она является решением дифференциального уравнения Эйлера — Пуассона в вв в» Рр Рр' + Рр", +( 1)» Р» О. Вх Вхя вх» р (15) 4 Согласно формуле (2.8), вариация функционала (14) записывается в виде поэтому Ь 61 = ~ (Рр — — Рр ~ йдх ) — Р„й' ах — ...— — ~ — Р ~», й<»-и дх. г в 0х а а Интегрируя необходимое число раз второй и последующие интегралы по частям и используя условия (17), получаем н са в» 61 ~(Рр Р ! Рр +( 1)» Р ь»)) йь)» Вх " Вхя " " Вх» р а Применяя необходимое условие существования экстремума функци нала, заключаем, что 61 = О.
Из замечания и основной лемме вари циоцного исчисления следует, что функция, дающая экстремум фун Ы 1 (Ррй+Рр й + +Р ((цй<»~)д» а Интегрируя по частям, имеем ь ь ь Ь й ~Рр йс)» +Рр' й ~ ~ Рр' йдх + Рр й а а а а ь ь ь ( Рр й д»+ +Р ь»)й~» и! ( — Р (»)й~» и д», ах а а Из граничных условий (!5) следует, что рассматриваемые приращения й (») удовлетворяют условиям й (а) = й(Ь) = й' (а) = й' (Ь) = ... = й<»-' > (а) = й~а- и (Ь) = О, (17) й 4. Вариациоииые задачи иа условный экстремум 16Э ционалу (14), должна удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона (16), имеющего порядок 2й.
Общее решение зависит от 2/г произвольных постоянных, которые могут быть определены из граничных условий (!5) 1 П р н м е р 6'. Найти экстремалн функцноналз л/3 / (у) = ~ («" — уе+х ) бх прн условиях у(0) 1, у'(О) = О, у(л/2) = О, у'(л/2) = — 1. Запншем уравнение Эйлера — Пуассона для данного функцнонала; — 2«+2«/" =О Общее решение этого уравнения запнсываетса в виде у=с, с*+се е-"+се сов х+се з(п х. Используя граннчные условна для постоянных с» сз, сз, сь, получаем систему уравнений сз-)-се+се+1, с,— се+с»=0, стел/~+сзе "/э+се О, ст е — ст е — сз — 1, л/з — л/2 решая которую найдем с, = с = се О, сз 1. такам образом, экстремалью функционала является функция у соз х.а)) Совершенно аналогично можно доказатзи что экстремалы функционала ь /(у„"., «.) =) ~(х.
«,, «,, "., «~". "., у.. «» ", «йм) б», » вавнсящегоотнесколькнх функций нх производных, удовлетворяющие гранич- ным условиям у/ (а) =-А/, у/ (Ы = Вы у/ '(а) = А/д, у/' (Ь) = В/, «/(Ь "(а)=Ац ь-ы У)~ "(Ь)=В/ в ы ( 1, 2, ..., л, являются решеннем системы уравнений Эйлера — Пуассона вь га — — гз -)-...+( — 1)» — г <И=О, /=1, 2, ..., а.
бх з' дха е/ й 4. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Задачи с конечными связями. К вариационным задачам иа условный экстремум относятся задачи, в которых требуется найти экстремум функционала, если на допустимые кривые кроме граничных условий накладываются условия иного типа, так называемые условия связи, которые могут быть заданы.системами конечных или дифференциальных уравнений. ИВ МЬ Оаяввв! вьриациоивогв иаиисявиия Рассмотрим вариашюнную задачу для функционала ь 1(у„..., у„)=~у(х, у! у!, "., у„, у,') дх, а ьг ь !!а..... а)=1(а!-в ! !аа и!1! . а 1=1 Функции Л! (х) называют множителями Лагранжа.
<Из формулы (2.6) путем интегрирования по частям для вариации функционала (1) получаем равенство ь ах ! / а По необходимому условию экстремума функционала для семейства функций (4) можем записать, что 61 = О. Функции у» ..., у„подчине- ны условиям (3), поэтому приращения й„!' = 1, 2, ..., н, уже не яв- ляются произвольными. Это означает, что нельзя положить все Ь|, кроме одной, равными нулю и, следовательно, нельзя применить ос- новную лемму вариационного исчисления.
Преобразуем вариацию (6). Из уравнеияй связи имеем: ф!(х, уь+йь, ..., у„+й„) =О, ''ф!(» у! -, у )=О, /=1, 2, ..., й. (6) определенного на множестве функций, принадлежащих пространству О'! с граничными условиями у!(а)=А„у!(Ь)= Во 1=1, 2, ..., п. (2) Кроме топо, допустим, что функции у» у„..., у удовлетворяют й уравнениям связи ф!(х, у,, у, ..., у„)=О, 1=1,2, ..., й, й(н. (3) Считаем, что все функции ф; независимы и непрерывны вместе с частными производными по всем переменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
